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065分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=−x2−2ax−af(x)=-x^2-2ax-a（x<0x<0），f(x)=ex+ln⁡(x+1)f(x)=\mathrm{e}^x+\ln(x+1)（x≥0x\ge 0） 在 R\mathbf{R} 上单调递增，则 aa 取值范围为（ ）
A.
(−∞,0](-\infty,0]
B.
[−1,0][-1,0]
C.
[−1,1][-1,1]
D.
[0,+∞)[0,+\infty)

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 6 题 · 选择题

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116分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(xy)=y2f(x)+x2f(y)f(xy)=y^2f(x)+x^2f(y)，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
f(1)=0f(1)=0
C.
f(x)f(x) 是偶函数
D.
x=0x=0 为 f(x)f(x) 的极小值点

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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155分三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡ωx−1f(x)=\cos\omega x-1（ω>0\omega>0） 在区间 [0,2π][0,2\pi] 上有且仅有 33 个零点，则 ω\omega 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\left\lvert 3x+1 \right\rvert-2\left\lvert x-1 \right\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\lvert 3x+1\rvert-2\lvert x-1\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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04函数与初等函数★★★☆☆
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5−12≈0.618\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618（称为黄金分割比例）. 著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm105\text{ cm}，头顶至脖子下端的长度为 26 cm26\text{ cm}，则其身高可能是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
165 cm165\text{ cm}
B.
175 cm175\text{ cm}
C.
185 cm185\text{ cm}
D.
190 cm190\text{ cm}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+xcos⁡x+x2f(x)=\dfrac{\sin x+x}{\cos x+x^2} 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_a.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_b.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_c.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_science/q5_choice_d.png}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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11三角函数★★★☆☆
关于函数 f(x)=sin⁡∣x∣+∣sin⁡x∣f(x)=\sin|x|+|\sin x| 有下述四个结论：
① f(x)f(x) 是偶函数； ② f(x)f(x) 在区间 (π2,π)\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right) 单调递增； ③ f(x)f(x) 在 [−π,π][-\pi,\pi] 有 44 个零点； ④ f(x)f(x) 的最大值为 22.
其中所有正确结论的编号是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
\circled1\circled2\circled4\circled{1}\circled{2}\circled{4}
B.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
C.
\circled1\circled4\circled{1}\circled{4}
D.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★★☆☆
古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}（5−12≈0.618\dfrac{\sqrt5-1}{2}\approx 0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5−12\dfrac{\sqrt5-1}{2}. 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm105\text{ cm}，头顶至脖子下端的长度为 26 cm26\text{ cm}，则其身高可能是（ ）
A.
165 cm165\text{ cm}
B.
175 cm175\text{ cm}
C.
185 cm185\text{ cm}
D.
190 cm190\text{ cm}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=sin⁡x+xcos⁡x+x2f(x)=\dfrac{\sin x+x}{\cos x+x^2} 在 [−π,π][-\pi,\pi] 的图象大致为（ ）
A.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_a.png}
B.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_b.png}
C.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_c.png}
D.
\choicebitmap[width=0.15\paperwidth]{img/2019/national_paper_1_liberal/q5_choice_d.png}

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={ex,x≤0,ln⁡x,x>0f(x)=\begin{cases} \mathrm{e}^x,&x\le0,\\ \ln x,&x>0 \end{cases}
，g(x)=f(x)+x+ag(x)=f(x)+x+a. 若 g(x)g(x) 存在 2 个2\text{ 个} 零点，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−1,0)[-1,0)
B.
[0,+∞)[0,+\infty)
C.
[−1,+∞)[-1,+\infty)
D.
[1,+∞)[1,+\infty)

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={2−x,x≤0,1,x>0f(x)=\begin{cases} 2^{-x},&x\le0,\\ 1,&x>0 \end{cases}
，则满足 f(x+1)<f(2x)f(x+1)<f(2x) 的 xx 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,−1](-\infty,-1]
B.
(0,+∞)(0,+\infty)
C.
(−1,0)(-1,0)
D.
(−∞,0)(-\infty,0)

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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08数列★★★☆☆
若 aa、bb 是函数 f(x)=x2−px+qf(x) = x^2 - px + q（p>0p > 0，q>0q > 0）的两个不同的零点，且 aa、bb、−2-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+qp + q 的值等于（ ）
A.
6
B.
7
C.
8
D.
9

2015 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★★☆☆
若函数
f(x)={−x+6,x⩽2,3+log⁡ax,x>2,f(x) = \begin{cases} -x + 6, & x \leqslant 2,\\ 3 + \log_a x, & x > 2, \end{cases}
（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的值域是 [4,+∞)[4, +\infty)，则实数 aa 的取值范围是______.

2015 · 福建 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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08函数与初等函数★★★☆☆
如图，矩形 ABCDABCD 中，点 AA 在 xx 轴上，点 BB 的坐标为 (1,0)(1,0)，且点 CC 与点 DD 在函数
f(x)={x+1,x⩾0,−12x+1,x<0f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \geqslant 0,\\ -\frac{1}{2}x + 1, & x < 0 \end{cases}
的图象上. 若在矩形 ABCDABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（ ）
A.
16\frac{1}{6}
B.
14\frac{1}{4}
C.
38\frac{3}{8}
D.
12\frac{1}{2}

2015 · 福建 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2∣x−a∣f(x) = 2^{|x-a|}（a∈Ra \in \mathbf{R}） 满足 f(1+x)=f(1−x)f(1 + x) = f(1 - x)，且 f(x)f(x) 在 [m,+∞)[m, +\infty) 上单调递增，则实数 mm 的最小值等于______.

2015 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
函数
f(x)={x2−2,x⩽0,2x−6+ln⁡x,x>0,f(x) = \begin{cases} x^2 - 2, & x \leqslant 0,\\ 2x - 6 + \ln x, & x > 0, \end{cases}
的零点个数是______.
\begin{answer} 2 \end{answer}
\begin{solution} 当 x⩽0x\leqslant0 时，f(x)=x2−2f(x)=x^2-2，由 x2−2=0x^2-2=0 得 x=±2x=\pm\sqrt2，其中只有 x=−2x=-\sqrt2 满足定义域，所以这一段有 11 个零点.
当 x>0x>0 时，令 g(x)=2x−6+ln⁡xg(x)=2x-6+\ln x，则 g′(x)=2+1x>0g'(x)=2+\frac1x>0，所以 gg 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上严格递增. 又 lim⁡x→0+g(x)=−∞\displaystyle\lim_{x\to0^+}g(x)=-\infty，且 g(3)=ln⁡3>0g(3)=\ln3>0，故由零点存在性定理，gg 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上恰有一个零点. 因此 f(x)f(x) 共有 22 个零点. \end{solution}

2014 · 福建 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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08导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，x0x_0（x0≠0x_0 \neq 0）是 f(x)f(x) 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A.
∀x∈R,f(x)⩽f(x0)\forall x \in \mathbf{R}, f(x) \leqslant f(x_0)
B.
−x0-x_0 是 f(−x)f(-x) 的极小值点
C.
−x0-x_0 是 −f(x)-f(x) 的极小值点
D.
−x0-x_0 是 −f(−x)-f(-x) 的极小值点

2013 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
设函数
D(x)={1,x 为有理数,0,x 为无理数,D(x) = \begin{cases} 1, & x\text{ 为有理数},\\ 0, & x\text{ 为无理数}, \end{cases}
则下列结论错误的是（ ）
A.
D(x)D(x) 的值域为 {0,1}\{0,1\}
B.
D(x)D(x) 是偶函数
C.
D(x)D(x) 不是周期函数
D.
D(x)D(x) 不是单调函数

2012 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★★☆☆
若函数 y=2xy = 2^{x} 图象上存在点 (x,y)(x,y) 满足约束条件
{x+y−3⩽0,x−2y−3⩽0,x⩾m,\begin{cases} x + y - 3 \leqslant 0,\\ x - 2y - 3 \leqslant 0,\\ x \geqslant m, \end{cases}
则实数 mm 的最大值为（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
1
C.
32\frac{3}{2}
D.
2

2012 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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18概率与统计★★★☆☆
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价 xx（元\text{元}）888.28.28.48.48.68.68.88.899
销量 yy（件\text{件}）909084848383808075756868
(1) 求回归直线方程 y^=bx+a\hat{y} = bx + a，其中 b=−20b = -20， a=y‾−bx‾a = \overline{y} - b\overline{x}； (2) 预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4 元/件4\text{ 元/件}，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元\text{元}？（利润=销售收入−成本\text{利润}=\text{销售收入}-\text{成本}）

2012 · 福建 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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09函数与初等函数★★★☆☆
对于函数 f(x)=asin⁡x+bx+cf(x)=a\sin x+bx+c（其中 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，c∈Zc\in\mathbf{Z}），选取 aa，bb，cc 的一组值计算 f(1)f(1) 和 f(−1)f(-1)，所得出的正确结果一定不可能是（ ）
A.
4 和 6
B.
3 和 1
C.
2 和 4
D.
1 和 2

2011 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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21三角函数★★★☆☆
设函数 f(θ)=3sin⁡θ+cos⁡θf(\theta) = \sqrt{3}\sin \theta + \cos \theta，其中，角 θ\theta 的顶点与坐标原点重合，始边与 xx 轴非负半轴重合，终边经过点 P(x,y)P(x, y)，且 0⩽θ⩽π0 \leqslant \theta \leqslant \pi.
(1) 若点 PP 的坐标为 (12,32)\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)，求 f(θ)f(\theta) 的值； (2) 若点 P(x,y)P(x, y) 为平面区域 Ω\Omega：
{x+y⩾1,x⩽1,y⩽1\begin{cases} x + y \geqslant 1,\\ x \leqslant 1,\\ y \leqslant 1 \end{cases}
上的一个动点，试确定角 θ\theta 的取值范围，并求函数 f(θ)f(\theta) 的最小值和最大值.

2011 · 福建 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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11解析几何★★★☆☆
若点 OO 和点 FF 分别为椭圆 x24+y23=1\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 的中心和左焦点，点 PP 为椭圆上的任意一点，则 OP→⋅FP→\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{FP} 的最大值为（ ）
A.
2
B.
3
C.
6
D.
8

2010 · 福建 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)f(x) 的零点与 g(x)=4x+2x−2g(x) = 4^x + 2x - 2 的零点之差的绝对值不超过 0.250.25，则 f(x)f(x) 可以是（ ）
A.
f(x)=4x−1f(x) = 4x - 1
B.
f(x)=(x−1)2f(x) = (x - 1)^{2}
C.
f(x)=ex−1f(x) = \mathrm{e}^{x} - 1
D.
f(x)=ln⁡(x−12)f(x) = \ln \left(x - \frac{1}{2}\right)

2009 · 福建 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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