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065分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=−x2−2ax−af(x)=-x^2-2ax-a（x<0x<0），f(x)=ex+ln⁡(x+1)f(x)=\mathrm{e}^x+\ln(x+1)（x≥0x\ge 0） 在 R\mathbf{R} 上单调递增，则 aa 取值范围为（ ）
A.
(−∞,0](-\infty,0]
B.
[−1,0][-1,0]
C.
[−1,1][-1,1]
D.
[0,+∞)[0,+\infty)

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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116分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(xy)=y2f(x)+x2f(y)f(xy)=y^2f(x)+x^2f(y)，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
f(1)=0f(1)=0
C.
f(x)f(x) 是偶函数
D.
x=0x=0 为 f(x)f(x) 的极小值点

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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155分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡ωx−1f(x)=\cos\omega x-1（ω>0\omega>0） 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上有且仅有 33 个零点，则 ω\omega 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\left\lvert 3x+1 \right\rvert-2\left\lvert x-1 \right\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\lvert 3x+1\rvert-2\lvert x-1\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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04函数与初等函数★★★☆☆
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5−12≈0.618\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618（称为黄金分割比例）. 著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm105\text{ cm}，头顶至脖子下端的长度为 26 cm26\text{ cm}，则其身高可能是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
165 cm165\text{ cm}
B.
175 cm175\text{ cm}
C.
185 cm185\text{ cm}
D.
190 cm190\text{ cm}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+xcos⁡x+x2f(x)=\dfrac{\sin x+x}{\cos x+x^2} 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_a.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_b.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_c.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_d.png}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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11三角函数★★★☆☆
关于函数 f(x)=sin⁡∣x∣+∣sin⁡x∣f(x)=\sin|x|+|\sin x| 有下述四个结论：
① f(x)f(x) 是偶函数； ② f(x)f(x) 在区间 (π2,π)\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) 单调递增； ③ f(x)f(x) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 有 44 个零点； ④ f(x)f(x) 的最大值为 22.
其中所有正确结论的编号是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
\circled1\circled2\circled4\circled{1}\circled{2}\circled{4}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled1\circled4\circled{1}\circled{4}
D.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★★☆☆
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}（5−12≈0.618\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx 0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm105\text{ cm}，头顶至脖子下端的长度为 26 cm26\text{ cm}，则其身高可能是（ ）
A.
165 cm165\text{ cm}
B.
175 cm175\text{ cm}
C.
185 cm185\text{ cm}
D.
190 cm190\text{ cm}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+xcos⁡x+x2f(x)=\dfrac{\sin x+x}{\cos x+x^2} 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致为（ ）
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_a.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_b.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_c.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_d.png}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={ex,x≤0,ln⁡x,x>0f(x)=\begin{cases} \mathrm{e}^x,&x\le0,\\ \ln x,&x>0 \end{cases}
，g(x)=f(x)+x+ag(x)=f(x)+x+a. 若 g(x)g(x) 存在 2 个2\text{ 个} 零点，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−1,0)[-1,0)
B.
[0,+∞)[0,+\infty)
C.
[−1,+∞)[-1,+\infty)
D.
[1,+∞)[1,+\infty)

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={2−x,x≤0,1,x>0f(x)=\begin{cases} 2^{-x},&x\le0,\\ 1,&x>0 \end{cases}
，则满足 f(x+1)<f(2x)f(x+1)<f(2x) 的 xx 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,−1](-\infty,-1]
B.
(0,+∞)(0,+\infty)
C.
(−1,0)(-1,0)
D.
(−∞,0)(-\infty,0)

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★☆☆
执行如图所示的程序框图，如果输入的 t∈[−2,2]t \in [-2, 2]，则输出的 SS 属于（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 当 t⩾0t\geqslant0 时，程序直接输出 S=t−3S=t-3，所以 S∈[−3,−1]S\in[-3,-1]. 当 −2⩽t<0-2\leqslant t<0 时，程序先把 tt 更新为 2t2+12t^2+1. 此时 2t2+1>02t^2+1>0，下一次判断直接进入输出分支，于是 S=2t2−2S=2t^2-2. 因为 t2∈(0,4]t^2\in(0,4]，所以 S∈(−2,6]S\in(-2,6].
合并两种情况得 S∈[−3,6]S\in[-3,6]，故选 D. \end{solution}
A.
[−6,−2][-6, -2]
B.
[−5,−1][-5, -1]
C.
[−4,5][-4, 5]
D.
[−3,6][-3, 6]

2014 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
执行如图所示的程序框图，如果输入的 t∈[−2,2]t \in [-2, 2]，则输出的 SS 属于（ ）
A.
[−6,−2][-6, - 2]
B.
[−5,−1][-5, - 1]
C.
[−4,5][-4, 5]
D.
[−3,6][-3,6]

2014 · 湖南 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=2ln⁡xf(x) = 2\ln x 的图象与函数 g(x)=x2−4x+5g(x) = x^2 - 4x + 5 的图象的交点个数为（ ）
A.
3
B.
2
C.
1
D.
0

2013 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
在等腰直角三角形 ABCABC 中，AB=AC=4AB = AC = 4，点 PP 是边 ABAB 上异于 AA，BB 的一点，光线从点 PP 出发，经 BCBC，CACA 反射后又回到点 PP （如图）. 若光线 QRQR 经过 △ABC\triangle ABC 的重心，则 APAP 等于（ ）
A.
2
B.
1
C.
83\frac{8}{3}
D.
43\frac{4}{3}

2013 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09概率与统计★★★☆☆
已知事件“在矩形 ABCDABCD 的边 CDCD 上随机取一点 PP，使 △APB\triangle APB 的最大边是 ABAB”发生的概率为 12\frac{1}{2}，则 ADAB=\frac{AD}{AB} =（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
14\frac{1}{4}
C.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
74\frac{\sqrt{7}}{4}

2013 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
设直线 x=tx = t 与函数 f(x)=x2f(x) = x^2，g(x)=ln⁡xg(x) = \ln x 的图象分别交于点 MM，NN，则当 ∣MN∣|MN| 达到最小时 tt 的值为（ ）
A.
1
B.
12\frac{1}{2}
C.
52\frac{\sqrt{5}}{2}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2011 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★☆☆
给定 k∈N∗k \in \mathbf{N}^*，设函数 f:N∗→N∗f: \mathbf{N}^* \to \mathbf{N}^* 满足：对于任意大于 kk 的正整数 nn，f(n)=n−kf(n) = n - k.
(1) 设 k=1k = 1，则其中一个函数 ff 在 n=1n = 1 处的函数值为______； (2) 设 k=4k = 4，且当 n⩽4n \leqslant 4 时，2⩽f(n)⩽32 \leqslant f(n) \leqslant 3，则不同的函数 ff 的个数为______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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08函数与初等函数★★★☆☆
用 min⁡{a,b}\min \{a, b\} 表示 aa，bb 两数中的最小值. 若函数 f(x)=min⁡{∣x∣,∣x+t∣}f(x) = \min \{|x|, |x + t|\} 的图象关于直线 x=−12x = -\frac{1}{2} 对称，则 tt 的值为（ ）
A.
−2-2
B.
2
C.
−1-1
D.
1

2010 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=ax2+bxy = ax^2 + bx 与 y=log⁡∣b∣∣a∣xy = \log_{\frac{|b|}{|a|}} x（ab≠0ab \neq 0，∣a∣≠∣b∣|a| \neq |b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

2010 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★★☆☆
如图，当参数 λ=λ1\lambda = \lambda_{1}，λ2\lambda_{2} 时，连续函数 y=x1+λxy = \frac{x}{1 + \lambda x}（x⩾0x \geqslant 0）的图象分别对应曲线 C1C_{1} 和 C2C_{2}，则（ ）
A.
0<λ1<λ20 < \lambda_{1} < \lambda_{2}
B.
0<λ2<λ10 < \lambda_{2} < \lambda_{1}
C.
λ1<λ2<0\lambda_{1} < \lambda_{2} < 0
D.
λ2<λ1<0\lambda_{2} < \lambda_{1} < 0

2009 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
设函数 y=f(x)y = f(x) 在 (−∞,+∞)(- \infty, + \infty) 内有定义. 对于给定的正数 KK，定义函数
fK(x)={f(x),f(x)⩽K,K,f(x)>K.f_{K}(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \leqslant K,\\ K, & f(x) > K. \end{cases}
取函数 f(x)=2−∣x∣f(x) = 2^{-|x|}. 当 K=12K = \frac{1}{2} 时，函数 fK(x)f_{K}(x) 的单调递增区间为（ ）
A.
(−∞,0)(-\infty, 0)
B.
(0,+∞)(0, +\infty)
C.
(−∞,−1)(-\infty, -1)
D.
(1,+∞)(1, +\infty)

2009 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
设 [x][x] 表示不超过 xx 的最大整数（如 [2]=2[2]=2，[54]=1\left[\frac{5}{4}\right]=1 ）. 对于给定的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，定义 Cxn=n(n−1)⋯(n−[x]+1)x(x−1)⋯(x−[x]+1)C_{x}^{n} = \frac{n(n-1)\cdots(n-[x]+1)}{x(x-1)\cdots(x-[x]+1)}， x∈[1,+∞)x \in [1, +\infty)，则当 x∈[32,3)x \in \left[\frac{3}{2}, 3\right) 时，函数 Cx8C_{x}^{8} 的值域是（ ）
A.
[163,28]\left[\frac{16}{3}, 28\right]
B.
[163,56)\left[\frac{16}{3}, 56\right)
C.
(4,283)∪[28,56)\left(4, \frac{28}{3}\right) \cup [28, 56)
D.
(4,163]∪(283,28]\left(4, \frac{16}{3}\right] \cup \left(\frac{28}{3}, 28\right]

2008 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=3−axa−1f(x) = \frac{\sqrt{3 - ax}}{a - 1}（a≠1a \neq 1）.
(1) 若 a>1a > 1，则 f(x)f(x) 的定义域是______； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 (0,1](0,1] 上是减函数，则实数 aa 的取值范围是______.

2008 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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