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共找到 18 题
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15复数★★★☆☆
对于任意两个复数 zz，ww，如果满足 z−wz-w 为实数，或 z−w‾z-\overline{w} 为实数，那么就称 zz 与 ww 伴随. 如果 zz 与 ww 伴随，则 w−iw-\mathrm{i} 与 z+iz+\mathrm{i} 伴随的充要条件是（ ）
A.
Rez+Rew=0\mathrm{Re} z+\mathrm{Re} w=0
B.
Rez−Rew=0\mathrm{Re} z-\mathrm{Re} w=0
C.
Imz+Imw=0\mathrm{Im} z+\mathrm{Im} w=0
D.
Imz−Imw=0\mathrm{Im} z-\mathrm{Im} w=0

2026 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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11概率与统计★★★☆☆
设复数 z=(x−1)+yiz = (x - 1) + y\mathrm{i} （xx，y∈Ry \in \mathbf{R}），若 ∣z∣⩽1|z| \leqslant 1，则 y⩾xy \geqslant x 的概率为（ ）
A.
34+12π\frac{3}{4} + \frac{1}{2\pi}
B.
12+1π\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}
C.
12−1π\frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}
D.
14−12π\frac{1}{4} - \frac{1}{2\pi}

2015 · 陕西 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12概率与统计★★★☆☆
设复数 z=(x−1)+yiz = (x - 1) + yi（xx，y∈Ry \in \mathbf{R}），若 ∣z∣⩽1|z| \leqslant 1，则 y⩾xy \geqslant x 的概率为（ ）
A.
34+12π\frac{3}{4} + \frac{1}{2\pi}
B.
12+1π\frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}
C.
14−12π\frac{1}{4} - \frac{1}{2\pi}
D.
12−1π\frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}

2015 · 陕西 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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16复数★★★☆☆
已知互异的复数 aa，bb 满足 ab≠0ab \neq 0，集合 {a,b}={a2,b2}\{a, b\} = \{a^2, b^2\}，则 a+b=a + b =（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由于 a≠ba\ne b，集合相等时不可能同时有 a=a2a=a^2 和 b=b2b=b^2，否则由 ab≠0ab\ne0 得 a=b=1a=b=1. 因而只能有 a=b2a=b^2、b=a2b=a^2. 代入得 a=a4a=a^4，而 a≠0a\ne0，所以 a3=1a^3=1. 若 a=1a=1，则 b=a2=1b=a^2=1，与互异矛盾；故 aa 是非实的三次单位根，且 b=a2b=a^2. 由 1+a+a2=01+a+a^2=0，得 a+b=a+a2=−1a+b=a+a^2=-1，选 D. \end{solution}
A.
22
B.
11
C.
00
D.
−1-1

2014 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

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10复数★★★☆☆
对任意复数 w1w_{1}，w2w_{2}，定义 w1∗w2=w1w‾2w_{1} * w_{2} = w_{1} \overline{w}_{2}. 其中 w‾2\overline{w}_{2} 是 w2w_{2} 的共轭复数. 对任意复数 z1z_{1}，z2z_{2}，z3z_{3} 有如下四个命题：
① (z1+z2)∗z3=(z1∗z3)+(z2∗z3)(z_{1} + z_{2}) * z_{3} = (z_{1} * z_{3}) + (z_{2} * z_{3})； ② z1∗(z2+z3)=(z1∗z2)+(z1∗z3)z_{1} * (z_{2} + z_{3}) = (z_{1} * z_{2}) + (z_{1} * z_{3})； ③ (z1∗z2)∗z3=z1∗(z2∗z3)(z_{1} * z_{2}) * z_{3} = z_{1} * (z_{2} * z_{3})； ④ z1∗z2=z2∗z1z_{1} * z_{2} = z_{2} * z_{1}.
则真命题的个数是（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

2014 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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09复数★★★☆☆
对于复数 aa，bb，cc，dd，若集合 S={a,b,c,d}S = \{a, b, c, d\} 具有性质“对任意 xx，y∈Sy \in S，必有 xy∈Sxy \in S”，则当
{a=1,b2=1,c2=b\begin{cases} a = 1,\\ b^2 = 1,\\ c^2 = b \end{cases}
时，b+c+db + c + d 等于（ ）
A.
1
B.
−1-1
C.
0
D.
i\mathrm{i}

2010 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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06复数★★★☆☆
若 z∈Cz\in\mathbb{C} 且 ∣z+2−2i∣=1|z+2-2\mathrm{i}|=1，则 ∣z−2−2i∣|z-2-2\mathrm{i}| 的最小值是（ ）
\begin{solution} 令 w=z+2−2iw=z+2-2\mathrm{i}，则 ∣w∣=1\lvert w\rvert=1，并且 z−2−2i=w−4z-2-2\mathrm{i}=w-4. 由三角不等式的逆不等式，∣z−2−2i∣=∣w−4∣⩾∣∣4∣−∣w∣∣=3\lvert z-2-2\mathrm{i}\rvert=\lvert w-4\rvert\geqslant\bigl|\lvert4\rvert-\lvert w\rvert\bigr|=3. 取 w=1w=1 时等号成立，所以所求最小值为 33，应选 B. \end{solution}
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2003 · 北京 · 秋季 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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11复数★★★☆☆
设复数 z1=2sin⁡θ+icos⁡θz_{1}=2\sin\theta+\mathrm{i}\cos\theta（π4<θ<π2\frac{\pi}{4}<\theta<\frac{\pi}{2}）在复平面上对应向量 OZ1→\overrightarrow{OZ_{1}}，将 OZ1→\overrightarrow{OZ_{1}} 按顺时针方向旋转 3π4\frac{3\pi}{4} 后得到向量 OZ2→\overrightarrow{OZ_{2}}，OZ2→\overrightarrow{OZ_{2}} 对应的复数为 z2=r(cos⁡φ+isin⁡φ)z_{2}=r\left(\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi\right)，则 tan⁡φ=\tan\varphi=（ ）
A.
2tan⁡θ+12tan⁡θ−1\frac{2\tan\theta+1}{2\tan\theta-1}
B.
2tan⁡θ−12tan⁡θ+1\frac{2\tan\theta-1}{2\tan\theta+1}
C.
12tan⁡θ+1\frac{1}{2\tan\theta+1}
D.
12tan⁡θ−1\frac{1}{2\tan\theta-1}

2000 · 京皖 · 春季 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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11复数★★★☆☆
设复数 z1=−1−iz_1=-1-\mathrm{i} 在复平面上对应向量 OZ1→\overrightarrow{OZ_1}，将 OZ1→\overrightarrow{OZ_1} 按顺时针方向旋转 5π6\frac{5\pi}{6} 后得到向量 OZ2→\overrightarrow{OZ_2}. 令 OZ2→\overrightarrow{OZ_2} 对应的复数为 z2z_2，z2z_2 的辐角主值为 θ\theta，则 tan⁡θ=\tan\theta=（\quad）
A.
2−32 - \sqrt{3}
B.
−2+3-2+\sqrt{3}
C.
2+32 + \sqrt{3}
D.
−2−3-2-\sqrt{3}

2000 · 京皖 · 春季 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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08复数★★★☆☆
复数 −i-\mathrm{i} 的一个立方根是 i\mathrm{i}，它的另外两个立方根是（ ）
A.
32±12i\frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{1}{2}\mathrm{i}
B.
−32±12i-\frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{1}{2}\mathrm{i}
C.
±32+12i\pm \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\mathrm{i}
D.
±32−12i\pm \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\mathrm{i}

1998 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08复数★★★☆☆
复数 −i-\mathrm{i} 的一个立方根是 i\mathrm{i}，它的另外两个立方根是（ ）
A.
32±12i\frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{1}{2}\mathrm{i}
B.
−32±12i-\frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{1}{2}\mathrm{i}
C.
±32+12i\pm\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\mathrm{i}
D.
±32−12i\pm\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}\mathrm{i}

1998 · 全国 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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04复数★★★☆☆
复数 (2+2i)4(1−3i)5\frac{\left(2 + 2\mathrm{i}\right)^4}{\left(1 - \sqrt{3}\mathrm{i}\right)^5} 等于（ ）
A.
1+3i1 + \sqrt{3}\mathrm{i}
B.
−1+3i-1 + \sqrt{3}\mathrm{i}
C.
1−3i1 - \sqrt{3}\mathrm{i}
D.
−1−3i-1 - \sqrt{3}\mathrm{i}

1996 · 全国 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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09复数★★★☆☆
如果复数 zz 满足 ∣z+i∣+∣z−i∣=2|z + \mathrm{i}| + |z - \mathrm{i}| = 2，那么 ∣z+i+1∣|z + \mathrm{i} + 1| 的最小值是（ ）
A.
11
B.
2\sqrt{2}
C.
22
D.
5\sqrt{5}

1994 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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09复数★★★☆☆
如果复数 zz 满足 ∣z+i∣+∣z−i∣=2|z + \mathrm{i}| + |z - \mathrm{i}| = 2，那么 ∣z+i+1∣|z + \mathrm{i} + 1| 的最小值是（ ）
A.
11
B.
2\sqrt{2}
C.
22
D.
5\sqrt{5}

1994 · 全国 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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09复数★★★☆☆
使 (6−2i)n\left( \sqrt{6}-\sqrt{2}\mathrm{i} \right)^{n} 是纯虚数的最小自然数 n=n=（ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

1994 · 全国 · 旧科目组 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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16复数★★★☆☆
设复数 z=−12+32iz = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位），则满足等式 zn=zz^n = z，且大于 11 的正整数 nn 中最小的是（ ）
A.
33
B.
44
C.
66
D.
77

1994 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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04复数★★★☆☆
当 z=−1−i2z = -\frac{1 - \mathrm{i}}{\sqrt{2}} 时，z100+z50+1z^{100} + z^{50} + 1 的值等于（ ）
A.
11
B.
−1-1
C.
i\mathrm{i}
D.
−i-\mathrm{i}

1993 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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12复数★★★☆☆
把复数 1+i1+\mathrm{i} 对应的向量按顺时针方向旋转 2π3\frac{2\pi}{3}，所得到的向量对应的复数是（ ）
A.
1−32+−1+32i\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
B.
1−32+−1−32i\frac{1-\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
C.
−1+32+−1−32i\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}
D.
−1+32+1−32i\frac{-1+\sqrt{3}}{2}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}

1990 · 广东 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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