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065分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x+2ex+af(x)=\dfrac{x+2}{\mathrm{e}^x+a} 的最大值为 11，则 a=a=（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
11
C.
32\dfrac{3}{2}
D.
22

2026 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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106分导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=(x−1)2(x−4)f(x)=(x-1)^2(x-4) ，则（ ）
A.
x=3x=3 是 f(x)f(x) 的极小值点
B.
当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(x2)f(x)<f(x^2)
C.
当 1<x<21<x<2 时，−4<f(2x−1)<0-4<f(2x-1)<0
D.
当 −1<x<0-1<x<0 时，f(2−x)>f(x)f(2-x)>f(x)

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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135分导数及其应用★★★☆☆
若曲线 y=ex+xy=\mathrm{e}^x+x 与曲线 y=ln⁡(x+1)+ay=\ln(x+1)+a 在点 (0,1)(0,1) 处有切线重合，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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065分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=aex−ln⁡xf(x)=a\mathrm{e}^x-\ln x 在区间 (1,2)(1,2) 单调递增，则 aa 的最小值为（ ）
A.
e2\mathrm{e}^2
B.
e\mathrm{e}
C.
e−1\mathrm{e}^{-1}
D.
e−2\mathrm{e}^{-2}

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 6 题 · 选择题

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11导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=cos⁡x+(x+1)sin⁡x+1f(x)=\cos x+(x+1)\sin x+1 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上的最小值，最大值分别为（ ）
A.
−π2-\dfrac{\pi}{2}，π2\dfrac{\pi}{2}
B.
−3π2-\dfrac{3\pi}{2}，π2\dfrac{\pi}{2}
C.
−π2-\dfrac{\pi}{2}，π2+2\dfrac{\pi}{2}+2
D.
−3π2-\dfrac{3\pi}{2}，π2+2\dfrac{\pi}{2}+2

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
已知球 OO 的半径为 11，四棱锥的顶点为 OO，底面的四个顶点均在球 OO 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A.
13\dfrac{1}{3}
B.
12\dfrac{1}{2}
C.
33\dfrac{\sqrt3}{3}
D.
22\dfrac{\sqrt2}{2}

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★☆☆
设 a≠0a\ne 0，若 x=ax=a 为函数 f(x)=a(x−a)2(x−b)f(x)=a(x-a)^2(x-b) 的极大值点，则（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
a<ba<b
B.
a>ba>b
C.
ab<a2ab<a^2
D.
ab>a2ab>a^2

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由图象右端向上，知三次项系数 a>0a>0. 设两个极值点的横坐标为 x1x_1、x2x_2，由图可知 0<x1<x20<x_1<x_2. 因为
f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax^2+2bx+c
且 x1x_1，x2x_2 是方程 f′(x)=0f'(x)=0 的两个根，所以
x1+x2=−2b3a>0x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0
结合 a>0a>0，得 b<0b<0. 图象在 x=0x=0 处递增，所以 c=f′(0)>0c=f'(0)>0；又图象与 yy 轴的交点在 xx 轴上方，所以 d=f(0)>0d=f(0)>0. 因此只有选项 A 成立. \end{solution}
A.
a>0a > 0，b<0b < 0，c>0c > 0，d>0d > 0
B.
a>0a > 0，b<0b < 0，c<0c < 0，d>0d > 0
C.
a<0a < 0，b<0b < 0，c>0c > 0，d>0d > 0
D.
a>0a > 0，b>0b > 0，c>0c > 0，d<0d < 0

2015 · 安徽 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax(x+r)2f(x) = \frac{ax}{(x + r)^2}（a>0a > 0，r>0r > 0）.
(1) 求 f(x)f(x) 的定义域，并讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 ar=400\frac{a}{r} = 400，求 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0, +\infty) 内的极值.

2015 · 安徽 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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15导数及其应用★★★☆☆
若直线 ll 与曲线 CC 满足下列两个条件：
① 直线 ll 在点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 处与曲线 CC 相切； ② 曲线 CC 在点 PP 附近位于直线 ll 的两侧，
则称直线 ll 在点 PP 处“切过”曲线 CC.
下列命题正确的是______.（写出所有正确命题的编号）
① 直线 l:y=0l: y = 0 在点 P(0,0)P(0,0) 处“切过”曲线 C:y=x3C: y = x^3. ② 直线 l:x=−1l: x = -1 在点 P(−1,0)P(-1,0) 处“切过”曲线 C:y=(x+1)2C: y = (x + 1)^2. ③ 直线 l:y=xl: y = x 在点 P(0,0)P(0,0) 处“切过”曲线 C:y=sin⁡xC: y = \sin x. ④ 直线 l:y=xl: y = x 在点 P(0,0)P(0,0) 处“切过”曲线 C:y=tan⁡xC: y = \tan x. ⑤ 直线 l:y=x−1l: y = x - 1 在点 P(1,0)P(1,0) 处“切过”曲线 C:y=ln⁡xC: y = \ln x.
\begin{answer} \circled1\circled3\circled4\circled{1}\circled{3}\circled{4} \end{answer}

2014 · 安徽 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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17导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ax−(1+a2)x2f(x) = ax - (1 + a^2)x^2，其中 a>0a > 0，区间 I={x∣f(x)>0}I = \{x \mid f(x) > 0\}.
(1) 求 II 的长度（注：区间 (α,β)(\alpha, \beta) 的长度定义为 β−α\beta - \alpha）； (2) 给定常数 k∈(0,1)k \in (0,1)，当 1−k⩽a⩽1+k1 - k \leqslant a \leqslant 1 + k 时，求 II 长度的最小值.

2013 · 安徽 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=2a_{1} = 2，a2+a4=8a_{2} + a_{4} = 8，且对任意 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，函数 f(x)=(an−an+1+an+2)x+an+1cos⁡x−an+2sin⁡xf(x) = (a_{n} - a_{n+1} + a_{n+2})x + a_{n+1}\cos x - a_{n+2}\sin x 满足 f′ ⁣(π2)=0f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若 bn=2(an+12an)b_{n} = 2\left(a_{n} + \frac{1}{2a_{n}}\right)，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2013 · 安徽 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17不等式★★★☆☆
设 f(x)=ax+1ax+bf(x) = ax + \frac{1}{ax} + b （a>0a > 0） 定义在 (0,+∞)(0, +\infty) 上.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小值； (2) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程为 y=32xy = \frac{3}{2}x，求 aa，bb 的值.

2012 · 安徽 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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10导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=axm(1−x)nf(x) = ax^{m}(1 - x)^n 在区间 [0,1][0,1] 上的图象如图所示，则 mm，nn 的值可能是（ ）
A.
m=1m = 1，n=1n = 1
B.
m=1m = 1，n=2n = 2
C.
m=2m = 2，n=1n = 1
D.
m=3m = 3，n=1n = 1

2011 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=axn(1−x)2f(x) = ax^{n}(1 - x)^{2} 在区间 [0,1][0, 1] 上的图象如图所示，则 nn 可能是（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2011 · 安徽 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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18导数及其应用★★★☆☆
设 f(x)=ex1+ax2f(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{1 + ax^{2}}，其中 aa 为正实数.
(1) 当 a=43a = \frac{4}{3} 时，求 f(x)f(x) 的极值点； (2) 若 f(x)f(x) 为 R\mathbf{R} 上的单调函数，求 aa 的取值范围.

2011 · 安徽 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
设 aa 为实数，函数 f(x)=ex−2x+2af(x) = \mathrm{e}^{x} - 2x + 2a，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间与极值； (2) 求证：当 a>ln⁡2−1a > \ln 2 - 1 且 x>0x > 0 时，ex>x2−2ax+1\mathrm{e}^{x} > x^{2} - 2ax + 1.

2010 · 安徽 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡x−cos⁡x+x+1f(x) = \sin x - \cos x + x + 1，0<x<2π0 < x < 2\pi，求函数 f(x)f(x) 的单调区间与极值.

2010 · 安徽 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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09导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=sin⁡θ3x3+3cos⁡θ2x2+tan⁡θf(x) = \frac{\sin \theta}{3} x^3 + \frac{\sqrt{3} \cos \theta}{2} x^2 + \tan \theta，其中 θ∈[0,5π12]\theta \in \left[0, \frac{5\pi}{12}\right]，则导数 f′(1)f'(1) 的取值范围是（ ）
A.
[−2,2][-2, 2]
B.
[2,3][\sqrt{2},\sqrt{3}]
C.
[3,2][\sqrt{3}, 2]
D.
[2,2][\sqrt{2}, 2]

2009 · 安徽 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=1xln⁡xf(x) = \frac{1}{x \ln x}（x>0x > 0 且 x≠1x \neq 1）.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 已知 21x>xa2^{\frac{1}{x}} > x^{a} 对任意 x∈(0,1)x \in (0,1) 成立，求实数 aa 的取值范围.

2008 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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09函数与初等函数★★★☆☆
设函数 f(x)=2x+1x−1f(x) = 2x + \frac{1}{x} - 1（x<0x < 0），则 f(x)f(x)（ ）
A.
有最大值
B.
有最小值
C.
是增函数
D.
是减函数

2008 · 安徽 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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18导数及其应用★★★☆☆
设 a⩾0a \geqslant 0，f(x)=x−1−ln⁡2x+2aln⁡xf(x) = x - 1 - \ln^2 x + 2a \ln x（x>0x > 0）.
(1) 令 F(x)=xf′(x)F(x) = xf'(x)，讨论 F(x)F(x) 在 (0,+∞)(0, +\infty) 内的单调性并求极值. (2) 求证：当 x>1x > 1 时，恒有 x>ln⁡2x−2aln⁡x+1x > \ln^{2} x - 2a \ln x + 1.

2007 · 安徽 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上有定义，对任意实数 a>0a > 0 和任意实数 xx，都有 f(ax)=af(x)f(ax) = af(x).
(1) 证明 f(0)=0f(0) = 0； (2) 证明
f(x)={kx,x⩾0,hx,x<0,f(x) = \begin{cases} kx, & x \geqslant 0,\\ hx, & x < 0, \end{cases}
其中 kk 和 hh 均为常数； (3) 当第（2）问中的 k>0k > 0 时，设 g(x)=1f(x)+f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)} + f(x)（x>0x > 0），讨论 g(x)g(x) 在 (0,+∞)(0, +\infty) 内的单调性并求极值.

2006 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=x3+bx2+cxf(x) = x^3 + bx^2 + cx（x∈Rx \in \mathbf{R}），已知 g(x)=f(x)−f′(x)g(x) = f(x) - f'(x) 是奇函数.
(1) 求 bb，cc 的值. (2) 求 g(x)g(x) 的单调区间与极值.

2006 · 安徽 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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