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075分指数函数与对数函数★★★☆☆
若 a=log⁡52a=\log_5 2，b=log⁡83b=\log_8 3，c=12c=\frac12，则下列判断正确的是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
c<b<ac<b<a
B.
b<a<cb<a<c
C.
a<c<ba<c<b
D.
a<b<ca<b<c

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★★★☆☆
若 2x−2y<3−x−3−y2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}，则（ ）
A.
ln⁡(y−x+1)>0\ln \left( y-x+1 \right)>0
B.
ln⁡(y−x+1)<0\ln \left( y-x+1 \right)<0
C.
ln⁡∣x−y∣>0\ln \left| x-y \right|>0
D.
ln⁡∣x−y∣<0\ln \left| x-y \right|<0

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为正数的等比数列，a1=2a_1=2，a3=2a2+16a_3=2a_2+16.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=log⁡2anb_n=\log_2 a_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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07函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=ln⁡(1+9x2−3x)+1f(x) = \ln (\sqrt{1 + 9x^2} - 3x) + 1，则 f(lg⁡2)+f(lg⁡12)=f(\lg 2) + f\left(\lg \frac{1}{2}\right) =（ ）
A.
−1-1
B.
00
C.
11
D.
22

2013 · 辽宁 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={21−x,x⩽1,1−log⁡2x,x>1,f(x) = \begin{cases} 2^{1 - x}, & x \leqslant 1,\\ 1 - \log_2 x, & x > 1, \end{cases}
则满足 f(x)⩽2f(x) \leqslant 2 的 xx 取值范围是（ ）
A.
[−1,2][-1,2]
B.
[0,2][0,2]
C.
[1,+∞)[1,+\infty)
D.
[0,+∞)[0,+\infty)

2011 · 辽宁 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★★★☆☆
下列 44 个命题：
① p1p_1：∃x∈(0,+∞)\exists x \in (0, +\infty)，(12)x<(13)x\left(\frac{1}{2}\right)^x < \left(\frac{1}{3}\right)^x； ② p2p_2：∃x∈(0,1)\exists x \in (0,1)，log⁡12x>log⁡13x\log_{\frac12} x > \log_{\frac13} x； ③ p3p_3：∀x∈(0,+∞)\forall x \in (0, +\infty)，(12)x>log⁡12x\left(\frac{1}{2}\right)^x > \log_{\frac12} x； ④ p4p_4：∀x∈(0,13)\forall x \in \left(0,\frac{1}{3}\right)，(12)x<log⁡13x\left(\frac{1}{2}\right)^x < \log_{\frac13} x.
其中的真命题是（ ）
A.
p1p_1，p3p_3
B.
p1p_1，p4p_4
C.
p2p_2，p3p_3
D.
p2p_2，p4p_4

2009 · 辽宁 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
设 pp，qq 是两个命题，p:log⁡12(∣x∣−3)>0p: \log_{\frac{1}{2}}(|x| - 3) > 0，q:x2−56x+16>0q: x^2 - \frac{5}{6}x + \frac{1}{6} > 0，则 pp 是 qq 的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2007 · 辽宁 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★★★☆☆
与方程 y=e2x−2ex+1y = \mathrm{e}^{2x} - 2\mathrm{e}^{x} + 1（x⩾0x \geqslant 0）的曲线关于直线 y=xy = x 对称的曲线方程为（ ）
A.
y=ln⁡(1+x)y = \ln (1 + \sqrt{x})
B.
y=ln⁡(1−x)y = \ln (1 - \sqrt{x})
C.
y=−ln⁡(1+x)y = -\ln (1 + \sqrt{x})
D.
y=−ln⁡(1−x)y = -\ln (1 - \sqrt{x})

2006 · 辽宁 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★★☆☆
函数 y=ln⁡(x+x2+1)y = \ln \left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) 的反函数是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设原函数的函数值为 yy，则 ey=x+x2+1\mathrm{e}^y=x+\sqrt{x^2+1}. 由于 (x+x2+1)(x2+1−x)=1(x+\sqrt{x^2+1})(\sqrt{x^2+1}-x)=1，有 e−y=x2+1−x\mathrm{e}^{-y}=\sqrt{x^2+1}-x. 两式相减得 2x=ey−e−y2x=\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}，即 x=ey−e−y2x=\dfrac{\mathrm{e}^y-\mathrm{e}^{-y}}2. 交换 xx，yy，反函数为 y=ex−e−x2y=\dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}2，选 C. \end{solution}
A.
y=ex+e−x2y = \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2}
B.
y=−ex+e−x2y = -\frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2}
C.
y=ex−e−x2y = \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2}
D.
y=−ex−e−x2y = -\frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2}

2005 · 辽宁 · 第 5 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★★☆☆
若 log⁡2a1+a21+a<0\log_{2a}\frac{1 + a^2}{1 + a} < 0，则 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 对数有意义要求 a>0a>0 且 2a≠12a\ne1. 当 a>12a>\frac12 时，底数 2a>12a>1，要使对数小于零，必须有 0<1+a21+a<10<\dfrac{1+a^2}{1+a}<1. 因 a>0a>0，前一个不等式自动成立；后一个不等式等价于 a2<aa^2<a，即 0<a<10<a<1. 因而得到 12<a<1\frac12<a<1.
当 0<a<120<a<\frac12 时，0<2a<10<2a<1，对数小于零要求真数大于 11，即 a2>aa^2>a，这与 0<a<120<a<\frac12 矛盾. 故取值范围为 (12,1)\left(\frac12,1\right)，选 C. \end{solution}
A.
(12,+∞)\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)
B.
(1,+∞)(1, +\infty)
C.
(12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right)
D.
(0,12)\left(0, \frac{1}{2}\right)

2005 · 辽宁 · 第 6 题 · 选择题

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