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065分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x+2ex+af(x)=\dfrac{x+2}{\mathrm{e}^x+a} 的最大值为 11，则 a=a=（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
11
C.
32\dfrac{3}{2}
D.
22

2026 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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106分导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=(x−1)2(x−4)f(x)=(x-1)^2(x-4) ，则（ ）
A.
x=3x=3 是 f(x)f(x) 的极小值点
B.
当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(x2)f(x)<f(x^2)
C.
当 1<x<21<x<2 时，−4<f(2x−1)<0-4<f(2x-1)<0
D.
当 −1<x<0-1<x<0 时，f(2−x)>f(x)f(2-x)>f(x)

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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135分导数及其应用★★★☆☆
若曲线 y=ex+xy=\mathrm{e}^x+x 与曲线 y=ln⁡(x+1)+ay=\ln(x+1)+a 在点 (0,1)(0,1) 处有切线重合，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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116分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(xy)=y2f(x)+x2f(y)f(xy)=y^2f(x)+x^2f(y)，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
f(1)=0f(1)=0
C.
f(x)f(x) 是偶函数
D.
x=0x=0 为 f(x)f(x) 的极小值点

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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106分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3−x+1f(x)=x^3-x+1，则（ ）
A.
f(x)f(x) 有两个极值点
B.
f(x)f(x) 有三个零点
C.
点 (0,1)(0,1) 是曲线 y=f(x)y=f(x) 的对称中心
D.
直线 y=2xy=2x 是曲线 y=f(x)y=f(x) 的切线

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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155分导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=∣2x−1∣−2ln⁡xf(x)=|2x-1|-2\ln x 的最小值为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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14概率与统计★★★☆☆
如图，在边长为 e\mathrm{e}（e\mathrm{e} 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.

2014 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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08导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，x0x_0（x0≠0x_0 \neq 0）是 f(x)f(x) 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A.
∀x∈R,f(x)⩽f(x0)\forall x \in \mathbf{R}, f(x) \leqslant f(x_0)
B.
−x0-x_0 是 f(−x)f(-x) 的极小值点
C.
−x0-x_0 是 −f(x)-f(x) 的极小值点
D.
−x0-x_0 是 −f(−x)-f(-x) 的极小值点

2013 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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17导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a \ln x（a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 当 a=2a = 2 时，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 A(1,f(1))A(1, f(1)) 处的切线方程； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极值.

2013 · 福建 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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12导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，x0x_0 （x0≠0x_0 \neq 0）是 f(x)f(x) 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 因为 x0x_0 是 f(x)f(x) 的极大值点，所以在 x0x_0 的某邻域内有 f(x)⩽f(x0)f(x)\leqslant f(x_0). 令 h(x)=−f(−x)h(x)=-f(-x)，当 xx 在 −x0-x_0 的相应邻域内时，−x-x 在 x0x_0 的邻域内，从而
h(x)=−f(−x)⩾−f(x0)=h(−x0)h(x)=-f(-x)\geqslant-f(x_0)=h(-x_0)
因此 −x0-x_0 是 h(x)=−f(−x)h(x)=-f(-x) 的极小值点，故选 D. \end{solution}
A.
∀x∈R,f(x)⩽f(x0)\forall x\in \mathbf{R},f(x)\leqslant f(x_0)
B.
−x0-x_0 是 f(−x)f(-x) 的极小值点
C.
−x0-x_0 是 −f(x)-f(x) 的极小值点
D.
−x0-x_0 是 −f(−x)-f(-x) 的极小值点

2013 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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18导数及其应用★★★☆☆
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 yy（单位：千克）与销售价格 xx（单位：元/千克）满足关系式 y=ax−3+10(x−6)2y=\frac{a}{x-3}+10(x-6)^2，其中 3<x<63<x<6，aa 为常数. 已知销售价格为 5 元/千克5\text{ 元/千克} 时，每日可售出该商品 11 千克11\text{ 千克}.
(1) 求 aa 的值； (2) 若该商品的成本为 3 元/千克3\text{ 元/千克}，试确定销售价格 xx 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

2011 · 福建 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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10导数及其应用★★★☆☆
若 a>0a > 0，b>0b > 0，且函数 f(x)=4x3−ax2−2bx+2f(x) = 4x^3 - ax^2 - 2bx + 2 在 x=1x = 1 处有极值，则 abab 的最大值等于（ ）
A.
2
B.
3
C.
6
D.
9

2011 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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14导数及其应用★★★☆☆
若曲线 f(x)=ax3+ln⁡xf(x) = ax^3 + \ln x 存在垂直于 yy 轴的切线，则实数 aa 取值范围是______.
\begin{solution} 函数定义域为x>0x>0，且 f′(x)=3ax2+1xf'(x)=3ax^2+\frac{1}{x}.切线垂直于yy轴即切线水平，所以存在x0>0x_0>0使
f′(x0)=0⟺3ax03+1=0⟺a=−13x03<0f'(x_0)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3ax_0^3+1=0 \quad\Longleftrightarrow\quad a=-\frac{1}{3x_0^3}<0
反之，任取a<0a<0，取x0=−13a3>0x_0=\sqrt[3]{-\frac{1}{3a}}>0，即可使f′(x0)=0f'(x_0)=0.因此aa的取值范围是(−∞,0)(-\infty,0). \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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12导数及其应用★★★☆☆
已知函数 y=f(x)y = f(x)，y=g(x)y = g(x) 的导函数的图象如下图，那么 y=f(x)y = f(x)，y=g(x)y = g(x) 的图象可能是（ ）
\begin{answer} D \end{answer} \begin{solution} 由导函数图象可见，在 x0x_0 左侧有 f′(x)>g′(x)f'(x)>g'(x)，在 x0x_0 右侧有 f′(x)<g′(x)f'(x)<g'(x)，且 f′(x)f'(x) 递减、g′(x)g'(x) 递增. 因此 f(x)−g(x)f(x)-g(x) 先增后减，在 x0x_0 处取得极大值；同时 ff 的图象应向下弯，gg 的图象应向上弯. 四个选项中只有 D 的相对位置和弯曲方向同时满足这些条件，故选 D. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2008 · 福建 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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11导数及其应用★★★☆☆
如果函数 y=f(x)y = f(x) 的图象如下图，那么导函数 y=f′(x)y = f'(x) 的图象可能是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由题图可知，函数 f(x)f(x) 先增后减，再增后减，因此 f′(x)f'(x) 的符号应依次为正、负、正、负；在 f(x)f(x) 的三个极值点处，f′(x)=0f'(x)=0. 选项 A 的图象具有上述符号变化和零点位置，其他选项至少有一处与 f(x)f(x) 的单调性不符，故选 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2008 · 福建 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3+mx2+nx−2f(x) = x^3 + mx^2 + nx - 2 的图象过点 (−1,−6)(-1, -6)，且函数 g(x)=f′(x)+6xg(x) = f'(x) + 6x 的图象关于 yy 轴对称.
(1) 求 mm，nn 的值及函数 y=f(x)y = f(x) 的单调区间； (2) 若 a>0a > 0，求函数 y=f(x)y = f(x) 在区间 (a−1,a+1)(a - 1, a + 1) 内的极值.

2008 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知对任意实数 xx，有 f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)，g(−x)=g(x)g(-x) = g(x)，且 x>0x > 0 时，f′(x)>0f'(x) > 0，g′(x)>0g'(x) > 0，则 x<0x < 0 时，（ ）
A.
f′(x)>0f'(x) > 0，g′(x)>0g'(x) > 0
B.
f′(x)>0f^{\prime}(x) > 0，g′(x)<0g^{\prime}(x) < 0
C.
f′(x)<0f^{\prime}(x) < 0，g′(x)>0g^{\prime}(x) > 0
D.
f′(x)<0f^{\prime}(x) < 0，g′(x)<0g^{\prime}(x) < 0

2007 · 福建 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=tx2+2t2x+t−1f(x) = tx^2 + 2t^2x + t - 1（x∈Rx \in \mathbf{R}，t>0t > 0）.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小值 h(t)h(t). (2) 若 h(t)<−2t+mh(t) < -2t + m 对 t∈(0,2)t \in (0, 2) 恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2007 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 yy（升）关于行驶速度 xx（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=1128000x3−380x+8y=\frac{1}{128000}x^3-\frac{3}{80}x+8（0<x⩽1200<x\leqslant120）. 已知甲、乙两地相距 100 千米100\text{ 千米}.
(1) 当汽车以 40 千米/小时40\text{ 千米/小时} 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2) 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？ 最少为多少升？

2006 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax−6x2+bf(x) = \frac{ax - 6}{x^2 + b} 的图象在点 M(−1,f(−1))M(-1, f(-1)) 处的切线方程为 x+2y+5=0x + 2y + 5 = 0.
(1) 求函数 y=f(x)y = f(x) 的解析式； (2) 求函数 y=f(x)y = f(x) 的单调区间.

2005 · 福建 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x3+bx2+ax+df(x) = x^3 + bx^2 + ax + d 的图象过点 P(0,2)P(0,2)，且在点 M(−1,f(−1))M(-1, f(-1)) 处的切线方程为 6x−y+7=06x - y + 7 = 0.
(1) 求函数 y=f(x)y = f(x) 的解析式； (2) 求函数 y=f(x)y = f(x) 的单调区间.

2005 · 福建 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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16导数及其应用★★★☆☆
如图，将边长为 11 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.
当这个正六棱柱容器的底面边长为______ 时，其容积最大.

2004 · 福建 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★☆☆
如图，将边长为 11 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器. 当这个正六棱柱容器的底面边长为______ 时，其容积最大.

2004 · 福建 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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