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065分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=−x2−2ax−af(x)=-x^2-2ax-a（x<0x<0），f(x)=ex+ln⁡(x+1)f(x)=\mathrm{e}^x+\ln(x+1)（x≥0x\ge 0） 在 R\mathbf{R} 上单调递增，则 aa 取值范围为（ ）
A.
(−∞,0](-\infty,0]
B.
[−1,0][-1,0]
C.
[−1,1][-1,1]
D.
[0,+∞)[0,+\infty)

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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116分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(xy)=y2f(x)+x2f(y)f(xy)=y^2f(x)+x^2f(y)，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
f(1)=0f(1)=0
C.
f(x)f(x) 是偶函数
D.
x=0x=0 为 f(x)f(x) 的极小值点

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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155分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡ωx−1f(x)=\cos\omega x-1（ω>0\omega>0） 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上有且仅有 33 个零点，则 ω\omega 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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17导数及其应用★★★☆☆
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 OO 在水平线 MNMN 上，桥 ABAB 与 MNMN 平行，OO′OO' 为铅垂线（O′O' 在 ABAB 上）. 经测量，左侧曲线 AOAO 上任一点 DD 到 MNMN 的距离 h1h_1（ m\mathrm{~m}）与 DD 到 OO′OO' 的距离 aa（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h1=140a2h_1=\dfrac{1}{40}a^2；右侧曲线 BOBO 上任一点 FF 到 MNMN 的距离 h2h_2（ m\mathrm{~m}）与 FF 到 OO′OO' 的距离 bb（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h2=−1800b3+6bh_2=-\dfrac{1}{800}b^3+6b. 已知点 BB 到 OO′OO' 的距离为 40 m40\mathrm{~m}.
(1) 求桥 ABAB 的长度； (2) 计划在谷底两侧建造平行于 OO′OO' 的桥墩 CDCD 和 EFEF，且 CECE 为 80 m80\mathrm{~m}，其中 CC，EE 在 ABAB 上（不包括端点）. 桥墩 EFEF 每米造价 kk（万元），桥墩 CDCD 每米造价 32k\dfrac32k（万元）（k>0k>0）. 问 O′EO'E 为多少米时，桥墩 CDCD 与 EFEF 的总造价最低？

2020 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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11导数及其应用★★★☆☆
若函数 f(x)=2x3−ax2+1f(x)=2x^3-ax^2+1（a∈Ra\in\mathbf{R}）在 (0,+∞)(0,+\infty) 内有且只有一个零点，则 f(x)f(x) 在 [−1,1][-1,1] 上的最大值与最小值的和为______.

2018 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上且周期为 22 的函数. 在区间 [−1,1)[-1,1) 上，
f(x)={x+a,−1≤x<0,∣25−x∣,0≤x<1,f(x)= \begin{cases} x+a,&-1\le x<0,\\ \left|\dfrac25-x\right|,&0\le x<1, \end{cases}
其中 a∈Ra\in\mathbf{R}. 若 f(−52)=f(92)f\left(-\dfrac52\right)=f\left(\dfrac92\right)，则 f(5a)f(5a) 的值是______.

2016 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数. 当 x>0x>0 时，f(x)=x2−4xf(x)=x^2-4x，则不等式 f(x)>xf(x)>x 的解集用区间表示为______.

2013 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

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13函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2+ax+bf(x)=x^2+ax+b（aa，b∈Rb\in\mathbf{R}）的值域为 [0,+∞)[0,+\infty)，若关于 xx 的不等式 f(x)<cf(x)<c 的解集为 (m,m+6)(m,m+6)，则实数 cc 的值为______.

2012 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知实数 a≠0a\neq 0，函数
f(x)={2x+a,x<1,−x−2a,x⩾1.f(x)=\begin{cases} 2x+a, & x<1,\\ -x-2a, & x\geqslant 1. \end{cases}
若 f(1−a)=f(1+a)f(1-a)=f(1+a)，则 aa 的值为______.

2011 · 江苏 · 第 11 题 · 填空题

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17导数及其应用★★★☆☆
请你设计一个包装盒. 如图所示，ABCDABCD 是边长为 60 cm60\mathrm{~cm} 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 AA，BB，CC，DD 四个点重合于图中的点 PP，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，EE，FF 在 ABAB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点. 设 AE=FB=xAE=FB=x（cm\mathrm{cm}）.
(1) 若广告商要求包装盒侧面积 SS（cm2\mathrm{cm}^2）最大，试问 xx 应取何值？ (2) 若广告商要求包装盒容积 VV（cm3\mathrm{cm}^3）最大，试问 xx 应取何值？ 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

2011 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设二次函数 f(x)=x2+2x+bf(x) = x^2 + 2x + b（x∈Rx \in \mathbf{R}）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 CC.
(1) 求实数 bb 的取值范围； (2) 求圆 CC 的方程； (3) 问圆 CC 是否经过定点（其坐标与 bb 无关）？请证明你的结论.

2008 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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08函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)=lg⁡(21−x+a)f(x) = \lg \left(\frac{2}{1 - x} + a\right) 是奇函数，则使 f(x)<0f(x) < 0 的 xx 的取值范围是（ ）
A.
(−1,0)(-1, 0)
B.
(0,1)(0, 1)
C.
(−∞,0)(-\infty, 0)
D.
(−∞,0)∪(1,+∞)(-\infty, 0) \cup (1, +\infty)

2007 · 江苏 · 第 8 题 · 选择题

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16指数函数与对数函数★★★☆☆
不等式 log⁡2(x+1x+6)⩽3\log_2\left(x + \frac{1}{x} + 6\right)\leqslant 3 的解集为______.

2006 · 江苏 · 第 16 题 · 填空题

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11函数与初等函数★★★☆☆
设 k>1k > 1，f(x)=k(x−1)f(x) = k(x - 1)（x∈Rx \in \mathbf{R}）. 在平面直角坐标系 xOyxOy 中，函数 y=f(x)y = f(x) 的图象与 xx 轴交于 AA 点，它的反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 的图象与 yy 轴交于 BB 点，并且这两个函数的图象交于 PP 点. 已知四边形 OAPBOAPB 的面积是33，则 kk 等于（\quad）
A.
33
B.
32\frac{3}{2}
C.
43\frac{4}{3}
D.
65\frac{6}{5}

2004 · 江苏 · 第 11 题 · 选择题

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19不等式★★★☆☆
制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%100\% 和 50%50\%，可能的最大亏损分别为 30%30\% 和 10%10\%. 投资人计划投资金额不超过 10 万元10\text{ 万元}. 要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元1.8\text{ 万元}. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大.

2004 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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