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135分导数及其应用★★★☆☆
若曲线 y=ex+xy=\mathrm{e}^x+x 与曲线 y=ln⁡(x+1)+ay=\ln(x+1)+a 在点 (0,1)(0,1) 处有切线重合，则 a=a=______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 13 题 · 填空题

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145分导数及其应用★★★☆☆
曲线 y=ln⁡∣x∣y=\ln|x| 过坐标原点的两条切线的方程为______，______.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 14 题 · 填空题

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155分导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=∣2x−1∣−2ln⁡xf(x)=|2x-1|-2\ln x 的最小值为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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145分函数与初等函数★★★☆☆
写出一个函数 f(x)=‾f\left( x \right)=\underline{\hspace{2em}}，使其同时具有下列性质：
① f(x1x2)=f(x1)f(x2)f\left( x_1x_2 \right)=f\left( x_1 \right)f\left( x_2 \right)； ② 当 x∈(0,+∞)x\in \left( 0,+\infty \right) 时，f′(x)>0f'\left( x \right)>0； ③ f′(x)f'\left( x \right) 是奇函数.
\begin{answer} x4x^4 \end{answer}

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 14 题 · 填空题

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08导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=3x+a3x+1f(x)=3^x+\dfrac{a}{3^x+1}（a>0a>0） 的最小值为 55，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量 WW 与时间 tt 的关系为 W=f(t)W=f(t)，用 −f(b)−f(a)b−a-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} 的大小评价在 [a,b][a,b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
① 在 [t1,t2][t_1,t_2] 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ② 在 t2t_2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③ 在 t3t_3 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④ 甲企业在 [0,t1][0,t_1]，[t1,t2][t_1,t_2]，[t2,t3][t_2,t_3] 这三段时间中，在 [0,t1][0,t_1] 的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是______.

2020 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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07导数及其应用★★★☆☆
若 xx，y∈R+y\in\mathbf{R}^+，且 1x+2y=3\frac1x+2y=3，则 yx\frac yx 的最大值为______.

2019 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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11导数及其应用★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，点 AA 在曲线 y=ln⁡xy=\ln x 上，且该曲线在点 AA 处的切线经过点 (−e,−1)(-\mathrm{e},-1)（e\mathrm{e} 为自然对数的底数），则点 AA 的坐标是______.
\begin{answer} (e,1)(\mathrm{e},1) \end{answer}

2019 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

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11导数及其应用★★★☆☆
若函数 f(x)=2x3−ax2+1f(x)=2x^3-ax^2+1（a∈Ra\in\mathbf{R}）在 (0,+∞)(0,+\infty) 内有且只有一个零点，则 f(x)f(x) 在 [−1,1][-1,1] 上的最大值与最小值的和为______.

2018 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

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15指数函数与对数函数★★★☆☆
若函数 exf(x)\mathrm{e}^x f(x)（e≈2.71828…\mathrm{e}\approx2.71828\ldots 是自然对数的底数）在 f(x)f(x) 的定义域上单调递增，则称函数 f(x)f(x) 具有 MM 性质. 下列函数中所有具有 MM 性质的函数的序号为______.
① f(x)=2−xf(x)=2^{-x} ② f(x)=3−xf(x)=3^{-x} ③ f(x)=x3f(x)=x^3 ④ f(x)=x2+2f(x)=x^2+2

2017 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★☆☆
某高科技企业生产产品 AA 和产品 BB，需要甲，乙两种新型材料. 生产一件产品 AA 需要甲材料 1.5 kg1.5\text{ kg}，乙材料 1 kg1\text{ kg}，用 55 个工时；生产一件产品 BB 需要甲材料 0.5 kg0.5\text{ kg}，乙材料 0.3 kg0.3\text{ kg}，用 33 个工时，生产一件产品 AA 的利润为 21002100 元，生产一件产品 BB 的利润为 900900 元. 该企业现有甲材料 150 kg150\text{ kg}，乙材料 90 kg90\text{ kg}，则在不超过 600600 个工时的条件下，生产产品 AA，产品 BB 的利润之和的最大值为______ 元.

2016 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★☆☆
已知曲线 y=x+ln⁡xy = x + \ln x 在点 (1,1)(1, 1) 处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1y = ax^2 + (a + 2)x + 1 相切，则 a=a =______.

2015 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
若函数 f(x)=cos⁡2x+asin⁡xf(x)=\cos 2x+a\sin x 在区间 (π6,π2)\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right) 上是减函数，则 aa 的取值范围是______.
\begin{solution} 求导得
f′(x)=−2sin⁡2x+acos⁡x=cos⁡x(a−4sin⁡x)f'(x)=-2\sin2x+a\cos x=\cos x\left(a-4\sin x\right)
在 (π6,π2)\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right) 上，cos⁡x>0\cos x>0，且 sin⁡x>12\sin x>\dfrac12. 若 a⩽2a\leqslant2，则 a−4sin⁡x<0a-4\sin x<0，所以函数在该区间上递减.
若 a>2a>2，由 sin⁡x\sin x 在该区间左端附近趋近于 12\dfrac12，可取区间内的 xx 使 4sin⁡x<a4\sin x<a，此时 f′(x)>0f'(x)>0，不可能在整个区间上递减. 因此 aa 的取值范围为 (−∞,2]\left(-\infty,2\right]. \end{solution}

2014 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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11导数及其应用★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，若曲线 y=ax2+bxy = ax^2 + \frac{b}{x}（aa，bb 为常数）过点 P(2,−5)P(2, -5)，且该曲线在点 PP 处的切线与直线 7x+2y+3=07x + 2y + 3 = 0 平行，则 a+ba + b 的值是______.

2014 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

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15导数及其应用★★★☆☆
若直线 ll 与曲线 CC 满足下列两个条件：
① 直线 ll 在点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 处与曲线 CC 相切； ② 曲线 CC 在点 PP 附近位于直线 ll 的两侧，
则称直线 ll 在点 PP 处“切过”曲线 CC.
下列命题正确的是______.（写出所有正确命题的编号）
① 直线 l:y=0l: y = 0 在点 P(0,0)P(0,0) 处“切过”曲线 C:y=x3C: y = x^3. ② 直线 l:x=−1l: x = -1 在点 P(−1,0)P(-1,0) 处“切过”曲线 C:y=(x+1)2C: y = (x + 1)^2. ③ 直线 l:y=xl: y = x 在点 P(0,0)P(0,0) 处“切过”曲线 C:y=sin⁡xC: y = \sin x. ④ 直线 l:y=xl: y = x 在点 P(0,0)P(0,0) 处“切过”曲线 C:y=tan⁡xC: y = \tan x. ⑤ 直线 l:y=x−1l: y = x - 1 在点 P(1,0)P(1,0) 处“切过”曲线 C:y=ln⁡xC: y = \ln x.
\begin{answer} \circled1\circled3\circled4\circled{1}\circled{3}\circled{4} \end{answer}

2014 · 安徽 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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14概率与统计★★★☆☆
如图，在边长为 e\mathrm{e}（e\mathrm{e} 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.

2014 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★☆☆
某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 FF（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时\text{辆}/\text{小时}）与车流速度 vv（假设车辆以相同速度 vv 行驶，单位：米/秒\text{米}/\text{秒}），平均车长 ll（单位：米\text{米}）的值有关，其公式为 F=76000vv2+18v+20lF = \frac{76000v}{v^2 + 18v + 20l}.
(1) 如果不限定车型，l=6.05l = 6.05，则最大车流量为______辆/小时\text{辆}/\text{小时}； (2) 如果限定车型，l=5l = 5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加______辆/小时\text{辆}/\text{小时}.

2014 · 湖北 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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09导数及其应用★★★☆☆
抛物线 y=x2y=x^2 在 x=1x=1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 DD（包含三角形内部与边界）. 若点 P(x,y)P(x,y) 是区域 DD 内的任意一点，则 x+2yx+2y 的取值范围是______.

2013 · 江苏 · 第 9 题 · 填空题

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15导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x)=\sin(\omega x+\varphi) 的导函数 y=f′(x)y=f'(x) 的部分图象如图所示，其中，PP 为图象与 yy 轴的交点，AA，CC 为图象与 xx 轴的两个交点，BB 为图象的最低点.
(1) 若 φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6}，点 PP 的坐标为 (0,332)\left(0,\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)，则 ω=\omega=______. (2) 若在曲线段 ABC⌢\overset{\frown}{ABC} 与 xx 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 △ABC\triangle ABC 内的概率为______.

2012 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={ln⁡x,x>0,−2x−1,x⩽0,f(x) = \begin{cases} \ln x, & x > 0,\\ -2x - 1, & x \leqslant 0, \end{cases}
DD 是由 xx 轴和曲线 y=f(x)y = f(x) 及该曲线在点 (1,0)(1,0) 处的切线所围成的封闭区域，则 z=x−2yz = x - 2y 在 DD 上的最大值为______.

2012 · 陕西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=ex−2x+af(x) = \mathrm{e}^{x} - 2x + a 有零点，则 aa 的取值范围是______.

2011 · 辽宁 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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08导数及其应用★★★☆☆
函数 y=x2y=x^2（x>0x>0）的图象在点 (ak,ak2)\left(a_k,a_k^2\right) 处的切线与 xx 轴交点的横坐标为 ak+1a_{k+1}，其中 k∈N∗k\in\mathbf{N}^*. 若 a1=16a_1=16，则 a1+a3+a5a_1+a_3+a_5 的值是______.

2010 · 江苏 · 第 8 题 · 填空题

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14导数及其应用★★★☆☆
若曲线 f(x)=ax3+ln⁡xf(x) = ax^3 + \ln x 存在垂直于 yy 轴的切线，则实数 aa 取值范围是______.
\begin{solution} 函数定义域为x>0x>0，且 f′(x)=3ax2+1xf'(x)=3ax^2+\frac{1}{x}.切线垂直于yy轴即切线水平，所以存在x0>0x_0>0使
f′(x0)=0⟺3ax03+1=0⟺a=−13x03<0f'(x_0)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3ax_0^3+1=0 \quad\Longleftrightarrow\quad a=-\frac{1}{3x_0^3}<0
反之，任取a<0a<0，取x0=−13a3>0x_0=\sqrt[3]{-\frac{1}{3a}}>0，即可使f′(x0)=0f'(x_0)=0.因此aa的取值范围是(−∞,0)(-\infty,0). \end{solution}

2009 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★☆☆
设曲线 y=xn+1y = x^{n + 1}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）在点 (1,1)\left(1,1\right) 处的切线与 xx 轴的交点的横坐标为 xnx_n. 令 an=lg⁡xna_n = \lg x_n，则 a1+a2+⋯+a99a_1 + a_2 + \dots + a_{99} 的值为______.

2009 · 陕西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=cos⁡(3x+φ)f(x)=\cos(\sqrt3x+\varphi)（0<φ<π0<\varphi<\pi）. 若 f(x)+f′(x)f(x)+f'(x) 是奇函数，则 φ=\varphi=______.

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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