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065分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x+2ex+af(x)=\dfrac{x+2}{\mathrm{e}^x+a} 的最大值为 11，则 a=a=（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
11
C.
32\dfrac{3}{2}
D.
22

2026 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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106分导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=(x−1)2(x−4)f(x)=(x-1)^2(x-4) ，则（ ）
A.
x=3x=3 是 f(x)f(x) 的极小值点
B.
当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(x2)f(x)<f(x^2)
C.
当 1<x<21<x<2 时，−4<f(2x−1)<0-4<f(2x-1)<0
D.
当 −1<x<0-1<x<0 时，f(2−x)>f(x)f(2-x)>f(x)

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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135分导数及其应用★★★☆☆
若曲线 y=ex+xy=\mathrm{e}^x+x 与曲线 y=ln⁡(x+1)+ay=\ln(x+1)+a 在点 (0,1)(0,1) 处有切线重合，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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116分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(xy)=y2f(x)+x2f(y)f(xy)=y^2f(x)+x^2f(y)，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
f(1)=0f(1)=0
C.
f(x)f(x) 是偶函数
D.
x=0x=0 为 f(x)f(x) 的极小值点

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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106分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3−x+1f(x)=x^3-x+1，则（ ）
A.
f(x)f(x) 有两个极值点
B.
f(x)f(x) 有三个零点
C.
点 (0,1)(0,1) 是曲线 y=f(x)y=f(x) 的对称中心
D.
直线 y=2xy=2x 是曲线 y=f(x)y=f(x) 的切线

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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155分导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=∣2x−1∣−2ln⁡xf(x)=|2x-1|-2\ln x 的最小值为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★☆☆
某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 FF（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时\text{辆}/\text{小时}）与车流速度 vv（假设车辆以相同速度 vv 行驶，单位：米/秒\text{米}/\text{秒}），平均车长 ll（单位：米\text{米}）的值有关，其公式为 F=76000vv2+18v+20lF = \frac{76000v}{v^2 + 18v + 20l}.
(1) 如果不限定车型，l=6.05l = 6.05，则最大车流量为______辆/小时\text{辆}/\text{小时}； (2) 如果限定车型，l=5l = 5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加______辆/小时\text{辆}/\text{小时}.

2014 · 湖北 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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21导数及其应用★★★☆☆
π\pi 为圆周率，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 求函数 f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x} 的单调区间； (2) 求 e3\mathrm{e}^{3}，3e3^{\mathrm{e}}，eπ\mathrm{e}^{\pi}，πe\pi^{\mathrm{e}}，3π3^{\pi}，π3\pi^{3} 这 6 个数中的最大数与最小数.

2014 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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07导数及其应用★★★☆☆
一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)=7−3t+251+tv(t) = 7 - 3t + \frac{25}{1 + t}（tt 的单位：s\mathrm{s}，vv 的单位：m/s\mathrm{m/s}）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m\mathrm{m}）是（ ）
A.
1+25ln⁡51 + 25\ln 5
B.
8+25ln⁡1138 + 25\ln \frac{11}{3}
C.
4+25ln⁡54 + 25\ln 5
D.
4+50ln⁡24 + 50\ln 2

2013 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★☆☆
放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变. 假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 MM（单位：太贝克）与时间 tt（单位：年）满足函数关系：M(t)=M02−t30M(t)=M_0 2^{-\frac{t}{30}}，其中 M0M_0 为 t=0t=0 时铯 137 的含量. 已知 t=30t=30 时，铯 137 含量的变化率是 −10ln⁡2-10\ln2（太贝克/年），则 M(60)=M(60)=（ ）
A.
5 太贝克5\text{ 太贝克}
B.
75ln⁡2 太贝克75\ln2\text{ 太贝克}
C.
150ln⁡2 太贝克150\ln2\text{ 太贝克}
D.
150 太贝克150\text{ 太贝克}

2011 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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17导数及其应用★★★☆☆
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层. 某幢建筑物要建造可使用 20 年20\text{ 年} 的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元6\text{ 万元}. 该建筑物每年的能源消耗费用 CC（单位：万元）与隔热层厚度 xx（单位：cm）满足关系：C(x)=k3x+5C(x) = \frac{k}{3x + 5}（0⩽x⩽100 \leqslant x \leqslant 10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元8\text{ 万元}. 设 f(x)f(x) 为隔热层建造费用与 20 年20\text{ 年} 的能源消耗费用之和.
(1) 求 kk 的值及 f(x)f(x) 的表达式. (2) 隔热层修建多厚时，总费用 f(x)f(x) 达到最小，并求最小值.

2010 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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07导数及其应用★★★☆☆
若 f(x)=−12x2+bln⁡(x+2)f(x) = -\frac{1}{2} x^2 + b \ln (x + 2) 在 (−1,+∞)(-1, +\infty) 上是减函数，则 bb 的取值范围是（ ）
A.
[−1,+∞)[-1, +\infty)
B.
(−1,+∞)(-1, +\infty)
C.
(−∞,−1](-\infty, -1]
D.
(−∞,−1)(- \infty, -1)

2008 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
已知 m∈N∗m \in \mathbf{N}^*，aa，b∈Rb \in \mathbf{R}. 若 lim⁡x→0(1+x)m+ax=b\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^m + a}{x} = b，则 a⋅b=a \cdot b =（ ）
A.
−m-m
B.
mm
C.
−1-1
D.
11

2008 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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20函数与初等函数★★★☆☆
水库的蓄水量随时间而变化. 用 tt 表示时间，以月为单位，年初为起点. 根据历年数据，某水库的蓄水量 （单位：亿立方米） 关于 tt 的近似函数关系式为
V(t)={(−t2+14t−40)e14t+50,0<t⩽10,4(t−10)(3t−41)+50,10<t⩽12.V(t) = \begin{cases} (-t^2 + 14t - 40)\mathrm{e}^{\frac14 t} + 50, & 0 < t \leqslant 10,\\ 4(t - 10)(3t - 41) + 50, & 10 < t \leqslant 12. \end{cases}
(1) 该水库的蓄水量小于 5050 的时期称为枯水期. 以 i−1<t<ii-1<t<i 表示第 ii 月份（i=1i=1，22，…\dots，1212），同一年内哪几个月份是枯水期？ (2) 求一年内该水库的最大蓄水量 （取 e=2.7\mathrm{e} = 2.7 计算）.

2008 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3+mx2−m2x+1f(x) = x^3 + mx^2 - m^2x + 1 （ mm 为常数，且 m>0m > 0） 有极大值 9.
(1) 求 mm 的值； (2) 若斜率为 −5-5 的直线是曲线 y=f(x)y = f(x) 的切线，求此直线方程.

2008 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
某商品每件成本 99 元. 售价 3030 元，每星期卖出 432432 件. 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 xx（单位：元，0⩽x⩽300 \leqslant x \leqslant 30）的平方成正比. 已知商品单价降低 22 元时，一星期多卖出 2424 件.
(1) 将一个星期的商品销售利润表示成 xx 的函数. (2) 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

2007 · 湖北 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
已知二次函数 y=f(x)y = f(x) 的图象经过坐标原点，其导函数为 f′(x)=6x−2f'(x) = 6x - 2，数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，点 (n,Sn)(n, S_n)（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）均在函数 y=f(x)y = f(x) 的图象上.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=3anan+1b_n = \frac{3}{a_n a_{n+1}}，TnT_n 是数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和，求使得 Tn<m20T_n < \frac{m}{20} 对所有 n∈N∗n \in \mathbf{N}^* 都成立的最小正整数 mm.

2006 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=x3−ax2+bx+cf(x) = x^3 - ax^2 + bx + c 在 x=1x = 1 处取得极值 −2-2，试用 cc 表示 aa 和 bb，并求 f(x)f(x) 的单调区间.

2006 · 湖北 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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06函数与初等函数★★★☆☆
在 y=2xy = 2^x，y=log⁡2xy = \log_{2} x，y=x2y = x^2，y=cos⁡2xy = \cos 2x 这四个函数中，当 0<x1<x2<10 < x_1 < x_2 < 1 时，使 f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} 恒成立的函数的个数是（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2005 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
若 sin⁡α+cos⁡α=tan⁡α\sin \alpha + \cos \alpha = \tan \alpha（0<α<π20 < \alpha < \frac{\pi}{2}），则 α∈\alpha \in（ ）
A.
(0,π6)\left(0, \frac{\pi}{6}\right)
B.
(π6,π4)\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)
C.
(π4,π3)\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right)
D.
(π3,π2)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)

2005 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09导数及其应用★★★☆☆
若 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，则 2x2x 与 3sin⁡x3\sin x 的大小关系（ ）
A.
2x>3sin⁡x2x > 3\sin x
B.
2x<3sin⁡x2x < 3\sin x
C.
2x=3sin⁡x2x = 3\sin x
D.
与 xx 的取值有关

2005 · 湖北 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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17导数及其应用★★★☆☆
已知向量 a=(x2,x+1)\boldsymbol{a} = (x^2, x + 1)，b=(1−x,t)\boldsymbol{b} = (1 - x, t). 若函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} 在区间 (−1,1)(-1, 1) 上是增函数，求 tt 的取值范围.

2005 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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11导数及其应用★★★☆☆
在函数 y=x3−8xy = x^3 - 8x 的图象上，其切线的倾斜角小于 π4\frac{\pi}{4} 的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）
A.
33
B.
22
C.
11
D.
00

2005 · 湖北 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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17导数及其应用★★★☆☆
已知向量 a=(x2,x+1)\boldsymbol{a} = (x^2, x + 1)，b=(1−x,t)\boldsymbol{b} = (1 - x, t)，若函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} 在区间 (−1,1)(-1, 1) 上是增函数，求 tt 的取值范围.

2005 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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09导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=ax3+x+1f(x) = ax^3 + x + 1 有极值的充要条件是（\quad）
A.
a>0a > 0
B.
a⩾0a \geqslant 0
C.
a<0a < 0
D.
a⩽0a \leqslant 0

2004 · 湖北 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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