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1615分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ex−ax−a3f(x)=\mathrm{e}^x-ax-a^3.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 有极小值，且极小值小于 0，求 aa 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知 SS 为正比例系数，定义 S=F0V0S=\frac{F_0}{V_0}，F0F_0 为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V0V_0 为建筑物的体积（单位：立方米）.
(1) 若有一个圆柱体建筑的底面半径为 RR，高度为 HH，求该建筑体的 SS（用 RR，HH 表示）； (2) 现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设 A 为底面面积，LL 为建筑底面周长. 已知 ff 为正比例系数，L2L^2 与 A 成正比，定义 f=L2Af=\frac{L^2}{A}，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为 TT. 已知该建筑体推导得出 S=f⋅nT+13nS=\sqrt{\frac{f\cdot n}{T}+\frac{1}{3n}}，nn 为层数，层高为 33 米，其中 f=18f=18，T=10000T=10000，试求当取第几层时，该建筑体 SS 最小？

2023 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=3−2xx2+af(x)=\dfrac{3-2x}{x^2+a}.
(1) 若 a=0a=0，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在 x=−1x=-1 处取得极值，求 f(x)f(x) 的单调区间，并求其最大值与最小值.

2021 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=12−x2f(x)=12-x^2.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 的斜率等于 −2-2 的切线方程； (2) 设曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (t,f(t))(t,f(t)) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S(t)S(t)，求 S(t)S(t) 的最小值.

2020 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 OO 在水平线 MNMN 上，桥 ABAB 与 MNMN 平行，OO′OO' 为铅垂线（O′O' 在 ABAB 上）. 经测量，左侧曲线 AOAO 上任一点 DD 到 MNMN 的距离 h1h_1（ m\mathrm{~m}）与 DD 到 OO′OO' 的距离 aa（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h1=140a2h_1=\dfrac{1}{40}a^2；右侧曲线 BOBO 上任一点 FF 到 MNMN 的距离 h2h_2（ m\mathrm{~m}）与 FF 到 OO′OO' 的距离 bb（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h2=−1800b3+6bh_2=-\dfrac{1}{800}b^3+6b. 已知点 BB 到 OO′OO' 的距离为 40 m40\mathrm{~m}.
(1) 求桥 ABAB 的长度； (2) 计划在谷底两侧建造平行于 OO′OO' 的桥墩 CDCD 和 EFEF，且 CECE 为 80 m80\mathrm{~m}，其中 CC，EE 在 ABAB 上（不包括端点）. 桥墩 EFEF 每米造价 kk（万元），桥墩 CDCD 每米造价 32k\dfrac32k（万元）（k>0k>0）. 问 O′EO'E 为多少米时，桥墩 CDCD 与 EFEF 的总造价最低？

2020 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=[ax2−(4a+1)x+4a+3]exf(x)=\bigl[ax^2-(4a+1)x+4a+3\bigr]\mathrm{e}^x.
(1) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线与 xx 轴平行，求 aa； (2) 若 f(x)f(x) 在 x=2x=2 处取得极小值，求 aa 的取值范围.

2018 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]exf(x)=\left[ax^2-(3a+1)x+3a+2\right]\mathrm{e}^x.
(1) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (2,f(2))\left(2,f(2)\right) 处的切线斜率为 00，求 aa； (2) 若 f(x)f(x) 在 x=1x=1 处取得极小值，求 aa 的取值范围.

2018 · 北京 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=excos⁡x−xf(x)=\mathrm{e}^x\cos x-x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 求函数 f(x)f(x) 在区间 [0,π2]\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right] 上的最大值和最小值.

2017 · 北京 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=excos⁡x−xf(x)=\mathrm{e}^x\cos x-x.
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 求函数 f(x)f(x) 在区间 [0,π2]\left[0,\dfrac\pi2\right] 上的最大值和最小值.

2017 · 北京 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=xea−x+bxf(x)=x\mathrm{e}^{a-x}+bx，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (2,f(2))(2,f(2)) 处的切线方程为 y=(e−1)x+4y=(\mathrm{e}-1)x+4.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 求 f(x)f(x) 的单调区间.

2016 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 P−A1B1C1D1P-A_1B_1C_1D_1，下部的形状是正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1（如图所示），并要求正四棱柱的高 O1OO_1O 是正四棱锥的高 PO1PO_1 的 44 倍.
(1) 若 AB=6 mAB=6\text{ m}，PO1=2 mPO_1=2\text{ m}，则仓库的容积是多少？ (2) 若正四棱锥的侧棱长为 6 m6\text{ m}，则当 PO1PO_1 为多少时，仓库的容积最大？

2016 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax2+1xf(x) = ax^2 + \frac{1}{x}，其中 aa 为常数.
(1) 根据 aa 的不同取值，判断函数 f(x)f(x) 的奇偶性，并说明理由； (2) 若 a∈(1,3)a \in (1,3)，判断函数 f(x)f(x) 在 [1,2][1,2] 上的单调性，并说明理由.

2015 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax(x+r)2f(x) = \frac{ax}{(x + r)^2}（a>0a > 0，r>0r > 0）.
(1) 求 f(x)f(x) 的定义域，并讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 ar=400\frac{a}{r} = 400，求 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0, +\infty) 内的极值.

2015 · 安徽 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+x2f(x) = ax^3 + x^2（a∈Ra \in \mathbf{R}）在 x=−43x = -\frac{4}{3} 处取得极值.
(1) 确定 aa 的值； (2) 若 g(x)=f(x)exg(x) = f(x)\mathrm{e}^{x}，讨论 g(x)g(x) 的单调性.

2015 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=aln⁡x+x−1x+1f(x) = a \ln x + \frac{x - 1}{x + 1}，其中 aa 为常数.
(1) 若 a=0a = 0，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程； (2) 讨论函数 f(x)f(x) 的单调性.

2014 · 山东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★☆☆
π\pi 为圆周率，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 求函数 f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x} 的单调区间； (2) 求 e3\mathrm{e}^{3}，3e3^{\mathrm{e}}，eπ\mathrm{e}^{\pi}，πe\pi^{\mathrm{e}}，3π3^{\pi}，π3\pi^{3} 这 6 个数中的最大数与最小数.

2014 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x4+ax−ln⁡x−32f(x) = \frac{x}{4} + \frac{a}{x} - \ln x - \frac{3}{2}，其中 a∈Ra \in \mathbf{R}，且曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线垂直于 y=12xy = \frac{1}{2} x.
(1) 求 aa 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间和极值.

2014 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差为 dd，点 (an,bn)(a_{n}, b_{n}) 在函数 f(x)=2xf(x) = 2^{x} 的图象上（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 证明：数列 {bn}\{b_{n}\} 为等比数列； (2) 若 a1=1a_{1} = 1，函数 f(x)f(x) 的图象在点 (a2,b2)(a_{2}, b_{2}) 处的切线在 xx 轴上的截距为 2−1ln⁡22 - \frac{1}{\ln 2}，求数列 {anbn2}\{a_{n} b_{n}^{2}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为点 (an,bn)(a_n,b_n) 在 y=2xy=2^x 的图象上，所以 bn=2anb_n=2^{a_n}. 又 an+1=an+da_{n+1}=a_n+d，故
bn+1bn=2an+d2an=2d\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{2^{a_n+d}}{2^{a_n}}=2^d
这个比值与 nn 无关，所以 {bn}\{b_n\} 是以 2d2^d 为公比的等比数列. \item 函数 f(x)=2xf(x)=2^x 的导数为 f′(x)=2xln⁡2f'(x)=2^x\ln2. 在点 (a2,b2)(a_2,b_2) 处的切线方程为
y−b2=b2ln⁡2(x−a2)y-b_2=b_2\ln2\left(x-a_2\right)
令 y=0y=0，得该切线在 xx 轴上的截距为 a2−1ln⁡2a_2-\frac1{\ln2}. 由题设及 a1=1a_1=1，得 a2=2a_2=2，从而 d=1d=1，an=na_n=n，bn=2nb_n=2^n. 因此
Sn=∑k=1nakbk2=∑k=1nk4kS_n=\sum_{k=1}^n a_kb_k^2=\sum_{k=1}^n k4^k
设上式为 SnS_n，则 4Sn=∑k=2n+1(k−1)4k4S_n=\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)4^k，相减得
3Sn=n4n+1−∑k=1n4k=n4n+1−4n+1−433S_n=n4^{n+1}-\sum_{k=1}^n4^k=n4^{n+1}-\frac{4^{n+1}-4}{3}
所以 Sn=(3n−1)4n+1+49S_n=\frac{(3n-1)4^{n+1}+4}{9}. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 四川 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ex(ax+b)−x2−4xf(x) = \mathrm{e}^{x}(ax + b) - x^{2} - 4x，曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程为 y=4x+4y = 4x + 4.
(1) 求 aa，bb 的值； (2) 讨论 f(x)f(x) 的单调性，并求 f(x)f(x) 的极大值.

2013 · 全国 · 新课程一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
设 LL 为曲线 C:y=ln⁡xxC: y = \frac{\ln x}{x} 在点 (1,0)(1,0) 处的切线.
(1) 求 LL 的方程； (2) 证明：除切点 (1,0)(1,0) 之外，曲线 CC 在直线 LL 的下方.

2013 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
甲厂以 xx 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 1⩽x⩽101\leqslant x\leqslant 10），每一小时可获得利润是 100(5x+1−3x)100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right) 元.
(1) 要使生产该产品 22 小时获得的利润不低于 30003000 元，求 xx 的取值范围； (2) 要使生产 900900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

2013 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
甲厂以 x 千克/小时x\text{ 千克/小时} 的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 1⩽x⩽101 \leqslant x \leqslant 10），每一小时可获得的利润是 100(5x+1−3x) 元100\left(5x + 1 - \frac{3}{x}\right)\text{ 元}.
(1) 求证：生产 a 千克a\text{ 千克} 该产品所获得的利润为 100a(5+1x−3x2) 元100a\left(5 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}\right)\text{ 元}； (2) 要使生产 900 千克900\text{ 千克} 该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 生产 a 千克a\text{ 千克} 产品需要 ax\frac{a}{x} 小时，所以所获得的利润为
ax×100(5x+1−3x)=100a(5+1x−3x2) 元\frac{a}{x}\times100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right)=100a\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)\text{ 元}
\item 当生产 900 千克900\text{ 千克} 产品时，利润函数为 P(x)=90000(5+1x−3x2)P(x)=90000\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)，1⩽x⩽101\leqslant x\leqslant10. 其导数为
P′(x)=90000(−1x2+6x3)=90000(6−x)x3P'(x)=90000\left(-\frac{1}{x^2}+\frac{6}{x^3}\right)=\frac{90000(6-x)}{x^3}
由于 x>0x>0，当 1⩽x<61\leqslant x<6 时 P′(x)>0P'(x)>0，当 6<x⩽106<x\leqslant10 时 P′(x)<0P'(x)<0，所以 P(x)P(x) 在 [1,6][1,6] 上递增，在 [6,10][6,10] 上递减，最大值在 x=6x=6 时取得. 最大利润为
P(6)=90000(5+16−336)=90000×6112=457500 元P(6)=90000\left(5+\frac{1}{6}-\frac{3}{36}\right)=90000\times\frac{61}{12}=457500\text{ 元}
因此甲厂应选择 6 千克/小时6\text{ 千克/小时} 的生产速度，最大利润为 457500 元457500\text{ 元}. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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26函数与初等函数★★★☆☆
如图，某校有一块形如直角三角形 ABCABC 的空地，其中 ∠B\angle B 为直角，ABAB 长 40 米40\text{ 米}，BCBC 长 50 米50\text{ 米}，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且 BB 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积.

2013 · 上海 · 春季 · 第 26 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ax−(1+a2)x2f(x) = ax - (1 + a^2)x^2，其中 a>0a > 0，区间 I={x∣f(x)>0}I = \{x \mid f(x) > 0\}.
(1) 求 II 的长度（注：区间 (α,β)(\alpha, \beta) 的长度定义为 β−α\beta - \alpha）； (2) 给定常数 k∈(0,1)k \in (0,1)，当 1−k⩽a⩽1+k1 - k \leqslant a \leqslant 1 + k 时，求 II 长度的最小值.

2013 · 安徽 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=2a_{1} = 2，a2+a4=8a_{2} + a_{4} = 8，且对任意 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，函数 f(x)=(an−an+1+an+2)x+an+1cos⁡x−an+2sin⁡xf(x) = (a_{n} - a_{n+1} + a_{n+2})x + a_{n+1}\cos x - a_{n+2}\sin x 满足 f′ ⁣(π2)=0f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 若 bn=2(an+12an)b_{n} = 2\left(a_{n} + \frac{1}{2a_{n}}\right)，求数列 {bn}\{b_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_{n}.

2013 · 安徽 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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