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065分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=−x2−2ax−af(x)=-x^2-2ax-a（x<0x<0），f(x)=ex+ln⁡(x+1)f(x)=\mathrm{e}^x+\ln(x+1)（x≥0x\ge 0） 在 R\mathbf{R} 上单调递增，则 aa 取值范围为（ ）
A.
(−∞,0](-\infty,0]
B.
[−1,0][-1,0]
C.
[−1,1][-1,1]
D.
[0,+∞)[0,+\infty)

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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116分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(xy)=y2f(x)+x2f(y)f(xy)=y^2f(x)+x^2f(y)，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
f(1)=0f(1)=0
C.
f(x)f(x) 是偶函数
D.
x=0x=0 为 f(x)f(x) 的极小值点

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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155分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡ωx−1f(x)=\cos\omega x-1（ω>0\omega>0） 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上有且仅有 33 个零点，则 ω\omega 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\left\lvert 3x+1 \right\rvert-2\left\lvert x-1 \right\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\lvert 3x+1\rvert-2\lvert x-1\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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04函数与初等函数★★★☆☆
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5−12≈0.618\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618（称为黄金分割比例）. 著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm105\text{ cm}，头顶至脖子下端的长度为 26 cm26\text{ cm}，则其身高可能是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
165 cm165\text{ cm}
B.
175 cm175\text{ cm}
C.
185 cm185\text{ cm}
D.
190 cm190\text{ cm}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+xcos⁡x+x2f(x)=\dfrac{\sin x+x}{\cos x+x^2} 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_a.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_b.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_c.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_d.png}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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11三角函数★★★☆☆
关于函数 f(x)=sin⁡∣x∣+∣sin⁡x∣f(x)=\sin|x|+|\sin x| 有下述四个结论：
① f(x)f(x) 是偶函数； ② f(x)f(x) 在区间 (π2,π)\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) 单调递增； ③ f(x)f(x) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 有 44 个零点； ④ f(x)f(x) 的最大值为 22.
其中所有正确结论的编号是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
\circled1\circled2\circled4\circled{1}\circled{2}\circled{4}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled1\circled4\circled{1}\circled{4}
D.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★★☆☆
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}（5−12≈0.618\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx 0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm105\text{ cm}，头顶至脖子下端的长度为 26 cm26\text{ cm}，则其身高可能是（ ）
A.
165 cm165\text{ cm}
B.
175 cm175\text{ cm}
C.
185 cm185\text{ cm}
D.
190 cm190\text{ cm}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+xcos⁡x+x2f(x)=\dfrac{\sin x+x}{\cos x+x^2} 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致为（ ）
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_a.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_b.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_c.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_d.png}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={ex,x≤0,ln⁡x,x>0f(x)=\begin{cases} \mathrm{e}^x,&x\le0,\\ \ln x,&x>0 \end{cases}
，g(x)=f(x)+x+ag(x)=f(x)+x+a. 若 g(x)g(x) 存在 2 个2\text{ 个} 零点，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−1,0)[-1,0)
B.
[0,+∞)[0,+\infty)
C.
[−1,+∞)[-1,+\infty)
D.
[1,+∞)[1,+\infty)

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={2−x,x≤0,1,x>0f(x)=\begin{cases} 2^{-x},&x\le0,\\ 1,&x>0 \end{cases}
，则满足 f(x+1)<f(2x)f(x+1)<f(2x) 的 xx 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,−1](-\infty,-1]
B.
(0,+∞)(0,+\infty)
C.
(−1,0)(-1,0)
D.
(−∞,0)(-\infty,0)

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x)，g(x)g(x)，h(x)h(x) 是 R\mathbf{R} 上的任意实值函数. 如下定义两个函数 (f∘g)(x)(f \circ g)(x) 和 (f∙g)(x)(f \bullet g)(x)：对任意 x∈Rx \in \mathbf{R}，(f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x))；(f∙g)(x)=f(x)g(x)(f \bullet g)(x) = f(x)g(x)，则下列等式恒成立的是（ ）
A.
((f∘g)∙h)(x)=((f∙h)∘(g∙h))(x)\big((f\circ g)\bullet h\big)(x) = \big((f\bullet h)\circ (g\bullet h)\big)(x)
B.
((f∙g)∘h)(x)=((f∘h)∙(g∘h))(x)\big((f\bullet g)\circ h\big)(x) = \big((f\circ h)\bullet (g\circ h)\big)(x)
C.
((f∘g)∘h)(x)=((f∘h)∘(g∘h))(x)\big((f\circ g)\circ h\big)(x) = \big((f\circ h)\circ (g\circ h)\big)(x)
D.
((f∙g)∙h)(x)=((f∙h)∙(g∙h))(x)\big((f\bullet g)\bullet h\big)(x) = \big((f\bullet h)\bullet (g\bullet h)\big)(x)

2011 · 广东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
已知甲，乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶. 甲车，乙车的速度曲线分别为 v甲v_{\text{甲}} 和 v乙v_{\text{乙}}（如图所示）. 那么对于图中给定的 t0t_0 和 t1t_1，下列判断中一定正确的是（ ）
A.
在 t1t_1 时刻，甲车在乙车前面
B.
t1t_1 时刻后，甲车在乙车后面
C.
在 t0t_0 时刻，两车的位置相同
D.
t0t_0 时刻后，乙车在甲车前面

2009 · 广东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
在同一平面直角坐标系中，函数 y=f(x)y = f(x) 和 y=g(x)y = g(x) 的图象关于直线 y=xy = x 对称. 现将 y=g(x)y = g(x) 的图象沿 xx 轴向左平移 2 个单位，再沿 yy 轴向上平移 1 个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数 f(x)f(x) 的表达式为（ ）
A.
f(x)={2x+2,−1⩽x⩽0,x2+2,0<x⩽2.f(x) = \begin{cases} 2x + 2, & -1\leqslant x\leqslant 0,\\ \frac{x}{2} +2, & 0 < x\leqslant 2. \end{cases}
B.
f(x)={2x−2,−1⩽x⩽0,x2−2,0<x⩽2.f(x) = \begin{cases} 2x - 2, & -1\leqslant x\leqslant 0,\\ \frac{x}{2} -2, & 0 < x\leqslant 2. \end{cases}
C.
f(x)={2x−2,1⩽x⩽2,x2+1,2<x⩽4.f(x) = \begin{cases} 2x - 2, & 1\leqslant x\leqslant 2,\\ \frac{x}{2} +1, & 2 < x\leqslant 4. \end{cases}
D.
f(x)={2x−6,1⩽x⩽2,x2−3,2<x⩽4.f(x) = \begin{cases} 2x - 6, & 1\leqslant x\leqslant 2,\\ \frac{x}{2} -3, & 2 < x\leqslant 4. \end{cases}

2005 · 广东 · 第 9 题 · 选择题

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