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065分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x+2ex+af(x)=\dfrac{x+2}{\mathrm{e}^x+a} 的最大值为 11，则 a=a=（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
11
C.
32\dfrac{3}{2}
D.
22

2026 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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106分导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=(x−1)2(x−4)f(x)=(x-1)^2(x-4) ，则（ ）
A.
x=3x=3 是 f(x)f(x) 的极小值点
B.
当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(x2)f(x)<f(x^2)
C.
当 1<x<21<x<2 时，−4<f(2x−1)<0-4<f(2x-1)<0
D.
当 −1<x<0-1<x<0 时，f(2−x)>f(x)f(2-x)>f(x)

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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135分导数及其应用★★★☆☆
若曲线 y=ex+xy=\mathrm{e}^x+x 与曲线 y=ln⁡(x+1)+ay=\ln(x+1)+a 在点 (0,1)(0,1) 处有切线重合，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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116分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(xy)=y2f(x)+x2f(y)f(xy)=y^2f(x)+x^2f(y)，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
f(1)=0f(1)=0
C.
f(x)f(x) 是偶函数
D.
x=0x=0 为 f(x)f(x) 的极小值点

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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07导数及其应用★★★☆☆
函数 y=f(x)y=f(x) 的导函数 y=f′(x)y=f'(x) 的图象如图所示，则函数 y=f(x)y=f(x) 的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

2017 · 浙江 · 第 7 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c，且 0<f(−1)=f(−2)=f(−3)⩽30 < f(-1) = f(-2) = f(-3) \leqslant 3，则（ ）
A.
c⩽3c \leqslant 3
B.
3<c⩽63 < c \leqslant 6
C.
6<c⩽96 < c \leqslant 9
D.
c>9c > 9

2014 · 浙江 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
已知 e\mathrm{e} 为自然对数的底数，设函数 f(x)=(ex−1)(x−1)kf(x) = (\mathrm{e}^{x} - 1)(x - 1)^{k} （k=1k = 1，22），则（ ）
A.
当 k=1k = 1 时，f(x)f(x) 在 x=1x = 1 处取得极小值
B.
当 k=1k = 1 时，f(x)f(x) 在 x=1x = 1 处取得极大值
C.
当 k=2k = 2 时，f(x)f(x) 在 x=1x = 1 处取得极小值
D.
当 k=2k = 2 时，f(x)f(x) 在 x=1x = 1 处取得极大值

2013 · 浙江 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
已知函数 y=f(x)y = f(x) 的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y=f′(x)y = f'(x) 的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

2013 · 浙江 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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06集合与逻辑基础★★★☆☆
设 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，则“xsin⁡2x<1x \sin^2 x < 1”是“xsin⁡x<1x \sin x < 1”的（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 记命题甲为“xsin⁡2x<1x\sin^2x<1”，记命题乙为“xsin⁡x<1x\sin x<1”. 由于 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2}，有 0<sin⁡x<10<\sin x<1，故
xsin⁡2x<xsin⁡xx\sin^2x<x\sin x
所以命题乙成立时必有命题甲成立，即命题甲是命题乙的必要条件.
下面说明命题甲不是命题乙的充分条件. 函数 g(x)=xsin⁡xg(x)=x\sin x 在 (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right) 上严格递增，因为 g′(x)=sin⁡x+xcos⁡x>0g'(x)=\sin x+x\cos x>0. 又 g(1)=sin⁡1<1g(1)=\sin1<1，而 g(π2)=π2>1g\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}>1，所以存在唯一的 x0∈(1,π2)x_0\in\left(1,\frac{\pi}{2}\right) 使 g(x0)=1g(x_0)=1. 此时 x0sin⁡2x0=sin⁡x0<1x_0\sin^2x_0=\sin x_0<1. 由连续性，取 x>x0x>x_0 且足够接近 x0x_0，仍有 xsin⁡2x<1x\sin^2x<1，但因 gg 严格递增而有 xsin⁡x>1x\sin x>1. 因此命题甲不充分.
所以“xsin⁡2x<1x\sin^2x<1”是“xsin⁡x<1x\sin x<1”的必要而不充分条件，故选 B. \end{solution}
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2010 · 浙江 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
设 f′(x)f'(x) 是函数 f(x)f(x) 的导函数，将 y=f(x)y = f(x) 和 y=f′(x)y = f'(x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 若上方曲线为 y=f(x)y=f(x)，则它在横坐标为正的位置有一个极小值点. 由导数与单调性的关系，在该点应有 f′(x)=0f'(x)=0，所以下方曲线 y=f′(x)y=f'(x) 必须经过横轴上的同一个点.
选项 D 中，上方曲线的极小值点横坐标为正，而下方曲线在该横坐标处位于横轴下方，不经过横轴，故不可能.
若下方曲线为 y=f(x)y=f(x)，则它在横坐标为负的位置有一个极大值点，所以导函数图象应在同一横坐标处经过横轴. 但选项 D 中上方曲线在该点位于横轴上方，也不经过横轴. 因此无论哪条曲线表示 f(x)f(x)，选项 D 都不可能正确，故选 D. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2007 · 浙江 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★☆☆
设曲线 y=e−xy=\mathrm{e}^{-x}（x⩾0x\geqslant0）在点 M(t,e−t)M(t,\mathrm{e}^{-t}) 处的切线 ll 与 xx 轴 yy 轴所围成的三角形面积为 S(t)S(t).
(1) 求切线 ll 的方程； (2) 求 S(t)S(t) 的最大值.

2004 · 浙江 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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