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065分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=−x2−2ax−af(x)=-x^2-2ax-a（x<0x<0），f(x)=ex+ln⁡(x+1)f(x)=\mathrm{e}^x+\ln(x+1)（x≥0x\ge 0） 在 R\mathbf{R} 上单调递增，则 aa 取值范围为（ ）
A.
(−∞,0](-\infty,0]
B.
[−1,0][-1,0]
C.
[−1,1][-1,1]
D.
[0,+∞)[0,+\infty)

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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116分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(xy)=y2f(x)+x2f(y)f(xy)=y^2f(x)+x^2f(y)，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
f(1)=0f(1)=0
C.
f(x)f(x) 是偶函数
D.
x=0x=0 为 f(x)f(x) 的极小值点

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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155分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡ωx−1f(x)=\cos\omega x-1（ω>0\omega>0） 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上有且仅有 33 个零点，则 ω\omega 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\left\lvert 3x+1 \right\rvert-2\left\lvert x-1 \right\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\lvert 3x+1\rvert-2\lvert x-1\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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04函数与初等函数★★★☆☆
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5−12≈0.618\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618（称为黄金分割比例）. 著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm105\text{ cm}，头顶至脖子下端的长度为 26 cm26\text{ cm}，则其身高可能是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
165 cm165\text{ cm}
B.
175 cm175\text{ cm}
C.
185 cm185\text{ cm}
D.
190 cm190\text{ cm}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+xcos⁡x+x2f(x)=\dfrac{\sin x+x}{\cos x+x^2} 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_a.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_b.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_c.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_d.png}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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11三角函数★★★☆☆
关于函数 f(x)=sin⁡∣x∣+∣sin⁡x∣f(x)=\sin|x|+|\sin x| 有下述四个结论：
① f(x)f(x) 是偶函数； ② f(x)f(x) 在区间 (π2,π)\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) 单调递增； ③ f(x)f(x) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 有 44 个零点； ④ f(x)f(x) 的最大值为 22.
其中所有正确结论的编号是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
\circled1\circled2\circled4\circled{1}\circled{2}\circled{4}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled1\circled4\circled{1}\circled{4}
D.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★★☆☆
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}（5−12≈0.618\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx 0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm105\text{ cm}，头顶至脖子下端的长度为 26 cm26\text{ cm}，则其身高可能是（ ）
A.
165 cm165\text{ cm}
B.
175 cm175\text{ cm}
C.
185 cm185\text{ cm}
D.
190 cm190\text{ cm}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+xcos⁡x+x2f(x)=\dfrac{\sin x+x}{\cos x+x^2} 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致为（ ）
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_a.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_b.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_c.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_d.png}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={ex,x≤0,ln⁡x,x>0f(x)=\begin{cases} \mathrm{e}^x,&x\le0,\\ \ln x,&x>0 \end{cases}
，g(x)=f(x)+x+ag(x)=f(x)+x+a. 若 g(x)g(x) 存在 2 个2\text{ 个} 零点，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−1,0)[-1,0)
B.
[0,+∞)[0,+\infty)
C.
[−1,+∞)[-1,+\infty)
D.
[1,+∞)[1,+\infty)

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={2−x,x≤0,1,x>0f(x)=\begin{cases} 2^{-x},&x\le0,\\ 1,&x>0 \end{cases}
，则满足 f(x+1)<f(2x)f(x+1)<f(2x) 的 xx 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,−1](-\infty,-1]
B.
(0,+∞)(0,+\infty)
C.
(−1,0)(-1,0)
D.
(−∞,0)(-\infty,0)

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★☆☆
已知符号函数
sgn⁡x={1,x>0,0,x=0,−1,x<0,\operatorname{sgn}x=\begin{cases} 1, & x>0,\\ 0, & x=0,\\ -1, & x<0, \end{cases}
，f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上的增函数，g(x)=f(x)−f(ax)g(x)=f(x)-f(ax)（a>1a>1），则（ ）
A.
sgn⁡[g(x)]=sgn⁡x\operatorname{sgn}[g(x)]=\operatorname{sgn}x
B.
sgn⁡[g(x)]=−sgn⁡x\operatorname{sgn}[g(x)]=-\operatorname{sgn}x
C.
sgn⁡[g(x)]=sgn⁡[f(x)]\operatorname{sgn}[g(x)]=\operatorname{sgn}[f(x)]
D.
sgn⁡[g(x)]=−sgn⁡[f(x)]\operatorname{sgn}[g(x)]=-\operatorname{sgn}[f(x)]

2015 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=4−∣x∣+lg⁡x2−5x+6x−3f(x)=\sqrt{4-|x|}+\lg\dfrac{x^2-5x+6}{x-3} 的定义域为（ ）
A.
(2,3)(2,3)
B.
(2,4](2,4]
C.
(2,3)∪(3,4](2,3)\cup(3,4]
D.
(−1,3)∪(3,6](-1,3)\cup(3,6]

2015 · 湖北 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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13函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=2sin⁡xsin⁡(x+π2)−x2f(x)=2\sin x\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-x^2 的零点个数为______.

2015 · 湖北 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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06函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 满足 ∫−11f(x)g(x) dx=0\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \, \mathrm{d}x = 0，则称 f(x)f(x)，g(x)g(x) 为区间 [−1,1][-1, 1] 上的一组正交函数，给出三组函数：
① f(x)=sin⁡x2f(x)=\sin\frac{x}{2}，g(x)=cos⁡x2g(x)=\cos\frac{x}{2}； ② f(x)=x+1f(x)=x+1，g(x)=x−1g(x)=x-1； ③ f(x)=xf(x)=x，g(x)=x2g(x)=x^{2}.
其中为区间 [−1,1][-1, 1] 上的正交函数的组数是（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2014 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是定义在 (0,+∞)(0, +\infty) 上的函数，且 f(x)>0f(x) > 0，对任意 a>0a > 0，b>0b > 0，若经过点 (a,f(a))(a, f(a))，(b,−f(b))(b, -f(b)) 的直线与 xx 轴的交点为 (c,0)(c, 0)，则称 cc 为 aa，bb 关于函数 f(x)f(x) 的平均数，记为 Mf(a,b)M_{f}(a,b). 例如，当 f(x)=1f(x)=1（x>0x>0）时，可得 Mf(a,b)=c=a+b2M_{f}(a,b)=c=\frac{a+b}{2}，即 Mf(a,b)M_{f}(a,b) 为 aa，bb 的算术平均数.
(1) 当 f(x)=f(x)=______（x>0x>0）时，Mf(a,b)M_f(a, b) 为 aa，bb 的几何平均数； (2) 当 f(x)=f(x)=______（x>0x>0）时，Mf(a,b)M_f(a, b) 为 aa，bb 的调和平均数 2aba+b\frac{2ab}{a + b}. （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

2014 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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07数列★★★☆☆
定义在 (−∞,0)∪(0,+∞)(- \infty, 0) \cup (0, +\infty) 上的函数 f(x)f(x)，如果对于任意给定的等比数列 {an}\{a_n\}，{f(an)}\{f(a_n)\} 仍是等比数列，则称 f(x)f(x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (−∞,0)∪(0,+∞)(- \infty, 0) \cup (0, +\infty) 上的如下函数：
① f(x)=x2f(x)=x^{2}； ② f(x)=2xf(x)=2^{x}； ③ f(x)=∣x∣f(x)=\sqrt{|x|}； ④ f(x)=ln⁡∣x∣f(x)=\ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的 f(x)f(x) 的序号为（ ）
A.
①②
B.
③④
C.
①③
D.
②④

2012 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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07数列★★★☆☆
定义在 (−∞,0)∪(0,+∞)(- \infty, 0) \cup (0, +\infty) 上的函数 f(x)f(x)，如果对于任意给定的等比数列 {an}\{a_{n}\}，{f(an)}\{f(a_{n})\} 仍是等比数列，则称 f(x)f(x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (−∞,0)∪(0,+∞)(- \infty, 0) \cup (0, +\infty) 上的如下函数：
① f(x)=x2f(x)=x^{2}； ② f(x)=2xf(x)=2^{x}； ③ f(x)=∣x∣f(x)=\sqrt{|x|}； ④ f(x)=ln⁡∣x∣f(x)=\ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的 f(x)f(x) 的序号为（ ）
A.
①②
B.
③④
C.
①③
D.
②④

2012 · 湖北 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★☆☆
放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变. 假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中，其含量 MM（单位：太贝克）与时间 tt（单位：年）满足函数关系：M(t)=M02−t30M(t)=M_0 2^{-\frac{t}{30}}，其中 M0M_0 为 t=0t=0 时铯 137 的含量. 已知 t=30t=30 时，铯 137 含量的变化率是 −10ln⁡2-10\ln2（太贝克/年），则 M(60)=M(60)=（ ）
A.
5 太贝克5\text{ 太贝克}
B.
75ln⁡2 太贝克75\ln2\text{ 太贝克}
C.
150ln⁡2 太贝克150\ln2\text{ 太贝克}
D.
150 太贝克150\text{ 太贝克}

2011 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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17函数与初等函数★★★☆☆
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下，大桥上的车流速度 vv（单位：千米/小时）是车流密度 xx（单位：辆/千米）的函数. 当桥上的车流密度达到 200 辆/千米200\text{ 辆/千米} 时，造成堵塞，此时车流速度为 00；当车流密度不超过 20 辆/千米20\text{ 辆/千米} 时，车流速度为 60 千米/小时60\text{ 千米/小时}；研究表明：当 20⩽x⩽20020\leqslant x\leqslant200 时，车流速度 vv 是车流密度 xx 的一次函数.
(1) 当 0⩽x⩽2000\leqslant x\leqslant200 时，求函数 v(x)v(x) 的表达式； (2) 当车流密度 xx 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f(x)=x⋅v(x)f(x)=x\cdot v(x) 可以达到最大，并求出最大值.（精确到 1 辆/小时1\text{ 辆/小时}）

2011 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
若实数 aa，bb 满足 a⩾0a \geqslant 0，b⩾0b \geqslant 0，且 ab=0ab = 0，则称 aa 与 bb 互补. 记 φ(a,b)=a2+b2−a−b\varphi(a, b) = \sqrt{a^2 + b^2} - a - b，那么 φ(a,b)=0\varphi(a, b) = 0 是 aa 与 bb 互补的（ ）
A.
必要而不充分条件
B.
充分而不必要条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2011 · 湖北 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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19函数与初等函数★★★☆☆
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下，大桥上的车流速度 vv（单位：千米/小时）是车流密度 xx（单位：辆/千米）的函数. 当桥上的车流密度达到 200 辆/千米200\text{ 辆/千米} 时，造成堵塞，此时车流速度为 00；当车流密度不超过 20 辆/千米20\text{ 辆/千米} 时，车流速度为 60 千米/小时60\text{ 千米/小时}. 研究表明：当 20⩽x⩽20020 \leqslant x \leqslant 200 时，车流速度 vv 是车流密度 xx 的一次函数.
(1) 当 0⩽x⩽2000 \leqslant x \leqslant 200 时，求函数 v(x)v(x) 的表达式； (2) 当车流密度 xx 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f(x)=x⋅v(x)f(x) = x \cdot v(x) 可以达到最大，并求出最大值. （精确到 1 辆/小时1\text{ 辆/小时}）

2011 · 湖北 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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09解析几何★★★☆☆
若直线 y=x+by = x + b 与曲线 y=3−4x−x2y = 3 - \sqrt{4x - x^2} 有公共点，则 bb 的取值范围是（ ）
A.
[−1,1+22][-1, 1 + 2\sqrt{2}]
B.
[1−22,1+22][1 - 2\sqrt{2}, 1 + 2\sqrt{2}]
C.
[1−22,3][1 - 2\sqrt{2},3]
D.
[1−2,3][1 - \sqrt{2},3]

2010 · 湖北 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★☆☆
设 a>0a > 0，b>0b > 0. 称 2aba+b\frac{2ab}{a + b} 为 aa，bb 的调和平均数. 如图，CC 为线段 ABAB 上的点，且 AC=aAC = a，CB=bCB = b，OO 为 ABAB 中点，以 ABAB 为直径做半圆. 过点 CC 作 ABAB 的垂线交半圆于 DD. 连接 ODOD，ADAD，BDBD. 过点 CC 作 ODOD 的垂线，垂足为 EE. 则图中线段 ODOD 的长度是 aa，bb 的算术平均数，线段______ 的长度是 aa，bb 的几何平均数，线段______ 的长度是 aa，bb 的调和平均数.

2010 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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