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106分函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，且当 x>0x>0 时，f(x)=(x2−3)ex+2f(x)=(x^2-3)\mathrm{e}^x+2，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
当 x<0x<0 时，f(x)=−(x2−3)e−x−2f(x)=-(x^2-3)\mathrm{e}^{-x}-2
C.
f(x)≥2f(x)\ge 2 当且仅当 x≥3x\ge \sqrt3
D.
x=−1x=-1 是 f(x)f(x) 的极大值点

2025 · 全国 · 二卷 · 第 10 题 · 多选题

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08函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=x3+ax+2f(x)=x^3+ax+2 存在 33 个零点，则 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
(−∞,−2)(-\infty,-2)
B.
(−∞,−3)(-\infty,-3)
C.
(−4,−1)(-4,-1)
D.
(−3,0)(-3,0)

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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11导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=cos⁡x+(x+1)sin⁡x+1f(x)=\cos x+(x+1)\sin x+1 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上的最小值，最大值分别为（ ）
A.
−π2-\dfrac{\pi}{2}，π2\dfrac{\pi}{2}
B.
−3π2-\dfrac{3\pi}{2}，π2\dfrac{\pi}{2}
C.
−π2-\dfrac{\pi}{2}，π2+2\dfrac{\pi}{2}+2
D.
−3π2-\dfrac{3\pi}{2}，π2+2\dfrac{\pi}{2}+2

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★☆☆
已知球 OO 的半径为 11，四棱锥的顶点为 OO，底面的四个顶点均在球 OO 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A.
13\dfrac{1}{3}
B.
12\dfrac{1}{2}
C.
33\dfrac{\sqrt3}{3}
D.
22\dfrac{\sqrt2}{2}

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★☆☆
设 a≠0a\ne 0，若 x=ax=a 为函数 f(x)=a(x−a)2(x−b)f(x)=a(x-a)^2(x-b) 的极大值点，则（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
a<ba<b
B.
a>ba>b
C.
ab<a2ab<a^2
D.
ab>a2ab>a^2

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
如图，某飞行器在 4 千米高空水平飞行，从距着陆点 AA 的水平距离 10 千米处下降. 已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为（ ）
A.
y=1125x3−35xy = \frac{1}{125} x^3 - \frac{3}{5} x
B.
y=2125x3−45xy = \frac{2}{125} x^3 - \frac{4}{5} x
C.
y=3125x3−xy = \frac{3}{125} x^3 - x
D.
y=−3125x3+15xy = -\frac{3}{125} x^3 + \frac{1}{5} x

2014 · 陕西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★☆☆
如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 设三次函数为 f(x)=Ax3+Bx2+Cx+Df(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D. 由图可知曲线在 O(0,0)O(0,0) 处与直线 y=−xy=-x 相切，在 (2,0)(2,0) 处与直线 y=3x−6y=3x-6 相切，所以 f(0)=0f(0)=0，f′(0)=−1f'(0)=-1，f(2)=0f(2)=0，f′(2)=3f'(2)=3. 于是 D=0D=0，C=−1C=-1，并且 8A+4B−2=08A+4B-2=0，12A+4B−1=312A+4B-1=3，即 4A+2B=14A+2B=1，3A+B=13A+B=1. 解得 A=12A=\frac12，B=−12B=-\frac12. 因此 f(x)=12x3−12x2−xf(x)=\frac12x^3-\frac12x^2-x. 所以选 A. \end{solution}
A.
y=12x3−12x2−xy = \frac{1}{2} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - x
B.
y=12x3+12x2−3xy = \frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 3x
C.
y=14x3−xy = \frac{1}{4} x^3 - x
D.
y=14x3+12x2−2xy = \frac{1}{4} x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 2x

2014 · 陕西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={ln⁡x,x>0,−2x−1,x⩽0,f(x) = \begin{cases} \ln x, & x > 0,\\ -2x - 1, & x \leqslant 0, \end{cases}
DD 是由 xx 轴和曲线 y=f(x)y = f(x) 及该曲线在点 (1,0)(1,0) 处的切线所围成的封闭区域，则 z=x−2yz = x - 2y 在 DD 上的最大值为______.

2012 · 陕西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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21导数及其应用★★★☆☆
如图，从点 P1(0,0)P_{1}(0,0) 作 xx 轴的垂线交曲线 y=exy = \mathrm{e}^{x} 于点 Q1(0,1)Q_{1}(0,1)，曲线在 Q1Q_{1} 点处的切线与 xx 轴交于点 P2P_{2}，再从 P2P_{2} 作 xx 轴的垂线交曲线于点 Q2Q_{2}，依次重复上述过程得到一系列点：P1P_{1}，Q1Q_{1}；P2P_{2}，Q2Q_{2}；⋯\cdots；PnP_{n}，QnQ_{n}，记 PkP_{k} 点的坐标为 (xk,0)(x_{k}, 0)（k=1k = 1，22，⋯\cdots，nn）.
(1) 试求 xkx_{k} 与 xk−1x_{k-1} 的关系（2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n）； (2) 求 ∣P1Q1∣+∣P2Q2∣+∣P3Q3∣+⋯+∣PnQn∣\left|P_{1}Q_{1}\right|+\left|P_{2}Q_{2}\right|+\left|P_{3}Q_{3}\right|+\cdots+\left|P_{n}Q_{n}\right|.

2011 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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16导数及其应用★★★☆☆
设曲线 y=xn+1y = x^{n + 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）在点 (1,1)\left(1,1\right) 处的切线与 xx 轴的交点的横坐标为 xnx_n. 令 an=lg⁡xna_n = \lg x_n，则 a1+a2+⋯+a99a_1 + a_2 + \dots + a_{99} 的值为______.

2009 · 陕西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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12导数及其应用★★★☆☆
设曲线 y=xn+1y = x^{n + 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）在点 (1,1)(1,1) 处的切线与 xx 轴的交点的横坐标为 xnx_n，则 x1⋅x2⋯xnx_1 \cdot x_2 \cdots x_n 的值为（ ）
A.
1n\frac{1}{n}
B.
1n+1\frac{1}{n + 1}
C.
nn+1\frac{n}{n + 1}
D.
11

2009 · 陕西 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★☆☆
(1) 已知函数 f(x)=x3−3ax−1f(x) = x^3 - 3ax - 1，a≠0a \neq 0. 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若 f(x)f(x) 在 x=−1x = -1 处取得极值，直线 y=my = m 与 y=f(x)y = f(x) 的图象有三个不同的交点，求 mm 的取值范围.

2009 · 陕西 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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11导数及其应用★★★☆☆
f(x)f(x) 是定义在 (0,+∞)(0, + \infty) 上的非负可导函数，且满足 xf′(x)+f(x)⩽0x f'(x) + f(x) \leqslant 0. 对任意正数 aa，bb，若 a<ba < b，则必有（ ）
A.
af(b)⩽bf(a)a f(b)\leqslant b f(a)
B.
bf(a)⩽af(b)b f(a)\leqslant a f(b)
C.
af(a)⩽f(b)a f(a)\leqslant f(b)
D.
bf(b)⩽f(a)b f(b)\leqslant f(a)

2007 · 陕西 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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21导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+bx2+cxf(x) = a x^3 + b x^2 + c x 在区间 [0,1][0, 1] 上是增函数，在区间 (−∞,0)(-\infty, 0)，(1,+∞)(1, +\infty) 上是减函数. 又 f′(12)=32f'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}.
(1) 求 f(x)f(x) 的解析式； (2) 若在区间 [0,m][0, m]（m>0m > 0）上恒有 f(x)⩽xf(x) \leqslant x 成立，求 mm 的取值范围.

2007 · 陕西 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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