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085分指数函数与对数函数★★★☆☆
若实数 xx，yy，zz 满足 2+log⁡2x=3+log⁡3y=5+log⁡5z2 + \log_2 x = 3 + \log_3 y = 5 + \log_5 z，则 xx，yy，zz 的大小关系不可能是（ ）
A.
x>y>zx > y > z
B.
x>z>yx > z > y
C.
y>x>zy > x > z
D.
y>z>xy > z > x

2025 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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106分指数函数与对数函数★★★☆☆
噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量噪声的强度，定义声压级 LP=20lg⁡pp0L_P=20\lg\frac{p}{p_0}，其中常数 p0p_0（p0>0p_0>0） 是听觉下限阈值，pp 是实际声压. 下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车 10m10\text{m} 处测得实际声压分别为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，则（ ）
A.
p1≥p2p_1\ge p_2
B.
p2>10p3p_2>10p_3
C.
p3=100p0p_3=100p_0
D.
p1≤100p2p_1\le 100p_2

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 10 题 · 多选题

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116分不等式★★★☆☆
已知 a>0a>0，b>0b>0，且 a+b=1a+b=1，则（ ）
A.
a2+b2≥12a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}
B.
2a−b>122^{a-b}>\dfrac{1}{2}
C.
log⁡2a+log⁡2b≥−2\log_2 a+\log_2 b\ge -2
D.
a+b≤2\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2}

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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07不等式★★★☆☆
若 a>b>0a>b>0，且 ab=1ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A.
a+1b<b2a<log⁡2(a+b)a+\dfrac1b<\dfrac{b}{2a}<\log_2(a+b)
B.
b2a<log⁡2(a+b)<a+1b\dfrac{b}{2a}<\log_2(a+b)<a+\dfrac1b
C.
a+1b<log⁡2(a+b)<b2aa+\dfrac1b<\log_2(a+b)<\dfrac{b}{2a}
D.
log⁡2(a+b)<a+1b<b2a\log_2(a+b)<a+\dfrac1b<\dfrac{b}{2a}

2017 · 山东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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15指数函数与对数函数★★★☆☆
若函数 exf(x)\mathrm{e}^x f(x)（e≈2.71828…\mathrm{e}\approx2.71828\ldots 是自然对数的底数）在 f(x)f(x) 的定义域上单调递增，则称函数 f(x)f(x) 具有 MM 性质. 下列函数中所有具有 MM 性质的函数的序号为______.
① f(x)=2−xf(x)=2^{-x} ② f(x)=3−xf(x)=3^{-x} ③ f(x)=x3f(x)=x^3 ④ f(x)=x2+2f(x)=x^2+2

2017 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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10指数函数与对数函数★★★☆☆
若函数 exf(x)\mathrm{e}^x f(x)（e=2.71828…\mathrm{e}=2.71828\ldots 是自然对数的底数）在 f(x)f(x) 的定义域上单调递增，则称函数 f(x)f(x) 具有 MM 性质. 下列函数中具有 MM 性质的是（ ）
A.
f(x)=2−xf(x)=2^{-x}
B.
f(x)=x2f(x)=x^2
C.
f(x)=3−xf(x)=3^{-x}
D.
f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x

2017 · 山东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★★☆☆
在区间 [0,2][0,2] 上随机地取一个数 xx，则事件“−1⩽log⁡12(x+12)⩽1-1 \leqslant \log_{\frac{1}{2}}\left(x + \frac{1}{2}\right) \leqslant 1”发生的概率为（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
23\frac{2}{3}
C.
13\frac{1}{3}
D.
14\frac{1}{4}

2015 · 山东 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2x+12x−af(x) = \frac{2^x + 1}{2^x - a} 是奇函数，则使 f(x)>3f(x) > 3 成立的 xx 的取值范围为（ ）
A.
(−∞,−1)(- \infty, -1)
B.
(−1,0)(-1,0)
C.
(0,1)(0,1)
D.
(1,+∞)(1, + \infty)

2015 · 山东 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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15指数函数与对数函数★★★☆☆
若函数 f(x)=axf(x)=a^x（a>0a>0，且 a≠1a\neq1）在 [−1,2][-1,2] 上的最大值为 4，最小值为 mm，且函数 g(x)=(1−4m)xg(x)=(1-4m)\sqrt{x} 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是增函数，则 a=a=______.

2012 · 山东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=log⁡ax+x−bf(x) = \log_a x + x - b（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）. 当 2<a<3<b<42 < a < 3 < b < 4 时，函数 f(x)f(x) 的零点 x0∈(n,n+1)x_0 \in (n, n + 1)，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，则 n=n =______.

2011 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=ax−x−af(x) = a^x - x - a（a>0a > 0 且 a≠1a \neq 1）有两个零点，则实数 aa 的取值范围是______.

2009 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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12指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=log⁡a(2x+b−1)f(x)=\log_{a}(2^{x}+b-1)（a>0a>0，a≠1a\neq1）的图象如图所示，则 aa，bb 满足的关系是（ ）
A.
0<a−1<b<10 < a^{-1} < b < 1
B.
0<b<a−1<10 < b < a^{-1} < 1
C.
0<b−1<a<−10 < b^{-1} < a < -1
D.
0<a−1<b−1<10 < a^{-1} < b^{-1} < 1

2008 · 山东 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(3x)=4xlog⁡23+233f(3^{x}) = 4x \log_{2} 3 + 233，则 f(2)+f(4)+f(8)+⋯+f(28)f(2) + f(4) + f(8) + \cdots + f(2^{8}) 的值等于______.

2008 · 山东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16指数函数与对数函数★★★☆☆
函数 y=log⁡a(x+3)−1y = \log_a(x + 3) - 1（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的图象恒过定点 AA，若点 AA 在直线 mx+ny+1=0mx + ny + 1 = 0 上，其中 mn>0mn > 0，则 1m+2n\frac{1}{m} + \frac{2}{n} 的最小值为______.
\begin{answer}88\end{answer}
\begin{solution} 令 x+3=1x+3=1，则 x=−2x=-2，且对任意允许的底数 aa，都有 y=log⁡a1−1=−1y=\log_a1-1=-1. 所以定点为 A(−2,−1)A(-2,-1). 代入直线方程得 −2m−n+1=0-2m-n+1=0，2m+n=12m+n=1. 由 mn>0mn>0 及 2m+n=1>02m+n=1>0，可知 m>0m>0，n>0n>0. 令 u=2mu=2m，则 u>0u>0、n>0n>0 且 u+n=1u+n=1. 因此
1m+2n=2u+2n=2(1u+1n)=2(u+n)un=2un\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{2}{u}+\frac{2}{n}=2\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{n}\right)=\frac{2(u+n)}{un}=\frac{2}{un}
由 u+n=1u+n=1 得 un⩽14un\leqslant\frac{1}{4}，所以
1m+2n⩾8\frac{1}{m}+\frac{2}{n}\geqslant8
当 u=n=12u=n=\frac{1}{2}，即 m=14m=\frac{1}{4}，n=12n=\frac{1}{2} 时取等号，故最小值为 88. \end{solution}

2007 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
函数 y=a1−xy = a^{1 - x}（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的图象恒过定点 AA，若点 AA 在直线 mx+ny−1=0mx + ny - 1 = 0（mn>0mn > 0）上，则 1m+1n\frac{1}{m} + \frac{1}{n} 的最小值为______.

2007 · 山东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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