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22计数原理与组合数学★★★☆☆
设 (1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn(1+x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n，其中 n≥4n\ge 4，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 已知 a32=2a2a4a_3^2=2a_2a_4.
(1) 求 nn 的值； (2) 设 (1+3)n=a+b3(1+\sqrt3)^n=a+b\sqrt3，其中 aa，b∈N∗b\in\mathbf{N}^*，求 a2−3b2a^2-3b^2 的值.

2019 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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20概率与统计★★★☆☆
根据世行 20132013 年新标准，人均 GDP\mathrm{GDP} 低于 1035 美元1035\ \text{美元} 为低收入国家；人均 GDP\mathrm{GDP} 为 1035—4085 美元1035\text{—}4085\ \text{美元} 为中等偏下收入国家；人均 GDP\mathrm{GDP} 为 4085—12616 美元4085\text{—}12616\ \text{美元} 为中等偏上收入国家；人均 GDP\mathrm{GDP} 不低于 12616 美元12616\ \text{美元} 为高收入国家. 某城市有 55 个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 GDP\mathrm{GDP} 如下表：
(1) 判断该城市人均 GDP\mathrm{GDP} 是否达到中等偏上收入国家标准； (2) 现从该城市 55 个行政区中随机抽取 22 个，求抽到的 22 个行政区人均 GDP\mathrm{GDP} 都达到中等偏上收入国家标准的概率.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 以全市人口为 11，按各行政区人口比例加权，城市人均 GDP\mathrm{GDP} 为 0.25×8000+0.30×4000+0.15×6000+0.10×3000+0.20×10000=64000.25\times8000+0.30\times4000+0.15\times6000+0.10\times3000+0.20\times10000=6400 美元. 因为 4085⩽6400<126164085\leqslant6400<12616，所以该城市达到中等偏上收入国家标准. \item 达到中等偏上收入国家标准的行政区为 A、C、E，共 33 个. 从 55 个行政区中随机抽取 22 个，基本事件总数为 C52=10\mathrm C_5^2=10，有利事件数为从 A、C、E 中抽取 22 个，即 C32=3\mathrm C_3^2=3. 因此所求概率为 C32C52=310\frac{\mathrm C_3^2}{\mathrm C_5^2}=\frac3{10}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图.
(1) 求频率分布直方图中 aa 的值； (2) 分别求出成绩落在 [50,60)[50,60) 与 [60,70)[60,70) 中的学生人数； (3) 从成绩在 [50,70)[50,70) 的学生中任选 2 人，求此 2 人的成绩都在 [60,70)[60,70) 中的概率.

2014 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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22概率与统计★★★☆☆
设 ξ\xi 为随机变量，从棱长为 11 的正方体的 1212 条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0\xi=0；当两条棱平行时，ξ\xi 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1\xi=1.
(1) 求概率 P(ξ=0)P(\xi=0)； (2) 求 ξ\xi 的分布列，并求其数学期望 E(ξ)E(\xi).

2012 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
如图，从 A1(1,0,0)A_{1}(1,0,0)，A2(2,0,0)A_{2}(2,0,0)，B1(0,1,0)B_{1}(0,1,0)，B2(0,2,0)B_{2}(0,2,0)，C1(0,0,1)C_{1}(0,0,1)，C2(0,0,2)C_{2}(0,0,2) 这 6 个点中随机选取 3 个点.
(1) 求这 3 点与原点 OO 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2) 求这 3 点与原点 OO 共面的概率.

2012 · 江西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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15概率与统计★★★☆☆
编号分别为 A1A_{1}，A2A_{2}，⋯\cdots，A16A_{16} 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
(1) 将得分在对应区间内的人数填入相应的空格； (2) 从得分在区间 [20,30)[20, 30) 内的运动员中随机抽取 2 人，
(i) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果； (ii) 求这 2 人得分之和大于 50 的概率.

2011 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某市公租房的房源位于 AA，BB，CC 三个片区. 设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任 44 位申请人中：
(1) 没有人申请 AA 片区房源的概率； (2) 每个片区的房源都有人申请的概率.

2011 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为 11，22，…\ldots，66），求：
(1) 甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率； (2) 甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

2010 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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20概率与统计★★★☆☆
某车间甲组有 10 名10\text{ 名}工人，其中有 4 名4\text{ 名}女工人；乙组有 10 名10\text{ 名}工人，其中有 6 名6\text{ 名}女工人. 现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲，乙两组中共抽取 4 名4\text{ 名}工人进行技术考核.
(1) 求从甲，乙两组各抽取的人数； (2) 求从甲组抽取的工人中恰有 1 名1\text{ 名}女工人的概率； (3) 求抽取的 4 名4\text{ 名}工人中恰有 2 名2\text{ 名}男工人的概率.

2009 · 全国 · 大纲二卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
从集合 {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\} 的所有非空子集中，等可能地取出一个.
(1) 记性质 rr：集合中的所有元素之和为 1010，求所取出的非空子集满足性质 rr 的概率； (2) 记所取出的非空子集的元素个数为 ξ\xi，求 ξ\xi 的分布列和数学期望 EξE_{\xi}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 非空子集共有25−1=312^5-1=31个，且每个被取出的可能性相同.元素和为1010的非空子集为 {1,4,5}\{1,4,5\}、{2,3,5}\{2,3,5\}、{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}，共33个，所以P(r)=331P(r)=\dfrac{3}{31}.
\item 记所取子集的元素个数为ξ\xi.当ξ=k\xi=k时，从55个元素中选出kk个，共有C5k\mathrm C_5^k种，故 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccccc} ξ\xi&11&22&33&44&55\ \hline PP&531\dfrac{5}{31}&1031\dfrac{10}{31}&1031\dfrac{10}{31}&531\dfrac{5}{31}&131\dfrac{1}{31} \end{tabular} \end{center} 并且
Eξ=1⋅531+2⋅1031+3⋅1031+4⋅531+5⋅131=8031E_{\xi}=1\cdot\frac{5}{31}+2\cdot\frac{10}{31}+3\cdot\frac{10}{31}+4\cdot\frac{5}{31}+5\cdot\frac{1}{31} =\frac{80}{31}
\end{enumerate} \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）. 某旅游公司组织了一个有 3636 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中 34\frac{3}{4} 是省外游客，其余是省内游客. 在省外游客中有 13\frac{1}{3} 持金卡，在省内游客中有 23\frac{2}{3} 持银卡.
(1) 在该团中随机采访 2 名游客，求恰有 1 人持银卡的概率； (2) 在该团中随机采访 2 名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 省外游客有 36×34=2736\times\frac34=27 人，其中持金卡的有 27×13=927\times\frac13=9 人. 省内游客有 99 人，其中持银卡的有 9×23=69\times\frac23=6 人. 因此全团持银卡的有 66 人，不持银卡的有 3030 人. 随机采访两人时，恰有一人持银卡的概率为
C61C301C362=180630=27\frac{\mathrm C_6^1\mathrm C_{30}^1}{\mathrm C_{36}^2} =\frac{180}{630}=\frac27
\item 全团持金卡 99 人，持银卡 66 人，既不持金卡也不持银卡的有 36−9−6=2136-9-6=21 人. 两人中金卡、银卡人数相等时，只有“一人持金卡且一人持银卡”或“两人均不持这两种卡”两种情形，故所求概率为
9×6+C212C362=54+210630=44105\frac{9\times6+\mathrm C_{21}^2}{\mathrm C_{36}^2} =\frac{54+210}{630}=\frac{44}{105}
\end{enumerate} \end{solution}

2009 · 四川 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.
(1) 求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； (2) 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3) 设随机变量 ξ\xi 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求 ξ\xi 的分布列.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 55 名志愿者分到 44 个岗位且每个岗位至少一人，所以人数分配必为 22，11，11，11. 先选出二人所在的岗位，再选出这二人，最后把其余三人分别安排到其余三个岗位，等可能的分配总数为 4C523!=4×10×6=2404\mathrm C_5^2 3!=4\times10\times6=240. 甲、乙同时在 A 岗位时，二人必须正好是 A 岗位的两人，其余三人分别到 B，C，D，有 3!3! 种，所以概率为 3!240=140\frac{3!}{240}=\frac1{40}. \item 甲、乙在同一岗位时，他们必为唯一的二人岗位. 先选这个岗位，再把其余三人分别安排到另外三个岗位，共有 4⋅3!=244\cdot3!=24 种，因此 P(甲、乙同岗)=24240=110P(\text{甲、乙同岗})=\frac{24}{240}=\frac1{10}，从而 P(甲、乙不同岗)=1−110=910P(\text{甲、乙不同岗})=1-\frac1{10}=\frac9{10}. \item A 岗位人数只能取 11 或 22. 当 ξ=2\xi=2 时，先从五人中选出到 A 岗位的二人，再把其余三人分别安排到 B，C，D，有 C523!=60\mathrm C_5^2 3!=60 种，故 P(ξ=2)=60240=14P(\xi=2)=\frac{60}{240}=\frac14. 因此 P(ξ=1)=1−14=34P(\xi=1)=1-\frac14=\frac34. 分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|cc} ξ\xi&11&22\ \hline PP&34\frac34&14\frac14 \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \end{solution}

2008 · 北京 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18计数原理与组合数学★★★☆☆
甲，乙等五名奥运志愿者被随机地分到 AA，BB，CC，DD 四个不同的岗位服务. 每个岗位至少有一名志愿者.
(1) 求甲，乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； (2) 求甲，乙两人不在同一个岗位服务的概率.

2008 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某条公共汽车线路沿线共有 1111 个车站（包括起点站和终点站）. 在起点站开出的一辆公共汽车上有 66 位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的，求：
(1) 这 66 位乘客在互不相同的车站下车的概率. (2) 这 66 位乘客中恰有 33 人在终点站下车的概率.

2007 · 北京 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有 66 只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有 88 只蝇子：66 只果蝇和 22 只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.
(1) 求笼内恰好剩下 11 只果蝇的概率； (2) 求笼内至少剩下 55 只果蝇的概率.

2007 · 安徽 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某批产品成箱包装，每箱5 件5\text{ 件}，一用户在购进该批产品前先取出3 箱3\text{ 箱}，再从每箱中任意取出2 件2\text{ 件}产品进行检验. 设取出的第一，二，三箱中分别有0 件0\text{ 件}，1 件1\text{ 件}，2 件2\text{ 件}二等品，其余为一等品.
(1) 求抽检的6 件6\text{ 件}产品中恰有一件二等品的概率. (2) 若抽检的6 件6\text{ 件}产品中有2 件2\text{ 件}或2 件以上2\text{ 件以上}二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率.

2006 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
在添加剂的搭配适用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较，在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂. 现有芳香度分别为 00，11，22，33，44，55 的六种添加剂可供选用. 根据实验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配实验. 用 ξ\xi 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和.
(1) 写出 ξ\xi 的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程） (2) 求 ξ\xi 的数学期望 E(ξ)E(\xi).（要求写出计算过程或说明理由）

2006 · 安徽 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
盒中装有标有数字 11，22，33，44 的卡片各 22 张，从盒中任意抽取 33 张，每张卡片被取出的可能性都相等，求：
(1) 抽出的 33 张卡片上最大的数字是 44 的概率； (2) 抽出的 33 张中有 22 张卡片上的数字是 33 的概率； (3) 抽出的 33 张卡片上的数字互不相同的概率.

2006 · 山东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20概率与统计★★★☆☆
某单位组织 44 个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界 33 个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.
(1) 求 33 个景区都有部门选择的概率； (2) 求恰有 22 个景区有部门选择的概率.
\begin{solution} 每个部门有 33 种选择，且各部门的选择相互独立，所以所有选择的总数为 343^4.
\begin{enumerate} \item 若 33 个景区都有部门选择，则一个景区有 22 个部门选择，另外两个景区各有 11 个部门选择. 先选出有 22 个部门的景区，有 33 种；再从 44 个部门中选出这 22 个部门，有 C42\mathrm C_4^2 种；剩下的两个部门分别选择另外两个景区，有 22 种. 因而所求概率为
3C42⋅234=3681=49\frac{3\mathrm C_4^2\cdot2}{3^4}=\frac{36}{81}=\frac{4}{9}
\item 若恰有 22 个景区有部门选择，先选出这 22 个景区，有 C32\mathrm C_3^2 种. 对固定的两个景区，所有部门在其中选择共有 242^4 种，其中全部选择第一个或全部选择第二个的情形各有 11 种，故恰好使用两个景区有 24−22^4-2 种. 因而所求概率为
C32(24−2)34=4281=1427\frac{\mathrm C_3^2(2^4-2)}{3^4}=\frac{42}{81}=\frac{14}{27}
\end{enumerate} \end{solution}

2005 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
已知 8 支8\text{ 支} 球队中有 3 支3\text{ 支} 弱队，以抽签的方式将这 8 支8\text{ 支} 球队分为 A，B 两组，每组 4 支4\text{ 支}. 求：
(1) A，B 两组中有一组恰有 2 支2\text{ 支} 弱队的概率； (2) A 组中至少有 2 支2\text{ 支} 弱队的概率.

2004 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
已知 8 支8\text{ 支} 球队中有 3 支3\text{ 支} 弱队，以抽签方式将这 8 支8\text{ 支} 球队分为 AA，BB 两组，每组 4 支4\text{ 支}，求：
(1) AA，BB 两组中有一组恰有 2 支2\text{ 支} 弱队的概率； (2) AA 组中至少有两支弱队的概率.

2004 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18计数原理与组合数学★★★☆☆
甲，乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 1010 道试题中，甲能答对其中的 66 题，乙能答对其中的 88 题. 规定每次考试都从备选题中随机抽出 33 题进行测试，至少答对 22 题才算合格.
(1) 求甲，乙两人考试合格的概率； (2) 求甲，乙两人至少有一人考试合格的概率.

2004 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19计数原理与组合数学★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} （nn 为正整数）是首项是 a1a_{1}，公比为 qq 的等比数列.
(1) 求和：a1C20−a2C21+a3C22a_{1}\mathrm C_{2}^{0} - a_{2}\mathrm C_{2}^{1} + a_{3}\mathrm C_{2}^{2}，a1C30−a2C31+a3C32−a4C33a_{1}\mathrm C_{3}^{0} - a_{2}\mathrm C_{3}^{1} + a_{3}\mathrm C_{3}^{2} - a_{4}\mathrm C_{3}^{3}. (2) 由前一问的结果归纳概括出关于正整数 nn 的一个结论，并加以证明；

2003 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22计数原理与组合数学★★★☆☆
用数学归纳法证明：(1⋅22−2⋅32)+(3⋅42−4⋅52)+⋯+[(2n−1)(2n)2−2n(2n+1)2]=−n(n+1)(4n+3)(1 \cdot 2^2 - 2 \cdot 3^2) + (3 \cdot 4^2 - 4 \cdot 5^2) + \cdots + [(2n - 1)(2n)^2 - 2n(2n + 1)^2] = -n(n + 1)(4n + 3).

1989 · 全国 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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24计数原理与组合数学★★★☆☆
在 (1−x2)20(1-x^2)^{20} 的展开式中，如果第 4r4r 项和第 r+2r+2 项的二项式系数相等，
(1) 求 rr 的值； (2) 写出展开式中的第 4r4r 项和第 r+2r+2 项.

1989 · 上海 · 第 24 题 · 解答题

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