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085分指数函数与对数函数★★★☆☆
若实数 xx，yy，zz 满足 2+log⁡2x=3+log⁡3y=5+log⁡5z2 + \log_2 x = 3 + \log_3 y = 5 + \log_5 z，则 xx，yy，zz 的大小关系不可能是（ ）
A.
x>y>zx > y > z
B.
x>z>yx > z > y
C.
y>x>zy > x > z
D.
y>z>xy > z > x

2025 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 (x1,y1)(x_1,y_1)，(x2,y2)(x_2,y_2) 是函数 y=2xy=2^x 的图象上两个不同的点，则（ ）
A.
log⁡2y1+y22<x1+x22\log_2 \frac{y_1+y_2}{2}<\frac{x_1+x_2}{2}
B.
log⁡2y1+y22>x1+x22\log_2 \frac{y_1+y_2}{2}>\frac{x_1+x_2}{2}
C.
log⁡2y1+y22<x1+x2\log_2 \frac{y_1+y_2}{2}<x_1+x_2
D.
log⁡2y1+y22>x1+x2\log_2 \frac{y_1+y_2}{2}>x_1+x_2

2024 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=e−(x−1)2f(x)=\mathrm{e}^{-\left(x-1\right)^2}. 记 a=f(22)a=f\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)，b=f(32)b=f\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)，c=f(62)c=f\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right)，则（ ）
A.
b>c>ab>c>a
B.
b>a>cb>a>c
C.
c>b>ac>b>a
D.
c>a>bc>a>b

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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075分指数函数与对数函数★★★☆☆
若 a=log⁡52a=\log_5 2，b=log⁡83b=\log_8 3，c=12c=\frac12，则下列判断正确的是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
c<b<ac<b<a
B.
b<a<cb<a<c
C.
a<c<ba<c<b
D.
a<b<ca<b<c

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★★☆☆
下列函数中最小值为 44 的是（ ）
A.
y=x2+2x+4y=x^2+2x+4
B.
y=∣sin⁡x∣+4∣sin⁡x∣y=|\sin x|+\dfrac{4}{|\sin x|}
C.
y=2x+22−xy=2^x+2^{2-x}
D.
y=ln⁡x+4ln⁡xy=\ln x+\dfrac{4}{\ln x}

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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075分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=lg⁡(x2−4x−5)f(x)=\lg(x^2-4x-5) 在 (a,+∞)(a,+\infty) 单调递增，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,−1](-\infty,-1]
B.
(−∞,2](-\infty,2]
C.
[2,+∞)[2,+\infty)
D.
[5,+∞)[5,+\infty)

2020 · 全国 · 新高考二卷 · 第 7 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★★★☆☆
若 2x−2y<3−x−3−y2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}，则（ ）
A.
ln⁡(y−x+1)>0\ln \left( y-x+1 \right)>0
B.
ln⁡(y−x+1)<0\ln \left( y-x+1 \right)<0
C.
ln⁡∣x−y∣>0\ln \left| x-y \right|>0
D.
ln⁡∣x−y∣<0\ln \left| x-y \right|<0

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★★☆☆
Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域. 有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)I(t)（tt 的单位：天）的 Logistic 模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)I(t)=\dfrac{K}{1+\mathrm{e}^{-0.23(t-53)}}，其中 KK 为最大确诊病例数. 当 I(t∗)=0.95KI(t^*)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t∗t^* 约为（ ）（ln⁡19≈3\ln19\approx3）
A.
6060
B.
6363
C.
6666
D.
6969

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★★☆☆
Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域. 有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)I(t)（tt 的单位：天）的 Logistic 模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)I(t)=\dfrac{K}{1+\mathrm{e}^{-0.23(t-53)}}，其中 KK 为最大确诊病例数. 当 I(t∗)=0.95KI(t^*)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t∗t^* 约为（ ）（ln⁡19≈3\ln 19\approx 3）
A.
6060
B.
6363
C.
6666
D.
6969

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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10指数函数与对数函数★★★☆☆
设 a=log⁡32a=\log_3 2，b=log⁡53b=\log_5 3，c=23c=\dfrac{2}{3}，则（ ）
A.
a<c<ba<c<b
B.
a<b<ca<b<c
C.
b<c<ab<c<a
D.
c<a<bc<a<b

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义域为 R\mathbf{R} 的偶函数，且在 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递减，则（ ）
A.
f ⁣(log⁡314)>f ⁣(2−32)>f ⁣(2−23)f\!\left(\log_3\frac14\right)>f\!\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\!\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)
B.
f ⁣(log⁡314)>f ⁣(2−23)>f ⁣(2−32)f\!\left(\log_3\frac14\right)>f\!\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\!\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)
C.
f ⁣(2−32)>f ⁣(2−23)>f ⁣(log⁡314)f\!\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\!\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\!\left(\log_3\frac14\right)
D.
f ⁣(2−23)>f ⁣(2−32)>f ⁣(log⁡314)f\!\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)>f\!\left(2^{-\frac{3}{2}}\right)>f\!\left(\log_3\frac14\right)

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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16解析几何★★★☆☆
以 (a1,0)(a_1,0)，(a2,0)(a_2,0) 为圆心的两圆均过 (1,0)(1,0)，与 yy 轴正半轴分别交于 (0,y1)(0,y_1)，(0,y2)(0,y_2)，且满足 ln⁡y1+ln⁡y2=0\ln y_1+\ln y_2=0，则点 (1a1,1a2)\left(\dfrac1{a_1},\dfrac1{a_2}\right) 的轨迹是
A.
直线
B.
圆
C.
椭圆
D.
双曲线

2019 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★★☆☆
在同一直角坐标系中，函数 y=1axy=\dfrac{1}{a^x}，y=log⁡a ⁣(x+12)y=\log_a\!\left(x+\dfrac12\right)（a>0a>0 且 a≠1a\neq1）图象可能是（ ）
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]img/2019/zhejiang/q6choicea.png\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/zhejiang/q6_choice_a.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]img/2019/zhejiang/q6choiceb.png\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/zhejiang/q6_choice_b.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]img/2019/zhejiang/q6choicec.png\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/zhejiang/q6_choice_c.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]img/2019/zhejiang/q6choiced.png\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/zhejiang/q6_choice_d.png}

2019 · 浙江 · 第 6 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 a=log⁡2ea=\log_2\mathrm{e}，b=ln⁡2b=\ln2，c=log⁡1213c=\log_{\frac12}\dfrac13，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
a>b>ca>b>c
B.
b>a>cb>a>c
C.
c>b>ac>b>a
D.
c>a>bc>a>b

2018 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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11指数函数与对数函数★★★☆☆
设 xx，yy，zz 为正数，且 2x=3y=5z2^x=3^y=5^z，则（ ）
A.
2x<3y<5z2x<3y<5z
B.
5z<2x<3y5z<2x<3y
C.
3y<5z<2x3y<5z<2x
D.
3y<2x<5z3y<2x<5z

2017 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★☆☆
已知奇函数 f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上是增函数，g(x)=xf(x)g(x)=xf(x). 若 a=g(−log⁡25.1)a=g(-\log_2 5.1)，b=g(20.8)b=g(2^{0.8})，c=g(3)c=g(3)，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
c<b<ac<b<a
C.
b<a<cb<a<c
D.
b<c<ab<c<a

2017 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★★☆☆
已知奇函数 f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上是增函数. 若 a=−f ⁣(log⁡215)a=-f\!\left(\log_2\dfrac15\right)，b=f(log⁡24.1)b=f(\log_2 4.1)，c=f(20.8)c=f(2^{0.8})，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
b<a<cb<a<c
C.
c<b<ac<b<a
D.
c<a<bc<a<b

2017 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
若 a>b>0a>b>0，且 ab=1ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A.
a+1b<b2a<log⁡2(a+b)a+\dfrac1b<\dfrac{b}{2a}<\log_2(a+b)
B.
b2a<log⁡2(a+b)<a+1b\dfrac{b}{2a}<\log_2(a+b)<a+\dfrac1b
C.
a+1b<log⁡2(a+b)<b2aa+\dfrac1b<\log_2(a+b)<\dfrac{b}{2a}
D.
log⁡2(a+b)<a+1b<b2a\log_2(a+b)<a+\dfrac1b<\dfrac{b}{2a}

2017 · 山东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10指数函数与对数函数★★★☆☆
若函数 exf(x)\mathrm{e}^x f(x)（e=2.71828…\mathrm{e}=2.71828\ldots 是自然对数的底数）在 f(x)f(x) 的定义域上单调递增，则称函数 f(x)f(x) 具有 MM 性质. 下列函数中具有 MM 性质的是（ ）
A.
f(x)=2−xf(x)=2^{-x}
B.
f(x)=x2f(x)=x^2
C.
f(x)=3−xf(x)=3^{-x}
D.
f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x

2017 · 山东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★★★☆☆
若 a>b>1a>b>1，0<c<10<c<1，则（ ）
A.
ac<bca^c<b^c
B.
abc<bacab^c<ba^c
C.
alog⁡bc<blog⁡aca\log_b c<b\log_a c
D.
log⁡ac<log⁡bc\log_a c<\log_b c

2016 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，且在区间 (−∞,0)\left( -\infty,0 \right) 上单调递增，若实数 aa 满足 f(2∣a−1∣)>f(−2)f\left( 2^{|a-1|} \right)>f\left( -\sqrt2 \right)，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,12)\left( -\infty,\frac12 \right)
B.
(−∞,12)∪(32,+∞)\left( -\infty,\frac12 \right)\cup\left( \frac32,+\infty \right)
C.
(12,32)\left( \frac12,\frac32 \right)
D.
(32,+∞)\left( \frac32,+\infty \right)

2016 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：f(x)≥∣x∣f(x)\ge |x| 且 f(x)≥2xf(x)\ge 2^x，x∈Rx\in\mathbf{R}. 则（ ）
A.
若 f(a)≤∣b∣f(a)\le |b|，则 a≤ba\le b
B.
若 f(a)≤2bf(a)\le 2^b，则 a≤ba\le b
C.
若 f(a)≥∣b∣f(a)\ge |b|，则 a≥ba\ge b
D.
若 f(a)≥2bf(a)\ge 2^b，则 a≥ba\ge b

2016 · 浙江 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
设函数 y=f(x)y = f(x) 的图象与 y=2x+ay = 2^{x + a} 的图象关于直线 y=−xy = -x 对称，且 f(−2)+f(−4)=1f(-2) + f(-4) = 1，则 a=a =（ ）
A.
−1-1
B.
11
C.
22
D.
44

2015 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
如图，函数 f(x)f(x) 的图象为折线 ACBACB，则不等式 f(x)⩾log⁡2(x+1)f(x) \geqslant \log_2(x + 1) 的解集是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由图可知，折线 ACBACB 的端点横坐标为 −1-1、22，且 C=(0,2)C=(0,2). 当 −1<x⩽0-1<x\leqslant0 时，f(x)=2x+2=2(x+1)>0f(x)=2x+2=2(x+1)>0，而 0<x+1⩽10<x+1\leqslant1 时 log⁡2(x+1)⩽0\log_2(x+1)\leqslant0，所以不等式成立.
当 0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1 时，f(x)=2−x⩾1f(x)=2-x\geqslant1，且 1⩽x+1⩽21\leqslant x+1\leqslant2，故 log⁡2(x+1)⩽1\log_2(x+1)\leqslant1，不等式仍成立. 当 1<x⩽21<x\leqslant2 时，f(x)=2−x<1f(x)=2-x<1，而 log⁡2(x+1)>1\log_2(x+1)>1，不等式不成立. 另外，x=−1x=-1 不在对数函数定义域内，因此解集为 {x∣−1<x⩽1}\{x\mid-1<x\leqslant1\}，故选 C. \end{solution}
A.
{x∣−1<x≤0}\{x\mid-1<x\leq0\}
B.
{x∣−1⩽x⩽1}\{x\mid -1\leqslant x\leqslant 1\}
C.
{x∣−1<x⩽1}\{x\mid -1 < x\leqslant 1\}
D.
{x∣−1<x⩽2}\{x\mid -1 < x\leqslant 2\}

2015 · 北京 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
已知定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)=2∣x−m∣−1f(x) = 2^{|x - m|} - 1 （mm 为实数）为偶函数，记 a=f(log⁡0.53)a = f(\log_{0.5} 3)，b=f(log⁡25)b = f(\log_{2} 5)，c=f(2m)c = f(2m)，则 aa，bb，cc 的大小关系为（ ）
A.
a<b<ca < b < c
B.
a<c<ba < c < b
C.
c<a<bc < a < b
D.
c<b<ac < b < a

2015 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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