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106分函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，且当 x>0x>0 时，f(x)=(x2−3)ex+2f(x)=(x^2-3)\mathrm{e}^x+2，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
当 x<0x<0 时，f(x)=−(x2−3)e−x−2f(x)=-(x^2-3)\mathrm{e}^{-x}-2
C.
f(x)≥2f(x)\ge 2 当且仅当 x≥3x\ge \sqrt3
D.
x=−1x=-1 是 f(x)f(x) 的极大值点

2025 · 全国 · 二卷 · 第 10 题 · 多选题

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07函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=−x4+x2+2y=-x^4+x^2+2 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=−x4+x2+2y=-x^4+x^2+2 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)=ln⁡(1+x)−ln⁡(1−x)f(x) = \ln (1 + x) - \ln (1 - x)，x∈(−1,1)x \in (-1, 1). 现有下列命题：
① f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)； ② f(2xx2+1)=2f(x)f\left(\frac{2x}{x^{2}+1}\right) = 2f(x)； ③ ∣f(x)∣⩾2∣x∣|f(x)| \geqslant 2|x|.
其中所有正确命题的序号是（ ）
A.
①②③
B.
②③
C.
①③
D.
①②

2014 · 四川 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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19数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差为 dd，点 (an,bn)(a_{n}, b_{n}) 在函数 f(x)=2xf(x) = 2^{x} 的图象上（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 证明：数列 {bn}\{b_{n}\} 为等比数列； (2) 若 a1=1a_{1} = 1，函数 f(x)f(x) 的图象在点 (a2,b2)(a_{2}, b_{2}) 处的切线在 xx 轴上的截距为 2−1ln⁡22 - \frac{1}{\ln 2}，求数列 {anbn2}\{a_{n} b_{n}^{2}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为点 (an,bn)(a_n,b_n) 在 y=2xy=2^x 的图象上，所以 bn=2anb_n=2^{a_n}. 又 an+1=an+da_{n+1}=a_n+d，故
bn+1bn=2an+d2an=2d\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{a_n+d}}{2^{a_n}}=2^d
这个比值与 nn 无关，所以 {bn}\{b_n\} 是以 2d2^d 为公比的等比数列. \item 函数 f(x)=2xf(x)=2^x 的导数为 f′(x)=2xln⁡2f'(x)=2^x\ln2. 在点 (a2,b2)(a_2,b_2) 处的切线方程为
y−b2=b2ln⁡2(x−a2)y-b_2=b_2\ln2\left(x-a_2\right)
令 y=0y=0，得该切线在 xx 轴上的截距为 a2−1ln⁡2a_2-\frac1{\ln2}. 由题设及 a1=1a_1=1，得 a2=2a_2=2，从而 d=1d=1，an=na_n=n，bn=2nb_n=2^n. 因此
Sn=∑k=1nakbk2=∑k=1nk4kS_n=\sum_{k=1}^n a_kb_k^2=\sum_{k=1}^n k4^k
设上式为 SnS_n，则 4Sn=∑k=2n+1(k−1)4k4S_n=\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)4^k，相减得
3Sn=n4n+1−∑k=1n4k=n4n+1−4n+1−433S_n=n4^{n+1}-\sum_{k=1}^n4^k=n4^{n+1}-\frac{4^{n+1}-4}{3}
所以 Sn=(3n−1)4n+1+49S_n=\frac{(3n-1)4^{n+1}+4}{9}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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07函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=x33x−1y = \frac{x^3}{3^{x} - 1} 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2013 · 四川 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3+2bx2+cx−2f(x) = x^3 + 2bx^2 + cx - 2 的图象在与 xx 轴交点处的切线方程是 y=5x−10y = 5x - 10.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的解析式； (2) 设函数 g(x)=f(x)+13mxg(x) = f(x) + \frac{1}{3}mx，若 g(x)g(x) 的极值存在，求实数 mm 的取值范围以及函数 g(x)g(x) 取得极值时对应的自变量 xx 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 切线 y=5x−10y=5x-10 与 xx 轴交于 (2,0)(2,0)，所以函数图象与 xx 轴的交点为 (2,0)(2,0)，即 f(2)=0f(2)=0. 切线斜率为 55，故 f′(2)=5f'(2)=5. 由 f(2)=8+8b+2c−2=0f(2)=8+8b+2c-2=0，f′(2)=12+8b+c=5f'(2)=12+8b+c=5 得到 4b+c=−34b+c=-3，8b+c=−78b+c=-7. 解得 b=−1b=-1，c=1c=1，所以
f(x)=x3−2x2+x−2f(x)=x^3-2x^2+x-2
\item
g′(x)=3x2−4x+1+m3g'(x)=3x^2-4x+1+\frac{m}{3}
要使三次函数 gg 有极大值和极小值，导函数必须有两个不相等的实根，即
Δ=(−4)2−4⋅3(1+m3)=4(1−m)>0\Delta=(-4)^2-4\cdot3\left(1+\frac{m}{3}\right)=4(1-m)>0
故 m<1m<1. 此时导函数的两个零点为 x=2−1−m3x=\frac{2-\sqrt{1-m}}{3}，x=2+1−m3x=\frac{2+\sqrt{1-m}}{3}. 因二次导函数首项系数为正，较小的根处导函数由正变负，取得极大值；较大的根处导函数由负变正，取得极小值. 因此前者对应极大值，后者对应极小值. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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12计数原理与组合数学★★★☆☆
已知一组抛物线 y=12ax2+bx+1y = \frac{1}{2}ax^2 + bx + 1，其中 aa 为 22，44，66，88 中任取的一个数，bb 为 11，33，55，77 中任取的一个数. 从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 x=1x = 1 交点处的切线相互平行的概率是（ ）
A.
112\frac{1}{12}
B.
760\frac{7}{60}
C.
625\frac{6}{25}
D.
525\frac{5}{25}

2007 · 四川 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ax3+bx+cf(x) = ax^3 + bx + c（a≠0a \neq 0）为奇函数，其图象在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线与直线 x−6y−7=0x - 6y - 7 = 0 垂直，导函数 f′(x)f'(x) 的最小值为 −12-12.
(1) 求 aa，bb，cc 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调递增区间，并求函数 f(x)f(x) 在 [−1,3][-1,3] 上的最大值和最小值.

2007 · 四川 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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