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18指数函数与对数函数★★★☆☆
若 f(x)=log⁡axf(x)=\log_a x（a>0a>0，a≠1a\ne 1）.
(1) y=f(x)y=f(x) 过 (4,2)(4,2)，求 f(2x−2)<f(x)f(2x-2)<f(x) 的解集； (2) 存在 xx 使得 f(x+1)f(x+1)，f(ax)f(ax)，f(x+2)f(x+2) 成等差数列，求 aa 的取值范围.

2024 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量 v=f(x)=qxv=f(x)=\frac{q}{x}，其中 xx 为道路密度，qq 为车辆密度，且 f(x)=100−135(13)80xf(x)=100-135\left(\frac13\right)^{\frac{80}{x}}（0<x<400<x<40）， f(x)=−k(x−40)+85f(x)=-k(x-40)+85（40≤x≤8040\le x\le80）.
(1) 若交通流量 v>95v>95，求道路密度 xx 的取值范围； (2) 已知道路密度 x=80x=80 时，测得交通流量 v=50v=50，求车辆密度 qq 的最大值.

2020 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★☆☆
设 f−1(x)f^{-1}(x) 为 f(x)=2x−2+x2f(x) = 2^{x - 2} + \frac{x}{2}，x∈[0,2]x \in [0,2] 的反函数，则 y=f(x)+f−1(x)y = f(x) + f^{-1}(x) 的最大值为______.

2015 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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08指数函数与对数函数★★★☆☆
方程 log⁡2(9x−1−5)=log⁡2(3x−1−2)+2\log_{2}(9^{x-1}-5)=\log_{2}(3^{x-1}-2)+2 的解为______.

2015 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

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20函数与初等函数★★★☆☆
设常数 a⩾0a \geqslant 0，函数 f(x)=2x+a2x−af(x) = \frac{2^x + a}{2^x - a}.
(1) 若 a=4a = 4，求函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)； (2) 根据 aa 的不同取值，讨论函数 y=f(x)y = f(x) 的奇偶性，并说明理由.

2014 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=lg⁡(x+1)f(x) = \lg (x + 1).
(1) 若 0<f(1−2x)−f(x)<10 < f(1 - 2x) - f(x) < 1，求 xx 的取值范围； (2) 若 g(x)g(x) 是以 2 为周期的偶函数，且当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，有 g(x)=f(x)g(x) = f(x)，求函数 y=g(x)y = g(x) （x∈[1,2]x \in [1, 2]） 的反函数.

2012 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=lg⁡(x+1)f(x) = \lg (x + 1).
(1) 若 0<f(1−2x)−f(x)<10 < f(1 - 2x) - f(x) < 1，求 xx 的取值范围； (2) 若 g(x)g(x) 是以 22 为周期的偶函数，且当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，有 g(x)=f(x)g(x) = f(x)，求函数 y=g(x)y = g(x) （x∈[1,2]x \in [1,2]） 的反函数.

2012 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=a⋅2x+b⋅3xf(x) = a \cdot 2^{x} + b \cdot 3^{x}，其中常数 aa，bb 满足 a⋅b≠0a \cdot b \neq 0.
(1) 若 a⋅b>0a \cdot b > 0，判断函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 a⋅b<0a \cdot b < 0，求 f(x+1)>f(x)f(x+1) > f(x) 时的 xx 的取值范围.

2011 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=a⋅2x+b⋅3xf(x) = a \cdot 2^{x} + b \cdot 3^{x}，其中常数 aa，bb 满足 a⋅b≠0a \cdot b \neq 0.
(1) 若 a⋅b>0a \cdot b > 0，判断函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 a⋅b<0a \cdot b < 0，求 f(x+1)>f(x)f(x + 1) > f(x) 时的 xx 的取值范围.

2011 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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17函数与初等函数★★★☆☆
若 x0x_0 是方程 lg⁡x+x=2\lg x + x = 2 的解，则 x0x_0 属于区间（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(1,1.25)(1, 1.25)
C.
(1.25,1.75)(1.25, 1.75)
D.
(1.75,2)(1.75, 2)

2010 · 上海 · 文 · 第 17 题 · 选择题

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19指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，化简：lg⁡(cos⁡x⋅tan⁡x+1−2sin⁡2x2)+lg⁡[2cos⁡(x−π4)]−lg⁡(1+sin⁡2x)\lg\left(\cos x \cdot \tan x + 1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right) + \lg\left[\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right] - \lg(1 + \sin 2x).

2010 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★☆☆
有时可用函数
f(x)={0.1+15ln⁡aa−x,x⩽6,x−4.4x−4,x>6,f(x) = \begin{cases} 0.1 + 15 \ln \frac{a}{a - x}, & x \leqslant 6,\\ \frac{x - 4.4}{x - 4}, & x > 6, \end{cases}
描述学习某学科知识的掌握程度，其中 xx 表示某学科知识的学习次数（x∈N∗x \in \mathbf{N}^*），f(x)f(x) 表示对该学科知识的掌握程度，正实数 aa 与学科知识有关.
(1) 证明：当 x⩾7x \geqslant 7 时，掌握程度的增加量 f(x+1)−f(x)f(x + 1) - f(x) 总是下降； (2) 根据经验，学科甲，乙，丙对应的 aa 的取值范围分别为 (115,121](115, 121]，(121,127](121, 127]，(121,133](121, 133]. 当学习某学科知识 66 次时，掌握程度是 85%85\%，请确定相应的学科.

2009 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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11指数函数与对数函数★★★☆☆
若曲线 ∣y∣=2x+1|y| = 2^x + 1 与直线 y=by = b 没有公共点，则 bb 的取值范围是______.

2006 · 上海 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
若函数 y=f(x)y = f(x) 的图象可由函数 y=lg⁡(x+1)y = \lg (x + 1) 的图象绕坐标原点 OO 逆时针旋转 π2\frac{\pi}{2} 得到，则 f(x)=f(x) =（ ）
A.
10−x−110^{-x} - 1
B.
10x−110^{x} - 1
C.
1−10−x1 - 10^{-x}
D.
1−10x1 - 10^{x}

2004 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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