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18指数函数与对数函数★★★☆☆
若 f(x)=log⁡axf(x)=\log_a x（a>0a>0，a≠1a\ne 1）.
(1) y=f(x)y=f(x) 过 (4,2)(4,2)，求 f(2x−2)<f(x)f(2x-2)<f(x) 的解集； (2) 存在 xx 使得 f(x+1)f(x+1)，f(ax)f(ax)，f(x+2)f(x+2) 成等差数列，求 aa 的取值范围.

2024 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量 v=f(x)=qxv=f(x)=\frac{q}{x}，其中 xx 为道路密度，qq 为车辆密度，且 f(x)=100−135(13)80xf(x)=100-135\left(\frac13\right)^{\frac{80}{x}}（0<x<400<x<40）， f(x)=−k(x−40)+85f(x)=-k(x-40)+85（40≤x≤8040\le x\le80）.
(1) 若交通流量 v>95v>95，求道路密度 xx 的取值范围； (2) 已知道路密度 x=80x=80 时，测得交通流量 v=50v=50，求车辆密度 qq 的最大值.

2020 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是各项均为正数的等比数列，a1=2a_1=2，a3=2a2+16a_3=2a_2+16.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=log⁡2anb_n=\log_2 a_n，求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
SnS_n 为等差数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，且 a1=1a_1=1，S7=28S_7=28，记 bn=[lg⁡an]b_n=[\lg a_n]，其中 [x][x] 表示不超过 xx 的最大整数，如 [0.9]=0[0.9]=0，[lg⁡99]=1[\lg99]=1.
(1) 求 b1b_1，b11b_{11}，b101b_{101}； (2) 求数列 {bn}\{b_n\} 的前 10001000 项和.

2016 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★☆☆
设常数 a⩾0a \geqslant 0，函数 f(x)=2x+a2x−af(x) = \frac{2^x + a}{2^x - a}.
(1) 若 a=4a = 4，求函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)； (2) 根据 aa 的不同取值，讨论函数 y=f(x)y = f(x) 的奇偶性，并说明理由.

2014 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★☆☆
π\pi 为圆周率，e=2.71828⋯\mathrm{e} = 2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 求函数 f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x} 的单调区间； (2) 求 e3\mathrm{e}^{3}，3e3^{\mathrm{e}}，eπ\mathrm{e}^{\pi}，πe\pi^{\mathrm{e}}，3π3^{\pi}，π3\pi^{3} 这 6 个数中的最大数与最小数.

2014 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=lg⁡(x+1)f(x) = \lg (x + 1).
(1) 若 0<f(1−2x)−f(x)<10 < f(1 - 2x) - f(x) < 1，求 xx 的取值范围； (2) 若 g(x)g(x) 是以 2 为周期的偶函数，且当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，有 g(x)=f(x)g(x) = f(x)，求函数 y=g(x)y = g(x) （x∈[1,2]x \in [1, 2]） 的反函数.

2012 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=lg⁡(x+1)f(x) = \lg (x + 1).
(1) 若 0<f(1−2x)−f(x)<10 < f(1 - 2x) - f(x) < 1，求 xx 的取值范围； (2) 若 g(x)g(x) 是以 22 为周期的偶函数，且当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，有 g(x)=f(x)g(x) = f(x)，求函数 y=g(x)y = g(x) （x∈[1,2]x \in [1,2]） 的反函数.

2012 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
等比数列 {an}\{a_{n}\} 的各项均为正数，且 2a1+3a2=12a_{1} + 3a_{2} = 1，a32=9a2a6a_{3}^{2} = 9a_{2}a_{6}.
(1) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=log⁡3a1+log⁡3a2+⋯+log⁡3anb_{n} = \log_{3}a_{1} + \log_{3}a_{2} + \cdots + \log_{3}a_{n}，求数列 {1bn}\left\{\frac{1}{b_{n}}\right\} 的前 nn 项和.

2011 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=a⋅2x+b⋅3xf(x) = a \cdot 2^{x} + b \cdot 3^{x}，其中常数 aa，bb 满足 a⋅b≠0a \cdot b \neq 0.
(1) 若 a⋅b>0a \cdot b > 0，判断函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 a⋅b<0a \cdot b < 0，求 f(x+1)>f(x)f(x+1) > f(x) 时的 xx 的取值范围.

2011 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=a⋅2x+b⋅3xf(x) = a \cdot 2^{x} + b \cdot 3^{x}，其中常数 aa，bb 满足 a⋅b≠0a \cdot b \neq 0.
(1) 若 a⋅b>0a \cdot b > 0，判断函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 a⋅b<0a \cdot b < 0，求 f(x+1)>f(x)f(x + 1) > f(x) 时的 xx 的取值范围.

2011 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，化简：lg⁡(cos⁡x⋅tan⁡x+1−2sin⁡2x2)+lg⁡[2cos⁡(x−π4)]−lg⁡(1+sin⁡2x)\lg\left(\cos x \cdot \tan x + 1 - 2\sin^2\frac{x}{2}\right) + \lg\left[\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right] - \lg(1 + \sin 2x).

2010 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=log⁡a(8−2x)f(x)=\log_a(8-2^x)（a>0a>0，且 a≠1a\ne1）.
(1) 若函数 f(x)f(x) 的反函数是其本身，求 aa 的值； (2) 当 a>1a>1 时，求函数 y=f(x)+f(−x)y=f(x)+f(-x) 的最大值.

2010 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★☆☆
有时可用函数
f(x)={0.1+15ln⁡aa−x,x⩽6,x−4.4x−4,x>6,f(x) = \begin{cases} 0.1 + 15 \ln \frac{a}{a - x}, & x \leqslant 6,\\ \frac{x - 4.4}{x - 4}, & x > 6, \end{cases}
描述学习某学科知识的掌握程度，其中 xx 表示某学科知识的学习次数（x∈N∗x \in \mathbf{N}^*），f(x)f(x) 表示对该学科知识的掌握程度，正实数 aa 与学科知识有关.
(1) 证明：当 x⩾7x \geqslant 7 时，掌握程度的增加量 f(x+1)−f(x)f(x + 1) - f(x) 总是下降； (2) 根据经验，学科甲，乙，丙对应的 aa 的取值范围分别为 (115,121](115, 121]，(121,127](121, 127]，(121,133](121, 133]. 当学习某学科知识 66 次时，掌握程度是 85%85\%，请确定相应的学科.

2009 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=log⁡2(2x+1)f(x)=\log_2\left(2^x+1\right).
(1) 求证：函数 f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 内单调递增； (2) 记 f−1(x)f^{-1}(x) 为函数 f(x)f(x) 的反函数. 若关于 xx 的方程 f−1(x)=m+f(x)f^{-1}(x)=m+f(x) 在 [1,2][1,2] 上有解，求 mm 的取值范围.

2008 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=1xln⁡xf(x) = \frac{1}{x \ln x}（x>0x > 0 且 x≠1x \neq 1）.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 已知 21x>xa2^{\frac{1}{x}} > x^{a} 对任意 x∈(0,1)x \in (0,1) 成立，求实数 aa 的取值范围.

2008 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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17函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={cx+1,0<x<c,2−xc2+k,c⩽x<1,f(x)=\begin{cases} cx + 1, & 0 < x < c,\\ 2^{-\frac{x}{c^{2}}} + k, & c \leqslant x < 1, \end{cases}
在区间 (0,1)(0,1) 内连续，且 f(c2)=98f(c^{2}) = \frac{9}{8}.
(1) 求实数 kk 和 cc 的值； (2) 解不等式 f(x)>28+1f(x) > \frac{\sqrt{2}}{8} + 1.

2007 · 江西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={cx+1,0<x<c,2−xc2+1,c⩽x<1,f(x)=\begin{cases} cx+1,&0<x<c,\\ 2^{-\frac{x}{c^{2}}}+1,&c\leqslant x<1, \end{cases}
在区间 (0,1)(0,1) 内连续，且 f(c2)=98f(c^{2})=\frac{9}{8}.
(1) 求常数 cc 的值； (2) 解不等式 f(x)>28+1f(x) > \frac{\sqrt{2}}{8} + 1.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 f(c2)f(c^2) 有意义且定义域为 (0,1)(0,1)，得 c2∈(0,1)c^2\in(0,1). 若 −1<c<0-1<c<0，则 c<c2<1c<c^2<1，由第二段可得 f(c2)=2−c2c2+1=32≠98f(c^2)=2^{-\frac{c^2}{c^2}}+1=\frac{3}{2}\ne\frac{9}{8}，所以 0<c<10<c<1. 因此 c2<cc^2<c，从而 f(c2)=c⋅c2+1=c3+1=98f(c^2)=c\cdot c^2+1=c^3+1=\frac{9}{8}，解得 c=12c=\frac{1}{2}. 此时在分界点 x=cx=c 处，左侧极限为 c2+1=54c^2+1=\frac{5}{4}，右侧函数值为 2−1c+1=542^{-\frac{1}{c}}+1=\frac{5}{4}，两者相等，确实满足连续性条件.
\item 当 c=12c=\frac{1}{2} 时，不等式为 f(x)>1+28f(x)>1+\frac{\sqrt{2}}{8}. 当 0<x<120<x<\frac{1}{2} 时，f(x)=x2+1f(x)=\frac{x}{2}+1，所以 x2+1>1+28⟺x>24\frac{x}{2}+1>1+\frac{\sqrt{2}}{8}\Longleftrightarrow x>\frac{\sqrt{2}}{4}，得到 24<x<12\frac{\sqrt{2}}{4}<x<\frac{1}{2}. 当 12⩽x<1\frac{1}{2}\leqslant x<1 时，f(x)=2−4x+1f(x)=2^{-4x}+1，且 28=2−52\frac{\sqrt{2}}{8}=2^{-\frac{5}{2}}，所以 2−4x>2−52⟺x<582^{-4x}>2^{-\frac{5}{2}}\Longleftrightarrow x<\frac{5}{8}，得到 12⩽x<58\frac{1}{2}\leqslant x<\frac{5}{8}. 合并两段，原不等式的解集为 (24,58)\left(\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{5}{8}\right). \end{enumerate} \end{solution}

2007 · 江西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
已知 {an}\left\{a_{n}\right\} 是各项均为正数的等差数列，lg⁡a1\lg a_{1}，lg⁡a2\lg a_{2}，lg⁡a4\lg a_{4} 成等差数列. 又 bn=1a2nb_{n} = \frac{1}{a_{2^{n}}}，n=1n = 1，22，33，⋯\cdots.
(1) 证明 {bn}\left\{b_{n}\right\} 为等比数列； (2) 如果数列 {bn}\{b_n\} 前 33 项的和等于 724\frac{7}{24}，求数列 {an}\{a_n\} 的首项 a1a_1 和公差 dd.

2005 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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15指数函数与对数函数★★★☆☆
当 0<a<10<a<1 时，解关于 xx 的不等式：a2x−1<ax−2a^{\sqrt{2x-1}}<a^{x-2}.

2004 · 北京 · 春季 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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17不等式★★★☆☆
解关于 xx 的不等式：log⁡a3x<3log⁡ax\log_a^3x<3\log_ax（a>0a>0，a≠1a\ne1）.

2004 · 安徽 · 春季 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17不等式★★★☆☆
解关于 xx 的不等式：log⁡a2x<2log⁡ax\log_a^2x<2\log_{a}x（a>0a>0，a≠1a\neq1）.

2004 · 安徽 · 春季 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17指数函数与对数函数★★★☆☆
解不等式：log⁡12(x2−x−2)>log⁡12(x−1)−1\log_{\frac12}(x^{2}-x-2)>\log_{\frac12}(x-1)-1.

2003 · 京蒙皖 · 春季 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 c>0c > 0，设 PP：函数 y=cxy = c^{x} 在 R\mathbf{R} 上单调递减，QQ：不等式 x+∣x−2c∣>1x + |x - 2c| > 1 的解集为 R\mathbf{R}. 如果 PP 和 QQ 有且仅有一个正确，求 cc 的取值范围.
\begin{solution} 函数 y=cxy=c^{x} 在 R\mathbf{R} 上单调递减的充要条件是 0<c<10<c<1，所以命题 PP 在此条件下正确.
对命题 QQ，当 x<2cx<2c 时，x+∣x−2c∣=2cx+|x-2c|=2c；当 x≥2cx\geq2c 时，x+∣x−2c∣=2x−2c≥2cx+|x-2c|=2x-2c\geq2c. 因而不等式对一切 x∈Rx\in\mathbf{R} 成立的充要条件是 2c>12c>1，即 c>12c>\frac{1}{2}，所以命题 QQ 在此条件下正确.
当 0<c≤120<c\leq\frac{1}{2} 时，PP 正确而 QQ 错误；当 c≥1c\geq1 时，PP 错误而 QQ 正确. 因此 c∈(0,12]∪[1,+∞)c\in\left(0,\frac{1}{2}\right]\cup[1,+\infty). \end{solution}

2003 · 河南 · 第 20 题 · 解答题

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19指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 c>0c > 0，设 PP：函数 y=cxy = c^{x} 在 R\mathbf{R} 上单调递减；QQ：不等式 x+∣x−2c∣>1x + |x - 2c| > 1 的解集为 R\mathbf{R}. 如果 PP 和 QQ 有且仅有一个正确，求 cc 的取值范围.

2003 · 粤桂 · 第 19 题 · 解答题

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