已知 $A(0,1)$，$B(1,2)$，$C$ 在 $\Gamma:x^2-y^2=1$（$x\ge1$，$y\ge0$） 上，则 $\triangle ABC$ 的面积（ ）

若 $x$，$y\in\mathbf{R}^+$，且 $\frac1x+2y=3$，则 $\frac yx$ 的最大值为______.

已知函数 $f(x) = ax^2 + \frac{1}{x}$，其中 $a$ 为常数.

(1) 根据 $a$ 的不同取值，判断函数 $f(x)$ 的奇偶性，并说明理由； (2) 若 $a \in (1,3)$，判断函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上的单调性，并说明理由.

甲厂以 $x$ 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 $1\leqslant x\leqslant 10$），每一小时可获得利润是 $100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right)$ 元.

(1) 要使生产该产品 $2$ 小时获得的利润不低于 $3000$ 元，求 $x$ 的取值范围； (2) 要使生产 $900$ 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

甲厂以 $x\text{ 千克/小时}$ 的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 $1 \leqslant x \leqslant 10$），每一小时可获得的利润是 $100\left(5x + 1 - \frac{3}{x}\right)\text{ 元}$.

(1) 求证：生产 $a\text{ 千克}$ 该产品所获得的利润为 $100a\left(5 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}\right)\text{ 元}$； (2) 要使生产 $900\text{ 千克}$ 该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 生产 $a\text{ 千克}$ 产品需要 $\frac{a}{x}$ 小时，所以所获得的利润为 \item 当生产 $900\text{ 千克}$ 产品时，利润函数为 $P(x)=90000\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)$，$1\leqslant x\leqslant10$. 其导数为 由于 $x>0$，当 $1\leqslant x<6$ 时 $P'(x)>0$，当 $6<x\leqslant10$ 时 $P'(x)<0$，所以 $P(x)$ 在 $[1,6]$ 上递增，在 $[6,10]$ 上递减，最大值在 $x=6$ 时取得. 最大利润为 因此甲厂应选择 $6\text{ 千克/小时}$ 的生产速度，最大利润为 $457500\text{ 元}$. \end{enumerate} \end{solution}

已知函数 $f(x) = x^2 + \frac{a}{x}$（$x \neq 0$，常数 $a \in \mathbf{R}$）.

(1) 讨论函数 $f(x)$ 的奇偶性，并说明理由； (2) 若函数 $f(x)$ 在 $x \in [2, +\infty)$ 上为增函数，求 $a$ 的取值范围.

某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 $x$，$y$（单位为 $\mathrm{m}$）的矩形. 上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 $8 \mathrm{~cm}^{2}$. 问 $x$，$y$ 分别为多少（精确到 $0.001 \mathrm{~m}$）时用料最省？