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16集合与逻辑基础★★★☆☆
命题 pp：存在 a∈Ra\in\mathbf{R} 且 a≠0a\neq0，对于任意的 x∈Rx\in\mathbf{R}，使得 f(x+a)<f(x)+f(a)f(x+a)<f(x)+f(a)；
命题 q1q_1：f(x)f(x) 单调递减且 f(x)>0f(x)>0 恒成立；
命题 q2q_2：f(x)f(x) 单调递增，存在 x0<0x_0<0 使得 f(x0)=0f(x_0)=0，
则下列说法正确的是（ ）
A.
只有 q1q_1 是 pp 的充分条件
B.
只有 q2q_2 是 pp 的充分条件
C.
q1q_1，q2q_2 都是 pp 的充分条件
D.
q1q_1，q2q_2 都不是 pp 的充分条件

2020 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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19函数与初等函数★★★☆☆
在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量 v=f(x)=qxv=f(x)=\frac{q}{x}，其中 xx 为道路密度，qq 为车辆密度，且 f(x)=100−135(13)80xf(x)=100-135\left(\frac13\right)^{\frac{80}{x}}（0<x<400<x<40）， f(x)=−k(x−40)+85f(x)=-k(x-40)+85（40≤x≤8040\le x\le80）.
(1) 若交通流量 v>95v>95，求道路密度 xx 的取值范围； (2) 已知道路密度 x=80x=80 时，测得交通流量 v=50v=50，求车辆密度 qq 的最大值.

2020 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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07导数及其应用★★★☆☆
若 xx，y∈R+y\in\mathbf{R}^+，且 1x+2y=3\frac1x+2y=3，则 yx\frac yx 的最大值为______.

2019 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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18函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)=ax+1x+1f(x)=ax+\frac1{x+1}（a∈Ra\in\mathbf{R}）.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)+1<f(x+1)f(x)+1<f(x+1) 的解集； (2) 若 x∈[1,2]x\in[1,2] 时，f(x)f(x) 有零点，求 aa 的范围.

2019 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
设常数 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=asin⁡2x+2cos⁡2xf(x)=a\sin2x+2\cos^2x.
(1) 若 f(x)f(x) 为偶函数，求 aa 的值； (2) 若 f(π4)=3+1f\left(\frac\pi4\right)=\sqrt3+1，求方程 f(x)=1−2f(x)=1-\sqrt2 在区间 [−π,π][-\pi,\pi] 上的解.

2018 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时. 某地上班族 SS 中的成员仅以自驾或公交方式通勤. 分析显示：当 SS 中 x%x\%（0<x<1000<x<100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间 f(x)f(x)（单位：分钟）为
f(x)={30,0<x≤30,2x+1800x−90,30<x<100f(x)=\begin{cases} 30, & 0<x\le30,\\ 2x+\frac{1800}{x}-90, & 30<x<100 \end{cases}
而公交群体的人均通勤时间不受 xx 影响，恒为 4040 分钟. 试根据上述分析结果回答下列问题：
(1) 当 xx 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2) 求该地上班族 SS 的人均通勤时间 g(x)g(x) 的表达式；讨论 g(x)g(x) 的单调性，并说明其实际意义.

2018 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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08函数与初等函数★★★☆☆
定义在 (0,+∞)(0,+\infty) 上的函数 y=f(x)y=f(x) 的反函数为 y=f−1(x)y=f^{-1}(x). 若
g(x)={3x−1,x≤0,f(x),x>0,g(x)=\begin{cases} 3^x-1,&x\le 0,\\ f(x),&x>0, \end{cases}
为奇函数，则 f−1(x)=2f^{-1}(x)=2 的解为______.

2017 · 上海 · 第 8 题 · 填空题

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09概率与统计★★★☆☆
已知四个函数：
① y=−xy=-x； ② y=−1xy=-\dfrac1x； ③ y=x3y=x^3； ④ y=x12y=x^{\frac12}.
从中任选 22 个，则事件“所选 22 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为______.

2017 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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19数列★★★☆☆
根据预测，某地第 nn（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 ana_n 和 bnb_n（单位：辆），其中
an={5n4+15,1≤n≤3,−10n+470,n≥4,bn=n+5a_n=\begin{cases} 5n^4+15,&1\le n\le 3,\\ -10n+470,&n\ge4, \end{cases}\quad b_n=n+5
，第 nn 个月底的共享单车的保有量是前 nn 个月的累计投放量与累计损失量的差.
(1) 求该地区第 44 个月底的共享单车的保有量； (2) 已知该地共享单车停放点第 nn 个月底的单车容纳量 Sn=−4(n−46)2+8800S_n=-4(n-46)^2+8800（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

2017 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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10函数与初等函数★★★☆☆
设 f−1(x)f^{-1}(x) 为 f(x)=2x−2+x2f(x) = 2^{x - 2} + \frac{x}{2}，x∈[0,2]x \in [0,2] 的反函数，则 y=f(x)+f−1(x)y = f(x) + f^{-1}(x) 的最大值为______.

2015 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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20函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax2+1xf(x) = ax^2 + \frac{1}{x}，其中 aa 为常数.
(1) 根据 aa 的不同取值，判断函数 f(x)f(x) 的奇偶性，并说明理由； (2) 若 a∈(1,3)a \in (1,3)，判断函数 f(x)f(x) 在 [1,2][1,2] 上的单调性，并说明理由.

2015 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★☆☆
如图，OO，PP，QQ 三地有直道相通，OP=3 千米OP = 3\text{ 千米}，PQ=4 千米PQ = 4\text{ 千米}，OQ=5 千米OQ = 5\text{ 千米}. 现甲，乙两警员同时从 OO 地出发匀速前往 QQ 地. 经过 tt 小时，他们之间的距离为 f(t)f(t)（单位：千米）. 甲的路线是 OQOQ，速度为 5 千米/小时5\text{ 千米/小时}，乙的路线是 OPQOPQ，速度为 8 千米/小时8\text{ 千米/小时}. 乙到达 QQ 地后在原地等待. 设 t=t1t = t_1 时，乙到达 PP 地；t=t2t = t_2 时，乙到达 QQ 地.
(1) 求 t1t_{1} 与 f(t1)f(t_{1}) 的值； (2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米. 当 t1⩽t⩽t2t_1 \leqslant t \leqslant t_2 时，求 f(t)f(t) 的表达式，并判断 f(t)f(t) 在 [t1,t2][t_1, t_2] 上的最大值是否超过 3？ 说明理由.

2015 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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18函数与初等函数★★★☆☆
设
f(x)={(x−a)2,x⩽0,x+1x+a,x>0,f(x) = \begin{cases} (x - a)^2, & x \leqslant 0,\\ x + \frac{1}{x} + a, & x > 0, \end{cases}
若 f(0)f(0) 是 f(x)f(x) 的最小值，则 aa 的取值范围为（ ）
A.
[−1,2][-1, 2]
B.
[−1,0][-1,0]
C.
[1,2][1, 2]
D.
[0,2][0,2]

2014 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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20函数与初等函数★★★☆☆
设常数 a⩾0a \geqslant 0，函数 f(x)=2x+a2x−af(x) = \frac{2^x + a}{2^x - a}.
(1) 若 a=4a = 4，求函数 y=f(x)y = f(x) 的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)； (2) 根据 aa 的不同取值，讨论函数 y=f(x)y = f(x) 的奇偶性，并说明理由.

2014 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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09函数与初等函数★★★☆☆
设
f(x)={(x−a)2,x⩽0,x+1x+a,x>0,f(x) = \begin{cases} (x - a)^2, & x \leqslant 0,\\ x + \frac{1}{x} + a, & x > 0, \end{cases}
若 f(0)f(0) 是 f(x)f(x) 的最小值，则 aa 的取值范围为______.
\begin{answer} [0,2]\left[0,2\right] \end{answer}
\begin{solution} 有 f(0)=a2f(0)=a^2. 若 a<0a<0，则点 x=a⩽0x=a\leqslant0 属于第一段定义域，且 f(a)=0<a2=f(0)f(a)=0<a^2=f(0)，不合题意，所以必须有 a⩾0a\geqslant0. 此时对任意 x⩽0x\leqslant0，有 a−x⩾aa-x\geqslant a，从而 f(x)=(a−x)2⩾a2=f(0)f(x)=(a-x)^2\geqslant a^2=f(0). 对任意 x>0x>0，由基本不等式得 x+1x+a⩾2+ax+\dfrac1x+a\geqslant2+a，且在 x=1x=1 时取等号. 因而 f(0)f(0) 为全局最小值的充要条件是 a2⩽a+2a^2\leqslant a+2. 联立 a⩾0a\geqslant0，得 (a−2)(a+1)⩽0(a-2)(a+1)\leqslant0，所以 0⩽a⩽20\leqslant a\leqslant2. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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20导数及其应用★★★☆☆
甲厂以 xx 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 1⩽x⩽101\leqslant x\leqslant 10），每一小时可获得利润是 100(5x+1−3x)100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right) 元.
(1) 要使生产该产品 22 小时获得的利润不低于 30003000 元，求 xx 的取值范围； (2) 要使生产 900900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

2013 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
甲厂以 x 千克/小时x\text{ 千克/小时} 的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 1⩽x⩽101 \leqslant x \leqslant 10），每一小时可获得的利润是 100(5x+1−3x) 元100\left(5x + 1 - \frac{3}{x}\right)\text{ 元}.
(1) 求证：生产 a 千克a\text{ 千克} 该产品所获得的利润为 100a(5+1x−3x2) 元100a\left(5 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}\right)\text{ 元}； (2) 要使生产 900 千克900\text{ 千克} 该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 生产 a 千克a\text{ 千克} 产品需要 ax\frac{a}{x} 小时，所以所获得的利润为
ax×100(5x+1−3x)=100a(5+1x−3x2) 元\frac{a}{x}\times100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right)=100a\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)\text{ 元}
\item 当生产 900 千克900\text{ 千克} 产品时，利润函数为 P(x)=90000(5+1x−3x2)P(x)=90000\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)，1⩽x⩽101\leqslant x\leqslant10. 其导数为
P′(x)=90000(−1x2+6x3)=90000(6−x)x3P'(x)=90000\left(-\frac{1}{x^2}+\frac{6}{x^3}\right)=\frac{90000(6-x)}{x^3}
由于 x>0x>0，当 1⩽x<61\leqslant x<6 时 P′(x)>0P'(x)>0，当 6<x⩽106<x\leqslant10 时 P′(x)<0P'(x)<0，所以 P(x)P(x) 在 [1,6][1,6] 上递增，在 [6,10][6,10] 上递减，最大值在 x=6x=6 时取得. 最大利润为
P(6)=90000(5+16−336)=90000×6112=457500 元P(6)=90000\left(5+\frac{1}{6}-\frac{3}{36}\right)=90000\times\frac{61}{12}=457500\text{ 元}
因此甲厂应选择 6 千克/小时6\text{ 千克/小时} 的生产速度，最大利润为 457500 元457500\text{ 元}. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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13函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 y=f(x)y = f(x) 的图象是折线段 ABCABC，其中 A(0,0)A(0,0)，B(12,5)B\left(\frac{1}{2}, 5\right)，C(1,0)C(1,0). 函数 y=xf(x)y = xf(x)（0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1）的图象与 xx 轴围成的图形的面积为______.

2012 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=lg⁡(x+1)f(x) = \lg (x + 1).
(1) 若 0<f(1−2x)−f(x)<10 < f(1 - 2x) - f(x) < 1，求 xx 的取值范围； (2) 若 g(x)g(x) 是以 2 为周期的偶函数，且当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，有 g(x)=f(x)g(x) = f(x)，求函数 y=g(x)y = g(x) （x∈[1,2]x \in [1, 2]） 的反函数.

2012 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★☆☆
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 yy 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里1\text{ 海里} 为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里12\text{ 海里} AA 处，如图. 现假设：
① 失事船的移动路径可视为抛物线 y=1249x2y = \frac{12}{49} x^2； ② 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援； ③ 救援船出发 tt 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t7t.
(1) 当 t=0.5t = 0.5 时，写出失事船所在位置 PP 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向； (2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

2012 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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10不等式★★★☆☆
满足约束条件 ∣x∣+2∣y∣⩽2|x| + 2|y| \leqslant 2 的目标函数 z=y−xz = y - x 的最小值是______.

2012 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 y=f(x)y = f(x) 的图象是折线段 ABCABC，其中 A(0,0)A(0,0)，B(12,1)B\left(\frac{1}{2}, 1\right)，C(1,0)C(1,0). 函数 y=xf(x)y = xf(x) （0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1） 的图象与 xx 轴围成的图形的面积为______.

2012 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★★☆☆
已知 f(x)=11+xf(x) = \frac{1}{1 + x}，各项均为正数的数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_{1} = 1，an+2=f(an)a_{n + 2} = f(a_n). 若 a2010=a2012a_{2010} = a_{2012}，则 a20+a11a_{20} + a_{11} 的值是______.

2012 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=lg⁡(x+1)f(x) = \lg (x + 1).
(1) 若 0<f(1−2x)−f(x)<10 < f(1 - 2x) - f(x) < 1，求 xx 的取值范围； (2) 若 g(x)g(x) 是以 22 为周期的偶函数，且当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，有 g(x)=f(x)g(x) = f(x)，求函数 y=g(x)y = g(x) （x∈[1,2]x \in [1,2]） 的反函数.

2012 · 上海 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=a⋅2x+b⋅3xf(x) = a \cdot 2^{x} + b \cdot 3^{x}，其中常数 aa，bb 满足 a⋅b≠0a \cdot b \neq 0.
(1) 若 a⋅b>0a \cdot b > 0，判断函数 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 a⋅b<0a \cdot b < 0，求 f(x+1)>f(x)f(x+1) > f(x) 时的 xx 的取值范围.

2011 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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