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10复数★★★☆☆
ii 为虚数单位，若复数 zz 满足 z2=(zˉ)2z^2=(\bar z)^2，且 ∣z∣≤1|z|\le1，则 ∣z−2−3i∣|z-2-3\mathrm{i}| 的最小值是______.

2025 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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09复数★★★☆☆
设 m∈Rm\in \mathbf{R}，若虚数 zz 的实部为 1，且 z+2z=mz+\frac{2}{z}=m，则 m=m=______.

2024 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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11复数★★★☆☆
设 z1z_1，z2∈Cz_2\in \mathbb{C} 且 z1=i⋅z2z_1=\mathrm{i}\cdot z_2，满足 ∣z1−1∣=1\left|z_1-1\right|=1，则 ∣z1−z2∣\left|z_1-z_2\right| 的取值范围为______ .

2023 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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33复数★★★☆☆
关于 xx 的实系数一元二次方程 x2+px+2=0x^2 + px + 2 = 0 的两个虚数根为 z1z_1， z2z_2，若 z1z_1， z2z_2 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为______.
\begin{answer} 222\sqrt2 \end{answer}
\begin{solution} 因为方程系数为实数且两根为非实根，所以两根互为共轭，可设 z1=u+viz_1=u+v\mathrm{i}、z2=u−viz_2=u-v\mathrm{i}，其中 v≠0v\neq0. 由韦达定理 z1z2=2z_1z_2=2，得 u2+v2=2u^2+v^2=2.
椭圆的两个焦点为这两个点，原点在椭圆上，所以原点到两个焦点的距离之和等于长轴长 2a2a. 两个距离都等于 u2+v2=2\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt2，故 2a=222a=2\sqrt2. 因此该椭圆的长轴长为 222\sqrt2. \end{solution}

2015 · 上海 · 春季 · 第 33 题 · 填空题

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11复数★★★☆☆
已知互异的复数 aa，bb 满足 ab≠0ab \neq 0，集合 {a,b}={a2,b2}\{a, b\} = \{a^2, b^2\}，则 a+b=a + b =______.

2014 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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14复数★★★☆☆
为求解方程 x5−1=0x^{5} - 1 = 0 的虚根，可以把原方程变形为 (x−1)(x4+x3+x2+x+1)=0(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 0，再变形为 (x−1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=0(x - 1)(x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 1) = 0，由此可得原方程的一个虚根为______.

2011 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 填空题

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16复数★★★☆☆
设 SS 为复数集 C\mathbf{C} 的非空子集. 若对任意 xx，y∈Sy \in S，都有 x+yx + y，x−yx - y，xy∈Sxy \in S，则称 SS 为封闭集. 下列命题：
① 集合 S={a+bi∣a,b 为整数,i 为虚数单位}S = \{a + b\mathrm{i} \mid a, b\text{ 为整数}, \mathrm{i}\text{ 为虚数单位}\} 为封闭集； ② 若 SS 为封闭集，则一定有 0∈S0 \in S； ③ 封闭集一定是无限集； ④ 若 SS 为封闭集，则满足 S⊆T⊆CS \subseteq T \subseteq \mathbf{C} 的任意集合 TT 也是封闭集.
其中真命题是______. （写出所有真命题的序号）

2010 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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22复数★★★☆☆
若 i\mathrm{i} 是虚数单位，计算：(1+3i)5162(cos⁡π6−isin⁡π6)=\displaystyle \frac{(1+\sqrt{3}\mathrm{i})^5}{16\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{6}-\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{6}\right)}=______.

1996 · 上海 · 理 · 第 22 题（B） · 填空题

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