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065分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x+2ex+af(x)=\dfrac{x+2}{\mathrm{e}^x+a} 的最大值为 11，则 a=a=（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
11
C.
32\dfrac{3}{2}
D.
22

2026 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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106分导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=(x−1)2(x−4)f(x)=(x-1)^2(x-4) ，则（ ）
A.
x=3x=3 是 f(x)f(x) 的极小值点
B.
当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(x2)f(x)<f(x^2)
C.
当 1<x<21<x<2 时，−4<f(2x−1)<0-4<f(2x-1)<0
D.
当 −1<x<0-1<x<0 时，f(2−x)>f(x)f(2-x)>f(x)

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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135分导数及其应用★★★☆☆
若曲线 y=ex+xy=\mathrm{e}^x+x 与曲线 y=ln⁡(x+1)+ay=\ln(x+1)+a 在点 (0,1)(0,1) 处有切线重合，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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116分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(xy)=y2f(x)+x2f(y)f(xy)=y^2f(x)+x^2f(y)，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
f(1)=0f(1)=0
C.
f(x)f(x) 是偶函数
D.
x=0x=0 为 f(x)f(x) 的极小值点

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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106分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3−x+1f(x)=x^3-x+1，则（ ）
A.
f(x)f(x) 有两个极值点
B.
f(x)f(x) 有三个零点
C.
点 (0,1)(0,1) 是曲线 y=f(x)y=f(x) 的对称中心
D.
直线 y=2xy=2x 是曲线 y=f(x)y=f(x) 的切线

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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155分导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=∣2x−1∣−2ln⁡xf(x)=|2x-1|-2\ln x 的最小值为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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17导数及其应用★★★☆☆
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 OO 在水平线 MNMN 上，桥 ABAB 与 MNMN 平行，OO′OO' 为铅垂线（O′O' 在 ABAB 上）. 经测量，左侧曲线 AOAO 上任一点 DD 到 MNMN 的距离 h1h_1（ m\mathrm{~m}）与 DD 到 OO′OO' 的距离 aa（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h1=140a2h_1=\dfrac{1}{40}a^2；右侧曲线 BOBO 上任一点 FF 到 MNMN 的距离 h2h_2（ m\mathrm{~m}）与 FF 到 OO′OO' 的距离 bb（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h2=−1800b3+6bh_2=-\dfrac{1}{800}b^3+6b. 已知点 BB 到 OO′OO' 的距离为 40 m40\mathrm{~m}.
(1) 求桥 ABAB 的长度； (2) 计划在谷底两侧建造平行于 OO′OO' 的桥墩 CDCD 和 EFEF，且 CECE 为 80 m80\mathrm{~m}，其中 CC，EE 在 ABAB 上（不包括端点）. 桥墩 EFEF 每米造价 kk（万元），桥墩 CDCD 每米造价 32k\dfrac32k（万元）（k>0k>0）. 问 O′EO'E 为多少米时，桥墩 CDCD 与 EFEF 的总造价最低？

2020 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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11导数及其应用★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，点 AA 在曲线 y=ln⁡xy=\ln x 上，且该曲线在点 AA 处的切线经过点 (−e,−1)(-\mathrm{e},-1)（e\mathrm{e} 为自然对数的底数），则点 AA 的坐标是______.
\begin{answer} (e,1)(\mathrm{e},1) \end{answer}

2019 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

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11导数及其应用★★★☆☆
若函数 f(x)=2x3−ax2+1f(x)=2x^3-ax^2+1（a∈Ra\in\mathbf{R}）在 (0,+∞)(0,+\infty) 内有且只有一个零点，则 f(x)f(x) 在 [−1,1][-1,1] 上的最大值与最小值的和为______.

2018 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

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17导数及其应用★★★☆☆
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 P−A1B1C1D1P-A_1B_1C_1D_1，下部的形状是正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1（如图所示），并要求正四棱柱的高 O1OO_1O 是正四棱锥的高 PO1PO_1 的 44 倍.
(1) 若 AB=6 mAB=6\text{ m}，PO1=2 mPO_1=2\text{ m}，则仓库的容积是多少？ (2) 若正四棱锥的侧棱长为 6 m6\text{ m}，则当 PO1PO_1 为多少时，仓库的容积最大？

2016 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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11导数及其应用★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，若曲线 y=ax2+bxy = ax^2 + \frac{b}{x}（aa，bb 为常数）过点 P(2,−5)P(2, -5)，且该曲线在点 PP 处的切线与直线 7x+2y+3=07x + 2y + 3 = 0 平行，则 a+ba + b 的值是______.

2014 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

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09导数及其应用★★★☆☆
抛物线 y=x2y=x^2 在 x=1x=1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 DD（包含三角形内部与边界）. 若点 P(x,y)P(x,y) 是区域 DD 内的任意一点，则 x+2yx+2y 的取值范围是______.

2013 · 江苏 · 第 9 题 · 填空题

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17导数及其应用★★★☆☆
请你设计一个包装盒. 如图所示，ABCDABCD 是边长为 60 cm60\mathrm{~cm} 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 AA，BB，CC，DD 四个点重合于图中的点 PP，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，EE，FF 在 ABAB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点. 设 AE=FB=xAE=FB=x（cm\mathrm{cm}）.
(1) 若广告商要求包装盒侧面积 SS（cm2\mathrm{cm}^2）最大，试问 xx 应取何值？ (2) 若广告商要求包装盒容积 VV（cm3\mathrm{cm}^3）最大，试问 xx 应取何值？ 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

2011 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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08导数及其应用★★★☆☆
函数 y=x2y=x^2（x>0x>0）的图象在点 (ak,ak2)\left(a_k,a_k^2\right) 处的切线与 xx 轴交点的横坐标为 ak+1a_{k+1}，其中 k∈N∗k\in\mathbf{N}^*. 若 a1=16a_1=16，则 a1+a3+a5a_1+a_3+a_5 的值是______.

2010 · 江苏 · 第 8 题 · 填空题

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21解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设 P(x,y)P(x, y) 是椭圆 x23+y2=1\frac{x^2}{3} + y^2 = 1 上的一个动点，求 S=x+yS = x + y 的最大值.

2008 · 江苏 · 第 21 题（C） · 解答题

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15导数及其应用★★★☆☆
对正整数 nn，设曲线 y=xn(1−x)y = x^n (1 - x) 在 x=2x = 2 处的切线与 yy 轴交点的纵坐标为 ana_n，则数列 {ann+1}\left\{\frac{a_n}{n + 1}\right\} 的前 nn 项和的公式是______.

2006 · 江苏 · 第 15 题 · 填空题

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