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065分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=−x2−2ax−af(x)=-x^2-2ax-a（x<0x<0），f(x)=ex+ln⁡(x+1)f(x)=\mathrm{e}^x+\ln(x+1)（x≥0x\ge 0） 在 R\mathbf{R} 上单调递增，则 aa 取值范围为（ ）
A.
(−∞,0](-\infty,0]
B.
[−1,0][-1,0]
C.
[−1,1][-1,1]
D.
[0,+∞)[0,+\infty)

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=2∣x∣+∣x−2∣f(x)=2|x|+|x-2|.
(1) 求不等式 f(x)≤6−xf(x)\le6-x 的解集； (2) 在直角坐标系 xOyxOy 中，求由不等式 f(x)≤yf(x)\le y 与 x+y−6≤0x+y-6\le0 所确定的平面区域的面积.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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08函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=x3+ax+2f(x)=x^3+ax+2 存在 33 个零点，则 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
(−∞,−2)(-\infty,-2)
B.
(−∞,−3)(-\infty,-3)
C.
(−4,−1)(-4,-1)
D.
(−3,0)(-3,0)

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 x=3cos⁡2tx=\sqrt{3}\cos 2t，y=2sin⁡ty=2\sin t（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 ll 的极坐标方程为 ρsin⁡(θ+π3)+m=0\rho \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)+m=0.
(1) 写出 ll 的直角坐标方程； (2) 若 ll 与 C 有公共点，求 mm 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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08函数与初等函数★★★☆☆
如图是下列四个函数中的某个函数在区间 [−3,3][-3,3] 的大致图像，则该函数是（ ）
A.
y=−x3+3xx2+1y=\dfrac{-x^3+3x}{x^2+1}
B.
y=x3−xx2+1y=\dfrac{x^3-x}{x^2+1}
C.
y=2xcos⁡xx2+1y=\dfrac{2x\cos x}{x^2+1}
D.
y=2sin⁡xx2+1y=\dfrac{2\sin x}{x^2+1}

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★☆☆
若 f(x)=ln⁡∣a+11−x∣+bf(x)=\ln\left|a+\dfrac{1}{1-x}\right|+b 是奇函数，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}，b=‾b=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\left\lvert 3x+1 \right\rvert-2\left\lvert x-1 \right\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\lvert 3x+1\rvert-2\lvert x-1\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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04函数与初等函数★★★☆☆
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5−12≈0.618\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618（称为黄金分割比例）. 著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm105\text{ cm}，头顶至脖子下端的长度为 26 cm26\text{ cm}，则其身高可能是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
165 cm165\text{ cm}
B.
175 cm175\text{ cm}
C.
185 cm185\text{ cm}
D.
190 cm190\text{ cm}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+xcos⁡x+x2f(x)=\dfrac{\sin x+x}{\cos x+x^2} 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_a.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_b.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_c.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_d.png}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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11三角函数★★★☆☆
关于函数 f(x)=sin⁡∣x∣+∣sin⁡x∣f(x)=\sin|x|+|\sin x| 有下述四个结论：
① f(x)f(x) 是偶函数； ② f(x)f(x) 在区间 (π2,π)\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) 单调递增； ③ f(x)f(x) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 有 44 个零点； ④ f(x)f(x) 的最大值为 22.
其中所有正确结论的编号是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
\circled1\circled2\circled4\circled{1}\circled{2}\circled{4}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled1\circled4\circled{1}\circled{4}
D.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★★☆☆
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}（5−12≈0.618\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx 0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm105\text{ cm}，头顶至脖子下端的长度为 26 cm26\text{ cm}，则其身高可能是（ ）
A.
165 cm165\text{ cm}
B.
175 cm175\text{ cm}
C.
185 cm185\text{ cm}
D.
190 cm190\text{ cm}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+xcos⁡x+x2f(x)=\dfrac{\sin x+x}{\cos x+x^2} 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致为（ ）
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_a.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_b.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_c.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_d.png}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={ex,x≤0,ln⁡x,x>0f(x)=\begin{cases} \mathrm{e}^x,&x\le0,\\ \ln x,&x>0 \end{cases}
，g(x)=f(x)+x+ag(x)=f(x)+x+a. 若 g(x)g(x) 存在 2 个2\text{ 个} 零点，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−1,0)[-1,0)
B.
[0,+∞)[0,+\infty)
C.
[−1,+∞)[-1,+\infty)
D.
[1,+∞)[1,+\infty)

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={2−x,x≤0,1,x>0f(x)=\begin{cases} 2^{-x},&x\le0,\\ 1,&x>0 \end{cases}
，则满足 f(x+1)<f(2x)f(x+1)<f(2x) 的 xx 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,−1](-\infty,-1]
B.
(0,+∞)(0,+\infty)
C.
(−1,0)(-1,0)
D.
(−∞,0)(-\infty,0)

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
阅读如图所示程序框图，如果输出 i=4i = 4，那么在空白的判断框中应填入的条件是（ ）
A.
S<8S < 8
B.
S<9S < 9
C.
S<10S < 10
D.
S<11S < 11

2013 · 江西 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
如图，∣OA∣=2 m|OA| = 2 \mathrm{~m}，∣OB∣=1 m|OB| = 1 \mathrm{~m}，OAOA 与 OBOB 的夹角为 π6\frac{\pi}{6}，以 AA 为圆心，ABAB 为半径作圆弧 BDCBDC 与线段 OAOA 的延长线交于点 CC. 甲、乙两质点同时从点 OO 出发，甲先以速率 1 m/s1 \mathrm{~m/s} 沿线段 OBOB 行至点 BB，再以速率 3 m/s3 \mathrm{~m/s} 沿圆弧 BDCBDC 行至点 CC 后停止；乙以速率 2 m/s2 \mathrm{~m/s} 沿线段 OAOA 行至点 AA 后停止. 设 tt 时刻甲、乙两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 S(t)S(t)（S(0)=0S(0)=0），则函数 y=S(t)y = S(t) 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2012 · 江西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系 xx 轴上方，其“底端”落在原点 OO 处，一顶点及中心 MM 在 yy 轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 今使“凸轮”沿 xx 轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置. 则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上，下放置，应大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2011 · 江西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
给出下列三个命题：
① 函数 y=12ln⁡1−cos⁡x1+cos⁡xy = \frac{1}{2}\ln\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} 与 y=ln⁡tan⁡x2y = \ln \tan\frac{x}{2} 是同一函数； ② 若函数 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 的图象关于直线 y=xy = x 对称，则函数 y=f(2x)y = f(2x) 与 y=12g(x)y = \frac{1}{2}g(x) 的图象也关于直线 y=xy = x 对称； ③ 若奇函数 f(x)f(x) 对定义域内任意 xx 都有 f(x)=f(2−x)f(x) = f(2 - x)，则 f(x)f(x) 为周期函数.
其中真命题是（ ）
A.
①，②
B.
①，③
C.
②，③
D.
②

2010 · 江西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★☆☆
如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 tt 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S(t)S(t)（S(0)=0S(0)=0），则导函数 y=S′(t)y = S'(t) 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2010 · 江西 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
若函数 y=ax1+xy = \frac{ax}{1 + x} 的图象关于直线 y=xy = x 对称，则 aa 为（ ）
A.
11
B.
−1-1
C.
±1\pm 1
D.
任意实数\text{任意实数}

2010 · 江西 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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17导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=6x3+3(a+2)x2+2axf(x) = 6x^{3} + 3(a + 2)x^{2} + 2ax.
(1) 若 f(x)f(x) 的两个极值点为 x1x_{1}，x2x_{2}，且 x1x2=1x_{1}x_{2} = 1，求实数 aa 的值； (2) 是否存在实数 aa，使得 f(x)f(x) 是 (−∞,+∞)(-\infty, +\infty) 上的单调函数？若存在，求出 aa 的值；若不存在，说明理由.

2010 · 江西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=x3−92x2+6x−af(x) = x^3 - \frac{9}{2} x^2 + 6x - a.
(1) 对于任意实数 xx，f′(x)⩾mf'(x) \geqslant m 恒成立，求 mm 的最大值； (2) 若方程 f(x)=0f(x)=0 有且仅有一个实根，求 aa 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item f′(x)=3x2−9x+6=3(x−32)2−34f'(x)=3x^{2}-9x+6=3\left(x-\frac32\right)^{2}-\frac34. 因此对任意实数 xx，都有 f′(x)⩾−34f'(x)\geqslant-\frac34，且在 x=32x=\frac32 时取等号. 若 f′(x)⩾mf'(x)\geqslant m 恒成立，则 m⩽−34m\leqslant-\frac34，所以 mm 的最大值为 −34-\frac34.
\item f′(x)=3(x−1)(x−2)f'(x)=3(x-1)(x-2)，所以 f(x)f(x) 在 (−∞,1)(-\infty,1) 和 (2,+∞)(2,+\infty) 上递增，在 (1,2)(1,2) 上递减. 两个极值为 f(1)=52−af(1)=\frac52-a，f(2)=2−af(2)=2-a.
若 a<2a<2，则 f(2)>0f(2)>0，局部极小值也为正，函数只在 (−∞,1)(-\infty,1) 上有一个零点. 若 a>52a>\frac52，则 f(1)<0f(1)<0，局部极大值也为负，函数只在 (2,+∞)(2,+\infty) 上有一个零点.
当 2<a<522<a<\frac52 时，f(1)>0>f(2)f(1)>0>f(2)，三段单调区间各有一个零点；当 a=2a=2 或 a=52a=\frac52 时，极值点给出重根且另有一个零点，均不满足“有且仅有一个实根”. 因而 a<2a<2 或 a>52a>\frac52. \end{enumerate} \end{solution}

2009 · 江西 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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03函数与初等函数★★★☆☆
若函数 y=f(x)y = f(x) 的值域是 [12,3]\left[\frac{1}{2}, 3\right]，则函数 F(x)=f(x)+1f(x)F(x) = f(x) + \frac{1}{f(x)} 的值域是（ ）
A.
[12,3]\left[\frac{1}{2}, 3\right]
B.
[2,103]\left[2, \frac{10}{3}\right]
C.
[52,103]\left[\frac{5}{2}, \frac{10}{3}\right]
D.
[3,103]\left[3, \frac{10}{3}\right]

2008 · 江西 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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06三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡xsin⁡x+2sin⁡x2f(x) = \frac{\sin x}{\sin x + 2\sin \frac{x}{2}} 是（ ）
A.
以 4π4\pi 为周期的偶函数
B.
以 2π2\pi 为周期的奇函数
C.
以 2π2\pi 为周期的偶函数
D.
以 4π4\pi 为周期的奇函数

2008 · 江西 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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