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12计数原理与组合数学★★★☆☆
已知 (1−2x)4=a0−2a1x+4a2x2−8a3x3+16a4x4(1-2x)^4=a_0-2a_1x+4a_2x^2-8a_3x^3+16a_4x^4，则 a0=a_0=；a1+a2+a3+a4=a_1+a_2+a_3+a_4=______.

2025 · 北京 · 第 12 题 · 填空题

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145分计数原理与组合数学★★★☆☆
在如图的 4×44\times 4 方格表中选 4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有______ 种选法；在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的 4 个数之和的最大值是______.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 14 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
(13+x)10\left( \dfrac{1}{3}+x \right)^{10} 的展开式中，各项系数中的最大值是______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★★☆☆
已知对任意给定的实数 xx，都有 (1+2023x)100+(2023−x)100=a0+a1x+a2x2+⋯+a100x100,\left(1+2023x\right)^{100}+\left(2023-x\right)^{100}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{100}x^{100}, 其中 a0a_0，a1a_1，⋯\cdots，a100∈Ra_{100}\in\mathbf{R}. 若 ak<0a_k<0，其中 k∈{0,1,2,⋯ ,100}k\in\{0,1,2,\cdots,100\}，则正整数 kk 的最大值为______.

2023 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
从正方体的 88 个顶点中任选 44 个，则这 44 个点在同一个平面的概率为______.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★★☆☆
为了检测学生的身体素质指标，需从游泳类 11 项，球类 33 项，田径类 44 项，共 88 项项目中随机抽取 44 项进行测试，每一类都被抽到的概率为______（结果用最简分数表示）.

2022 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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07计数原理与组合数学★★★☆☆
(x+1)n(x+1)^n 的二项展开式中有且仅有 x3x^3 的系数为最大值，则 x3x^3 的系数为______.

2021 · 上海 · 春季 · 第 7 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★★☆☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，若 (x2+2x)9\left(x^2+\frac{2}{x}\right)^9 与 (x+ax2)9\left(x+\frac{a}{x^2}\right)^9 的二项展开式中的常数项相等，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2018 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
从 11，33，55，77，99 中任取 22 个数字，从 00，22，44，66 中任取 22 个数字，一共可以组成______ 个没有重复数字的四位数.（用数字作答）

2018 · 浙江 · 第 16 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
从 66 男 22 女共 88 名学生中选出队长 11 人，副队长 11 人，普通队员 22 人组成 44 人服务队，要求服务队中至少有 11 名女生，共有______ 种不同的选法.

2017 · 浙江 · 第 16 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
有三张卡片，分别写有 11 和 22，11 和 33，22 和 33. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 22”；乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 11”；丙说：“我的卡片上的数字之和不是 55”；则甲的卡片上的数字是______.

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
有三张卡片，分别写有 11 和 22，11 和 33，22 和 33. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 22”；乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 11”；丙说：“我的卡片上的数字之和不是 55”，则甲的卡片上的数字是______.

2016 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★★☆☆
在 (1+x+1x2015)10\left(1 + x + \frac{1}{x^{2015}}\right)^{10} 的展开式中，x2x^2 项的系数为______. （结果用数值表示）

2015 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
一个二元码是由 00 和 11 组成的数字串 x1x2⋯xnx_{1}x_{2}\cdots x_{n}（n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}），其中 xkx_{k}（k=1k=1，22，…\dots，nn）称为第 kk 位码元. 二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由 00 变为 11，或者由 11 变为 00）. 已知某种二元码 x1x2⋯x7x_{1}x_{2}\cdots x_{7} 的码元满足如下校验方程组：
{x4⊕x5⊕x6⊕x7=0,x2⊕x3⊕x6⊕x7=0,x1⊕x3⊕x5⊕x7=0,\begin{cases} x_{4}\oplus x_{5}\oplus x_{6}\oplus x_{7}=0,\\ x_{2}\oplus x_{3}\oplus x_{6}\oplus x_{7}=0,\\ x_{1}\oplus x_{3}\oplus x_{5}\oplus x_{7}=0, \end{cases}
，其中运算 ⊕\oplus 定义为：0⊕0=00\oplus 0=0，0⊕1=10\oplus 1=1，1⊕0=11\oplus 0=1，1⊕1=01\oplus 1=0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 kk 位发生码元错误后变成了 11011011101101，那么利用上述校验方程组可判定 kk 等于______.

2015 · 福建 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★★☆☆
观察下列各式：C10=40\mathrm C_1^0 = 4^0；C30+C31=41\mathrm C_3^0 + \mathrm C_3^1 = 4^1；C50+C51+C52=42\mathrm C_5^0 + \mathrm C_5^1 + \mathrm C_5^2 = 4^2；C70+C71+C72+C73=43\mathrm C_7^0 + \mathrm C_7^1 + \mathrm C_7^2 + \mathrm C_7^3 = 4^3；⋯\cdots. 照此规律，当 n∈N∗n \in \mathbf{N}^* 时，C2n−10+C2n−11+C2n−12+⋯+C2n−1n−1=\mathrm C_{2n-1}^0 + \mathrm C_{2n-1}^1 + \mathrm C_{2n-1}^2 + \cdots + \mathrm C_{2n-1}^{n-1} =______.

2015 · 山东 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
把 5 件5\text{ 件} 不同产品摆成一排，若产品 AA 与产品 BB 相邻，且产品 AA 与产品 CC 不相邻，则不同的摆法有______ 种.

2014 · 北京 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
在 8 张奖券中有一，二，三等奖各 1 张，其余 5 张无奖. 将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有______种（用数字作答）.

2014 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
设 a≠0a \neq 0，nn 是大于 1 的自然数，(1+xa)n\left(1 + \frac{x}{a}\right)^n 的展开式为 a0+a1x+a2x2+⋯+anxna_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n. 若点 Ai(i,ai)A_i(i, a_i)（i=0i = 0，11，22）的位置如图所示，则 a=‾a =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{solution} 二项式展开式中 ai=Cni1aia_i=\mathrm C_n^i\dfrac{1}{a^i}. 由图中 A0=(0,1)A_0=(0,1)、A1=(1,3)A_1=(1,3)、A2=(2,4)A_2=(2,4)，得 a0=1a_0=1，a1=3a_1=3，a2=4a_2=4. 因而 na=3\dfrac na=3，Cn2a2=4\dfrac{\mathrm C_n^2}{a^2}=4. 由 n=3an=3a 代入第二式，得 n(n−1)2a2=4\dfrac{n(n-1)}{2a^2}=4，即 3a(3a−1)2a2=4\dfrac{3a(3a-1)}{2a^2}=4. 因 a≠0a\neq0，化简得 a2−3a=0a^2-3a=0，所以 a=3a=3. \end{solution}

2014 · 安徽 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (ax2+bx)6\left(ax^2 + \frac{b}{x}\right)^6 的展开式中 x3x^3 项的系数为 20，则 a2+b2a^2 + b^2 的最小值为______.

2014 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
设 aa 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数. 将组成 aa 的 3 个3\text{ 个}数字按从小到大排成的三位数记为 I(a)I(a)，按从大到小排成的三位数记为 D(a)D(a)（例如 a=815a = 815，则 I(a)=158I(a) = 158，D(a)=851D(a) = 851）. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个 aa，输出的结果是 b=b =______.

2014 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
将序号分别为 1， 2， 3， 4， 5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是______.

2013 · 北京 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
将 AA，BB，CC，DD，EE，FF 六个字母排成一排，且 AA，BB 均在 CC 的同侧，则不同的排法共有______ 种. （用数字作答）

2013 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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17计数原理与组合数学★★★☆☆
在平面直角坐标系中，若点 P(x,y)P(x,y) 的坐标 xx，yy 均为整数，则称点 PP 为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形，格点多边形的面积为 SS，其内部的格点数记为 NN，边界上的格点数记为 LL. 例如图中 △ABC\triangle ABC 是格点三角形，对应的 S=1S=1，N=0N=0，L=4L=4.
(1) 图中格点四边形 DEFGDEFG 对应的 SS，NN，LL 分别是______； (2) 已知格点多边形的面积可表示为 S=aN+bL+cS=aN+bL+c，其中 aa，bb，cc 为常数. 若某格点多边形对应的 N=71N=71，L=18L=18，则 S=S=______. （用数值作答）

2013 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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13计数原理与组合数学★★★☆☆
从 33 名骨科、44 名脑外科和 55 名内科医生中选派 55 人组成一个抗震救灾医疗小组，骨科、脑外科和内科医生都至少有 11 人的选派方法种数是______.
\begin{answer} 590590 \end{answer}
\begin{solution} 从 1212 名医生中任选五人共有
C125\mathrm C_{12}^{5}
种. 减去没有骨科医生、没有脑外科医生、没有内科医生的情况，再加回同时缺少两个科室的情况，得到
N=C125−C95−C85−C75+C55+C45+C35=792−126−56−21+1+0+0=590.\begin{aligned} N &=\mathrm C_{12}^{5}-\mathrm C_{9}^{5}-\mathrm C_{8}^{5}-\mathrm C_{7}^{5}\\ &\quad+\mathrm C_{5}^{5}+\mathrm C_{4}^{5}+\mathrm C_{3}^{5}\\ &=792-126-56-21+1+0+0=590. \end{aligned}
所以选派方法数为 590590. \end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (x+1x)n\left(x + \frac{1}{x}\right)^n 的展开式中第33项与第77项的二项式系数相等，则该展开式中 1x2\frac{1}{x^2} 的系数为______.

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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