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106分函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，且当 x>0x>0 时，f(x)=(x2−3)ex+2f(x)=(x^2-3)\mathrm{e}^x+2，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
当 x<0x<0 时，f(x)=−(x2−3)e−x−2f(x)=-(x^2-3)\mathrm{e}^{-x}-2
C.
f(x)≥2f(x)\ge 2 当且仅当 x≥3x\ge \sqrt3
D.
x=−1x=-1 是 f(x)f(x) 的极大值点

2025 · 全国 · 二卷 · 第 10 题 · 多选题

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1615分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ex−ax−a3f(x)=\mathrm{e}^x-ax-a^3.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 有极小值，且极小值小于 0，求 aa 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 解答题

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065分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=aex−ln⁡xf(x)=a\mathrm{e}^x-\ln x 在区间 (1,2)(1,2) 单调递增，则 aa 的最小值为（ ）
A.
e2\mathrm{e}^2
B.
e\mathrm{e}
C.
e−1\mathrm{e}^{-1}
D.
e−2\mathrm{e}^{-2}

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 6 题 · 选择题

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145分导数及其应用★★★☆☆
曲线 y=ln⁡∣x∣y=\ln|x| 过坐标原点的两条切线的方程为______，______.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分函数与初等函数★★★☆☆
写出一个函数 f(x)=‾f\left( x \right)=\underline{\hspace{2em}}，使其同时具有下列性质：
① f(x1x2)=f(x1)f(x2)f\left( x_1x_2 \right)=f\left( x_1 \right)f\left( x_2 \right)； ② 当 x∈(0,+∞)x\in \left( 0,+\infty \right) 时，f′(x)>0f'\left( x \right)>0； ③ f′(x)f'\left( x \right) 是奇函数.
\begin{answer} x4x^4 \end{answer}

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 14 题 · 填空题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+x2f(x) = ax^3 + x^2（a∈Ra \in \mathbf{R}）在 x=−43x = -\frac{4}{3} 处取得极值.
(1) 确定 aa 的值； (2) 若 g(x)=f(x)exg(x) = f(x)\mathrm{e}^{x}，讨论 g(x)g(x) 的单调性.

2015 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x4+ax−ln⁡x−32f(x) = \frac{x}{4} + \frac{a}{x} - \ln x - \frac{3}{2}，其中 a∈Ra \in \mathbf{R}，且曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线垂直于 y=12xy = \frac{1}{2} x.
(1) 求 aa 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间和极值.

2014 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
设 f(x)=a(x−5)2+6ln⁡xf(x) = a(x - 5)^2 + 6\ln x，其中 a∈Ra \in \mathbf{R}，曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线与 yy 轴相交于点 (0,6)(0, 6).
(1) 确定 aa 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间与极值.
\begin{solution} 函数的定义域为 x>0x>0，且 f(1)=16af(1)=16a，f′(x)=2a(x−5)+6xf'(x)=2a(x-5)+\frac{6}{x}，f′(1)=6−8af'(1)=6-8a. 曲线在 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程为 y=f(1)+f′(1)(x−1)y=f(1)+f'(1)(x-1)，所以它在 yy 轴上的截距为 f(1)−f′(1)f(1)-f'(1). 由题意，
16a−(6−8a)=616a-(6-8a)=6
解得 a=12a=\frac{1}{2}. 此时
f′(x)=x−5+6x=(x−2)(x−3)xf'(x)=x-5+\frac{6}{x}=\frac{(x-2)(x-3)}{x}
因为 x>0x>0，所以当 0<x<20<x<2 或 x>3x>3 时 f′(x)>0f'(x)>0，当 2<x<32<x<3 时 f′(x)<0f'(x)<0. 因此，f(x)f(x) 在 (0,2)(0,2) 和 (3,+∞)(3,+\infty) 上单调递增，在 (2,3)(2,3) 上单调递减. 又 f(2)=92+6ln⁡2f(2)=\frac{9}{2}+6\ln 2，f(3)=2+6ln⁡3f(3)=2+6\ln 3. 所以 x=2x=2 时取得极大值 92+6ln⁡2\frac{9}{2}+6\ln 2，x=3x=3 时取得极小值 2+6ln⁡32+6\ln 3. \end{solution}

2013 · 重庆 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）. 设该蓄水池的底面半径为 r 米r\text{ 米}，高为 h 米h\text{ 米}，体积为 V 立方米V\text{ 立方米}. 假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米100\text{ 元/平方米}，底面的建造成本为 160 元/平方米160\text{ 元/平方米}，该蓄水池的总建造成本为 12000π 元12000\pi\text{ 元}（π\pi 为圆周率）.
(1) 将 VV 表示成 rr 的函数 V(r)V(r)，并求该函数的定义域. (2) 讨论函数 V(r)V(r) 的单调性，并确定 rr 和 hh 为何值时该蓄水池的体积最大.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 无盖圆柱的侧面积为 2πrh2\pi rh，底面积为 πr2\pi r^2，故成本条件为
100⋅2πrh+160πr2=12000π100\cdot2\pi rh+160\pi r^2=12000\pi
约去 40π40\pi，得 5rh+4r2=3005rh+4r^2=300，h=300−4r25r=60r−45rh=\frac{300-4r^2}{5r}=\frac{60}{r}-\frac45r. 因为 r>0r>0 且水池高度必须为正，需有
0<r<530<r<5\sqrt3
又 V=πr2hV=\pi r^2h，所以 V(r)=π(60r−45r3)V(r)=\pi\left(60r-\frac45r^3\right)，0<r<530<r<5\sqrt3. \item 求导得
V′(r)=π(60−125r2)=12π5(25−r2)V'(r)=\pi\left(60-\frac{12}{5}r^2\right) =\frac{12\pi}{5}(25-r^2)
在 (0,5)(0,5) 上，V′(r)>0V'(r)>0，所以 V(r)V(r) 递增；在 (5,53)(5,5\sqrt3) 上，V′(r)<0V'(r)<0，所以 V(r)V(r) 递减. 因此最大值在 r=5r=5 处取得. 代入高度公式：
h=605−45×5=8h=\frac{60}{5}-\frac45\times5=8
故体积最大时 r=5r=5 米、h=8h=8 米. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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08导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上可导，其导函数为 f′(x)f'(x)，且函数 y=(1−x)f′(x)y = (1 - x)f'(x) 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 记 g(x)=(1−x)f′(x)g(x)=(1-x)f'(x). 由图可知 g(x)g(x) 在 −2-2，11，22 处为零，并且符号依次为 g(x):g(x):，++， −\ -， +\ +， −\ - 对应区间为 (−∞,−2)(-\infty,-2)，(−2,1)(-2,1)，(1,2)(1,2)，(2,+∞)(2,+\infty). 当 x<1x<1 时 1−x>01-x>0，当 x>1x>1 时 1−x<01-x<0，所以
f′(x)>0在 (−∞,−2) 和 (2,+∞)f'(x)>0\quad\text{在 }(-\infty,-2)\text{ 和 }(2,+\infty)
f′(x)<0在 (−2,1) 和 (1,2)f'(x)<0\quad\text{在 }(-2,1)\text{ 和 }(1,2)
因此 f(x)f(x) 在 −2-2 左增右减，在 22 左减右增，故有极大值 f(−2)f(-2) 和极小值 f(2)f(2). 选项 D 正确. \end{solution}
A.
函数 f(x)f(x) 有极大值 f(2)f(2) 和极小值 f(1)f(1)
B.
函数 f(x)f(x) 有极大值 f(−2)f(-2) 和极小值 f(1)f(1)
C.
函数 f(x)f(x) 有极大值 f(2)f(2) 和极小值 f(−2)f(-2)
D.
函数 f(x)f(x) 有极大值 f(−2)f(-2) 和极小值 f(2)f(2)

2012 · 重庆 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上可导，其导函数为 f′(x)f'(x)，且函数 f(x)f(x) 在 x=−2x=-2 处取得极小值，则函数 y=xf′(x)y=xf'(x) 的图象可能是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 要说明“可能是”，只需构造一个满足条件的可导函数. 取 f(x)=12(x+2)2f(x)=\frac12(x+2)^2，则 f(x)f(x) 在 x=−2x=-2 处取得极小值，且 f′(x)=x+2f'(x)=x+2. 于是 y=xf′(x)=x(x+2)=x2+2xy=xf'(x)=x(x+2)=x^2+2x，其图象是开口向上的抛物线，过 x=−2x=-2 和 x=0x=0 两个零点，在两零点之间位于 xx 轴下方，正是选项 C 所表示的图象，故选 C. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2012 · 重庆 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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17导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+bx+cf(x)=ax^3+bx+c 在点 x=2x=2 处取得极值 c−16c-16.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 若 f(x)f(x) 有极大值 28，求 f(x)f(x) 在 [−3,3][-3,3] 上的最小值.

2012 · 重庆 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设 f(x)=x3+ax2+bx+1f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1 的导数 f′(x)f'(x) 满足 f′(1)=2af'(1) = 2a，f′(2)=−bf'(2) = -b，其中常数 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}.
(1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程； (2) 设 g(x)=f′(x)e−xg(x) = f'(x) \mathrm{e}^{-x}，求函数 g(x)g(x) 的极值.

2011 · 重庆 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
设 f(x)=2x3+ax2+bx+1f(x) = 2x^{3} + ax^{2} + bx + 1 的导数为 f′(x)f'(x). 若函数 y=f′(x)y = f'(x) 的图象关于直线 x=−12x = -\frac{1}{2} 对称，且 f′(1)=0f'(1) = 0.
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的极值.

2011 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x−1x+a+ln⁡(x+1)f(x) = \frac{x - 1}{x + a} + \ln\left(x + 1\right)，其中实数 a≠1a \neq 1.
(1) 若 a=2a = 2，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0, f(0)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在 x=1x = 1 处取得极值，试讨论 f(x)f(x) 的单调性.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 a=2a=2 时，f(0)=−12f(0)=-\frac{1}{2}，且 f′(x)=3(x+2)2+1x+1f'(x)=\frac{3}{(x+2)^2}+\frac{1}{x+1}，所以 f′(0)=74f'(0)=\frac{7}{4}. 因此曲线在 (0,f(0))=(0,−12)(0,f(0))=\left(0,-\frac{1}{2}\right) 处的切线方程为 y+12=74xy+\frac{1}{2}=\frac{7}{4}x，即 y=74x−12y=\frac{7}{4}x-\frac{1}{2}. \item 因为函数在 x=1x=1 处取得极值，且 x=1x=1 必须属于定义域，所以 a≠−1a\neq-1. 又 f′(1)=1a+1+12=0f'(1)=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{2}=0，解得 a=−3a=-3. 此时定义域为 (−1,3)∪(3,+∞)(-1,3)\cup(3,+\infty)，并且
f′(x)=−2(x−3)2+1x+1=(x−1)(x−7)(x−3)2(x+1)f'(x)=\frac{-2}{(x-3)^2}+\frac{1}{x+1}=\frac{(x-1)(x-7)}{(x-3)^2(x+1)}
由于定义域内分母为正，故 f′(x)>0f'(x)>0 在 (−1,1)(-1,1) 和 (7,+∞)(7,+\infty) 上成立，f′(x)<0f'(x)<0 在 (1,3)(1,3) 和 (3,7)(3,7) 上成立. 因此 f(x)f(x) 在 (−1,1)(-1,1)、(7,+∞)(7,+\infty) 上单调递增，在 (1,3)(1,3)、(3,7)(3,7) 上单调递减. \end{enumerate} \end{solution}

2010 · 重庆 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+x2+bxf(x) = ax^3 + x^2 + bx（其中常数 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}），g(x)=f(x)+f′(x)g(x) = f(x) + f'(x) 是奇函数.
(1) 求 f(x)f(x) 的表达式； (2) 讨论 g(x)g(x) 的单调性，并求 g(x)g(x) 在区间 [1,2][1,2] 上的最大值和最小值.

2010 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ax2+bx+kf(x) = ax^{2} + bx + k（k>0k > 0）在 x=0x = 0 处取得极值，且曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线垂直于直线 x+2y+1=0x + 2y + 1 = 0.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 若函数 g(x)=exf(x)g(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{f(x)}，讨论 g(x)g(x) 的单调性.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数在 x=0x=0 处取得极值，故 f′(0)=b=0f'(0)=b=0. 直线 x+2y+1=0x+2y+1=0 的斜率为 −12-\frac{1}{2}，其垂线斜率为 22. 因而
f′(1)=2a+b=2f'(1)=2a+b=2
结合 b=0b=0 得 a=1a=1. \item 此时 f(x)=x2+k>0f(x)=x^2+k>0，且
g′(x)=ex(x2+k)−ex(2x)(x2+k)2=ex((x−1)2+k−1)(x2+k)2g'(x)=\frac{\mathrm{e}^x(x^2+k)-\mathrm{e}^x(2x)}{(x^2+k)^2} =\frac{\mathrm{e}^x\bigl((x-1)^2+k-1\bigr)}{(x^2+k)^2}
分母和 ex\mathrm{e}^x 始终为正，只需考察 (x−1)2+k−1(x-1)^2+k-1.
当 k⩾1k\geqslant1 时，(x−1)2+k−1⩾0(x-1)^2+k-1\geqslant0，故 g(x)g(x) 在 R\mathbf{R} 上单调递增；当 0<k<10<k<1 时，令 x1=1−1−kx_1=1-\sqrt{1-k}，x2=1+1−kx_2=1+\sqrt{1-k}， 则导数在 (−∞,x1)(-\infty,x_1) 和 (x2,+∞)(x_2,+\infty) 为正，在 (x1,x2)(x_1,x_2) 为负. 因此 gg 在前两个区间上分别递增，在中间区间上递减. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 重庆 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知 f(x)=x2+bx+cf(x)=x^2+bx+c 为偶函数，曲线 y=f(x)y=f(x) 过点 (2,5)(2,5)，g(x)=(x+a)f(x)g(x)=(x+a)f(x).
(1) 求曲线 y=g(x)y=g(x) 斜率为 00 的切线，求实数 aa 的取值范围； (2) 若当 x=−1x=-1 时函数 y=g(x)y=g(x) 取得极值，确定 y=g(x)y=g(x) 的单调区间.

2009 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c（a≠0a \neq 0），曲线 y=f(x)y = f(x) 通过点 (0,2a+3)(0, 2a + 3)，且在点 (−1,f(−1))(-1, f(-1)) 处的切线垂直于 yy 轴.
(1) 用 aa 分别表示 bb 和 cc； (2) 当 bcbc 取得最小值时，求函数 g(x)=−f(x)e−xg(x) = -f(x)\mathrm{e}^{-x} 的单调区间.

2008 · 重庆 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=x3+ax2−9x−1f(x) = x^{3} + ax^{2} - 9x - 1（a<0a < 0）. 若曲线 y=f(x)y = f(x) 的斜率最小的切线与直线 12x+y=612x + y = 6 平行，求：
(1) aa 的值； (2) 函数 f(x)f(x) 的单调区间.

2008 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
用长为 18 m18 \mathrm{~m} 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2:12:1，问该长方体的长，宽，高各为多少时，其体积最大？ 最大体积是多少？

2007 · 重庆 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=x3−3ax2+3bxf(x) = x^3 - 3ax^2 + 3bx 的图象与直线 12x+y−1=012x + y - 1 = 0 相切于点 (1,−11)(1,-11).
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性.

2006 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=2x3−3(a+1)x2+6ax+8f(x) = 2x^{3} - 3(a + 1)x^{2} + 6ax + 8，其中 a∈Ra \in \mathbf{R}.
(1) 若 f(x)f(x) 在 x=3x = 3 处取得极值，求常数 aa 的值； (2) 若 f(x)f(x) 在 (−∞,0)(-\infty,0) 上为增函数，求 aa 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 函数可导，若在 x=3x=3 处取得极值，则必须有 f′(3)=0f'(3)=0. 而 f′(x)=6x2−6(a+1)x+6a=6(x−1)(x−a)f'(x)=6x^2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)，所以 0=f′(3)=12(3−a)0=f'(3)=12(3-a)，得 a=3a=3. 当 a=3a=3 时，f′(x)=6(x−1)(x−3)f'(x)=6(x-1)(x-3)，在 x=3x=3 左侧为负、右侧为正，确实在 x=3x=3 处取得极小值. \item 由 f′(x)=6(x−1)(x−a)f'(x)=6(x-1)(x-a)，当 x<0x<0 时有 x−1<0x-1<0. 要使 ff 在 (−∞,0)(-\infty,0) 上为增函数，需对一切 x<0x<0 有 f′(x)>0f'(x)>0，这等价于 x−a<0x-a<0 对一切 x<0x<0 成立，也就是 a⩾0a\geqslant0. 当 a⩾0a\geqslant0 时确有 x−a<0x-a<0，故 f′(x)>0f'(x)>0；若 a<0a<0，取 x∈(a,0)x\in(a,0)，则 f′(x)<0f'(x)<0. 故 a∈[0,+∞)a\in[0,+\infty). \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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14导数及其应用★★★☆☆
曲线 y=2−12x2y=2-\frac{1}{2}x^2 与 y=14x3−2y=\frac{1}{4}x^3-2 在交点处切线的夹角是______（用弧度数作答）.

2004 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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20导数及其应用★★★☆☆
某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 xx（吨\text{吨}）与每吨产品的价格 pp（元/吨\text{元}/\text{吨}）之间的关系式为：p=24200−15x2p = 24200 - \frac{1}{5} x^2，且生产 x 吨x\text{ 吨} 的成本为 R=50000+200xR = 50000 + 200x（元\text{元}）. 问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润 == 收入-成本）

2004 · 重庆 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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