已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，且 $f(xy)=y^2f(x)+x^2f(y)$，则（ ）

已知函数 $f(x)=a\mathrm{e}^x-\ln x$ 在区间 $(1,2)$ 单调递增，则 $a$ 的最小值为（ ）

若函数 $f(x)=x^3+ax+2$ 存在 $3$ 个零点，则 $a$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

已知 $S$ 为正比例系数，定义 $S=\frac{F_0}{V_0}$，$F_0$ 为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），$V_0$ 为建筑物的体积（单位：立方米）.

(1) 若有一个圆柱体建筑的底面半径为 $R$，高度为 $H$，求该建筑体的 $S$（用 $R$，$H$ 表示）； (2) 现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设 A 为底面面积，$L$ 为建筑底面周长. 已知 $f$ 为正比例系数，$L^2$ 与 A 成正比，定义 $f=\frac{L^2}{A}$，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为 $T$. 已知该建筑体推导得出 $S=\sqrt{\frac{f\cdot n}{T}+\frac{1}{3n}}$，$n$ 为层数，层高为 $3$ 米，其中 $f=18$，$T=10000$，试求当取第几层时，该建筑体 $S$ 最小？