数迹
题目列表试卷列表
共找到 21 题
排序：
组题
本页 21 题去组卷
065分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x+2ex+af(x)=\dfrac{x+2}{\mathrm{e}^x+a} 的最大值为 11，则 a=a=（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
11
C.
32\dfrac{3}{2}
D.
22

2026 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

查看答案和解析
106分导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=(x−1)2(x−4)f(x)=(x-1)^2(x-4) ，则（ ）
A.
x=3x=3 是 f(x)f(x) 的极小值点
B.
当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(x2)f(x)<f(x^2)
C.
当 1<x<21<x<2 时，−4<f(2x−1)<0-4<f(2x-1)<0
D.
当 −1<x<0-1<x<0 时，f(2−x)>f(x)f(2-x)>f(x)

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

查看答案和解析
135分导数及其应用★★★☆☆
若曲线 y=ex+xy=\mathrm{e}^x+x 与曲线 y=ln⁡(x+1)+ay=\ln(x+1)+a 在点 (0,1)(0,1) 处有切线重合，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

查看答案和解析
08函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=x3+ax+2f(x)=x^3+ax+2 存在 33 个零点，则 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
(−∞,−2)(-\infty,-2)
B.
(−∞,−3)(-\infty,-3)
C.
(−4,−1)(-4,-1)
D.
(−3,0)(-3,0)

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
11导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=cos⁡x+(x+1)sin⁡x+1f(x)=\cos x+(x+1)\sin x+1 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上的最小值，最大值分别为（ ）
A.
−π2-\dfrac{\pi}{2}，π2\dfrac{\pi}{2}
B.
−3π2-\dfrac{3\pi}{2}，π2\dfrac{\pi}{2}
C.
−π2-\dfrac{\pi}{2}，π2+2\dfrac{\pi}{2}+2
D.
−3π2-\dfrac{3\pi}{2}，π2+2\dfrac{\pi}{2}+2

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

查看答案和解析
12立体几何初步★★★☆☆
已知球 OO 的半径为 11，四棱锥的顶点为 OO，底面的四个顶点均在球 OO 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A.
13\dfrac{1}{3}
B.
12\dfrac{1}{2}
C.
33\dfrac{\sqrt3}{3}
D.
22\dfrac{\sqrt2}{2}

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

查看答案和解析
10导数及其应用★★★☆☆
设 a≠0a\ne 0，若 x=ax=a 为函数 f(x)=a(x−a)2(x−b)f(x)=a(x-a)^2(x-b) 的极大值点，则（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
a<ba<b
B.
a>ba>b
C.
ab<a2ab<a^2
D.
ab>a2ab>a^2

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

查看答案和解析
05数列★★★☆☆
等比数列 {an}\{a_n\} 中，a1=2a_1 = 2，a8=4a_8 = 4，函数 f(x)=x(x−a1)(x−a2)⋯(x−a8)f(x) = x(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_8)，则 f′(0)=f'(0) =（ ）
A.
262^6
B.
292^9
C.
2122^{12}
D.
2152^{15}

2010 · 江西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

查看答案和解析
12导数及其应用★★★☆☆
如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 tt 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S(t)S(t)（S(0)=0S(0)=0），则导函数 y=S′(t)y = S'(t) 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2010 · 江西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

查看答案和解析
19导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ln⁡x+ln⁡(2−x)+axf(x) = \ln x + \ln(2 - x) + ax （a>0a > 0）.
(1) 当 a=1a = 1 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 f(x)f(x) 在 (0,1](0,1] 上的最大值为 12\frac{1}{2}，求 aa 的值.

2010 · 江西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
17导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=6x3+3(a+2)x2+2axf(x) = 6x^{3} + 3(a + 2)x^{2} + 2ax.
(1) 若 f(x)f(x) 的两个极值点为 x1x_{1}，x2x_{2}，且 x1x2=1x_{1}x_{2} = 1，求实数 aa 的值； (2) 是否存在实数 aa，使得 f(x)f(x) 是 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty) 上的单调函数？若存在，求出 aa 的值；若不存在，说明理由.

2010 · 江西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
17导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=exxf(x) = \frac{\mathrm{e}^x}{x}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 k>0k > 0，求不等式 f′(x)+k(1−x)f(x)>0f'(x) + k(1 - x)f(x) > 0 的解集.

2009 · 江西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
17导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=x3−92x2+6x−af(x) = x^3 - \frac{9}{2} x^2 + 6x - a.
(1) 对于任意实数 xx，f′(x)⩾mf'(x) \geqslant m 恒成立，求 mm 的最大值； (2) 若方程 f(x)=0f(x)=0 有且仅有一个实根，求 aa 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item f′(x)=3x2−9x+6=3(x−32)2−34f'(x)=3x^{2}-9x+6=3\left(x-\frac32\right)^{2}-\frac34. 因此对任意实数 xx，都有 f′(x)⩾−34f'(x)\geqslant-\frac34，且在 x=32x=\frac32 时取等号. 若 f′(x)⩾mf'(x)\geqslant m 恒成立，则 m⩽−34m\leqslant-\frac34，所以 mm 的最大值为 −34-\frac34.
\item f′(x)=3(x−1)(x−2)f'(x)=3(x-1)(x-2)，所以 f(x)f(x) 在 (−∞,1)(-\infty,1) 和 (2,+∞)(2,+\infty) 上递增，在 (1,2)(1,2) 上递减. 两个极值为 f(1)=52−af(1)=\frac52-a，f(2)=2−af(2)=2-a.
若 a<2a<2，则 f(2)>0f(2)>0，局部极小值也为正，函数只在 (−∞,1)(-\infty,1) 上有一个零点. 若 a>52a>\frac52，则 f(1)<0f(1)<0，局部极大值也为负，函数只在 (2,+∞)(2,+\infty) 上有一个零点.
当 2<a<522<a<\frac52 时，f(1)>0>f(2)f(1)>0>f(2)，三段单调区间各有一个零点；当 a=2a=2 或 a=52a=\frac52 时，极值点给出重根且另有一个零点，均不满足“有且仅有一个实根”. 因而 a<2a<2 或 a>52a>\frac52. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 江西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
03函数与初等函数★★★☆☆
若函数 y=f(x)y = f(x) 的值域是 [12,3]\left[\frac{1}{2}, 3\right]，则函数 F(x)=f(x)+1f(x)F(x) = f(x) + \frac{1}{f(x)} 的值域是（ ）
A.
[12,3]\left[\frac{1}{2}, 3\right]
B.
[2,103]\left[2, \frac{10}{3}\right]
C.
[52,103]\left[\frac{5}{2}, \frac{10}{3}\right]
D.
[3,103]\left[3, \frac{10}{3}\right]

2008 · 江西 · 理 · 第 3 题 · 选择题

查看答案和解析
18导数及其应用★★★☆☆
如图，函数 y=2cos⁡(ωx+θ)y = 2\cos(\omega x + \theta)（x∈Rx \in \mathbf{R}，0⩽θ⩽π20 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}）的图象与 yy 轴交于点 (0,3)(0, \sqrt{3})，且在该点处切线的斜率为 −2-2.
(1) 求 θ\theta 和 ω\omega 的值； (2) 已知点 A(π2,0)A\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)，点 PP 是该函数图象上的一点，点 Q(x0,y0)Q(x_0, y_0) 是 PAPA 的中点，当 y0=32y_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}，x0∈[π2,π]x_0 \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] 时，求 x0x_0 的值.

2007 · 江西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
10集合与逻辑基础★★★☆☆
设 p:f(x)=x3+2x2+mx+1p: f(x) = x^3 + 2x^2 + mx + 1 在 (−∞,+∞)(- \infty, +\infty) 内单调递增，q:m⩾43q: m \geqslant \frac{4}{3}，则 pp 是 qq 的（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 函数 f(x)=x3+2x2+mx+1f(x)=x^3+2x^2+mx+1 的导数为
f′(x)=3x2+4x+m=3(x+23)2+m−43f'(x)=3x^2+4x+m=3\left(x+\frac{2}{3}\right)^2+m-\frac{4}{3}
要使 f(x)f(x) 在整个实数轴上单调递增，必须且只需 f′(x)⩾0f'(x)\geqslant0 对一切 x∈Rx\in\mathbf{R} 成立，即 m−43⩾0m-\frac{4}{3}\geqslant0，也就是 m⩾43m\geqslant\frac{4}{3}. 因此命题 pp 与命题 qq 等价，pp 是 qq 的充分必要条件，故选 C. \end{solution}
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2007 · 江西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

查看答案和解析
18三角函数★★★☆☆
如图，函数 y=2cos⁡(ωx+θ)y = 2\cos (\omega x + \theta)（x∈Rx \in \mathbf{R}，0⩽θ⩽π20 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}）的图象与 yy 轴交于点 (0,3)(0, \sqrt{3})，且在该点处切线的斜率为 −2-2.
(1) 求 θ\theta 和 ω\omega 的值； (2) 已知点 A(π2,0)A\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)，点 PP 是该函数图象上的一点，点 Q(x0,y0)Q(x_0, y_0) 是 PAPA 的中点，当 y0=32y_0 = \frac{\sqrt{3}}{2}，x0∈[π2,π]x_0 \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right] 时，求 x0x_0 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由图象经过 (0,3)(0,\sqrt{3})，得 2cos⁡θ=32\cos\theta=\sqrt{3}. 由于 0⩽θ⩽π20\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2}，所以 θ=π6\theta=\frac{\pi}{6}. 函数的导数为 y′=−2ωsin⁡(ωx+θ)y'=-2\omega\sin(\omega x+\theta)，由 yy 轴交点处的切线斜率为 −2-2，得 −2ωsin⁡θ=−2-2\omega\sin\theta=-2，即 ωsin⁡π6=1\omega\sin\frac{\pi}{6}=1，故 ω=2\omega=2.
\item 设 P(x1,y1)P(x_1,y_1). 因为 QQ 是 PAPA 的中点，所以 x0=x1+π22x_0=\frac{x_1+\frac{\pi}{2}}{2}，y0=y12y_0=\frac{y_1}{2}. 由 y0=32y_0=\frac{\sqrt{3}}{2} 得 y1=3y_1=\sqrt{3}，再由 PP 在函数图象上得 2cos⁡(2x1+π6)=32\cos\left(2x_1+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}，即 cos⁡(2x1+π6)=32\cos\left(2x_1+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}. 由 x0∈[π2,π]x_0\in\left[\frac{\pi}{2},\pi\right] 及 x1=2x0−π2x_1=2x_0-\frac{\pi}{2}，知 x1∈[π2,3π2]x_1\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]，于是 2x1+π6∈[7π6,19π6]2x_1+\frac{\pi}{6}\in\left[\frac{7\pi}{6},\frac{19\pi}{6}\right]. 在此区间内满足余弦值为 32\frac{\sqrt{3}}{2} 的角只有 11π6\frac{11\pi}{6} 和 13π6\frac{13\pi}{6}，因此 x1=5π6x_1=\frac{5\pi}{6} 或 x1=πx_1=\pi. 代回中点公式，分别得到 x0=2π3x_0=\frac{2\pi}{3} 或 x0=3π4x_0=\frac{3\pi}{4}. \end{enumerate} \end{solution}

2007 · 江西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
05导数及其应用★★★☆☆
对于 R\mathbf{R} 上可导的任意函数 f(x)f(x)，若满足 (x−1)f′(x)⩾0(x - 1)f'(x) \geqslant 0，则必有（ ）
A.
f(0)+f(2)<2f(1)f(0) + f(2) < 2f(1)
B.
f(0)+f(2)⩽2f(1)f(0) + f(2)\leqslant 2f(1)
C.
f(0)+f(2)⩾2f(1)f(0) + f(2)\geqslant 2f(1)
D.
f(0)+f(2)>2f(1)f(0) + f(2) > 2f(1)

2006 · 江西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

查看答案和解析
05导数及其应用★★★☆☆
对于 R\mathbf{R} 上可导的任意函数 f(x)f(x)，若满足 (x−1)f′(x)⩾0(x - 1)f'(x) \geqslant 0，则必有（ ）
A.
f(0)+f(2)<2f(1)f(0) + f(2) < 2f(1)
B.
f(0)+f(2)⩽2f(1)f(0) + f(2)\leqslant 2f(1)
C.
f(0)+f(2)⩾2f(1)f(0) + f(2)\geqslant 2f(1)
D.
f(0)+f(2)>2f(1)f(0) + f(2) > 2f(1)

2006 · 江西 · 文 · 第 5 题 · 选择题

查看答案和解析
17导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 在 x=−23x = -\frac{2}{3} 与 x=1x = 1 时都取得极值.
(1) 求 aa，bb 的值与函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若对 x∈[−1,2]x \in [-1, 2]，不等式 f(x)<c2f(x) < c^2 恒成立，求 cc 的取值范围.

2006 · 江西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
07导数及其应用★★★☆☆
已知函数 y=xf′(x)y=xf'(x) 的图象如图所示（其中 f′(x)f'(x) 是函数 f(x)f(x) 的导函数），下面四个图象中，y=f(x)y=f(x) 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2005 · 江西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

查看答案和解析