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085分函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f\left( x \right) 是定义域为 R\mathbf{R} 的偶函数，f(x)+f(x−2)=0f\left( x \right)+f\left( x-2 \right)=0，且当 x∈[32,3]x\in \left[ \frac{3}{2},3 \right] 时，f(x)=x2+ax+bf\left( x \right)=x^2+ax+b，则
A.
a=−2a=-2，b=−3b=-3
B.
a=−2a=-2，b=3b=3
C.
a=−4a=-4，b=−3b=-3
D.
a=−4a=-4，b=3b=3

2026 · 全国 · 二卷 · 第 8 题 · 选择题

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135分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2x+22−x−mf\left( x \right)=2^x+2^{2-x}-m 有两个零点，则 mm 的取值范围是______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题

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106分函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，且当 x>0x>0 时，f(x)=(x2−3)ex+2f(x)=(x^2-3)\mathrm{e}^x+2，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
当 x<0x<0 时，f(x)=−(x2−3)e−x−2f(x)=-(x^2-3)\mathrm{e}^{-x}-2
C.
f(x)≥2f(x)\ge 2 当且仅当 x≥3x\ge \sqrt3
D.
x=−1x=-1 是 f(x)f(x) 的极大值点

2025 · 全国 · 二卷 · 第 10 题 · 多选题

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065分函数与初等函数★★★☆☆
设函数 f(x)=a(x+1)2−1f(x)=a(x+1)^2-1，g(x)=cos⁡x+2axg(x)=\cos x+2ax，当 x∈(−1,1)x\in(-1,1) 时，曲线 y=f(x)y=f(x) 与 y=g(x)y=g(x) 恰有一个交点，则 a=a=（ ）
A.
−1-1
B.
12\frac12
C.
11
D.
22

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 6 题 · 选择题

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1917分概率与统计★★★☆☆
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异. 经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 cc，将该指标大于 cc 的人判定为阳性，小于或等于 cc 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p(c)p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 q(c)q(c). 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1) 当漏诊率 p(c)=0.5%p(c)=0.5\% 时，求临界值 cc 和误诊率 q(c)q(c)； (2) 设函数 f(c)=p(c)+q(c)f(c)=p(c)+q(c). 当 c∈[95,105]c\in[95,105] 时，求 f(c)f(c) 的解析式，并求 f(c)f(c) 在区间 [95,105][95,105] 的最小值.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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085分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1f(1)=1，则 ∑k=122f(k)=\sum_{k=1}^{22}f(k)=（ ）
A.
−3-3
B.
−2-2
C.
0
D.
1

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 8 题 · 选择题

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145分函数与初等函数★★★☆☆
写出一个函数 f(x)=‾f\left( x \right)=\underline{\hspace{2em}}，使其同时具有下列性质：
① f(x1x2)=f(x1)f(x2)f\left( x_1x_2 \right)=f\left( x_1 \right)f\left( x_2 \right)； ② 当 x∈(0,+∞)x\in \left( 0,+\infty \right) 时，f′(x)>0f'\left( x \right)>0； ③ f′(x)f'\left( x \right) 是奇函数.
\begin{answer} x4x^4 \end{answer}

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 14 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★★☆☆
设函数 f(x)=ln⁡∣2x+1∣−ln⁡∣2x−1∣f(x)=\ln |2x+1|-\ln |2x-1|，则 f(x)f(x)（ ）
A.
是偶函数，且在 (12,+∞)\left( \dfrac{1}{2},+\infty \right) 单调递增
B.
是奇函数，且在 (−12,12)\left( -\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2} \right) 单调递减
C.
是偶函数，且在 (−∞,−12)\left( -\infty,-\dfrac{1}{2} \right) 单调递增
D.
是奇函数，且在 (−∞,−12)\left( -\infty,-\dfrac{1}{2} \right) 单调递减

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义域为 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 的奇函数，满足 f(1−x)=f(1+x)f(1-x)=f(1+x)，若 f(1)=2f(1)=2，则 f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=（ ）
A.
−50-50
B.
00
C.
22
D.
5050

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 为偶函数，当 x⩾0x \geqslant 0 时，
f(x)={cos⁡πx,x∈[0,12],2x−1,x∈(12,+∞).f(x) = \begin{cases} \cos \pi x, & x \in \left[0, \frac{1}{2}\right],\\ 2x - 1, & x \in \left(\frac{1}{2}, +\infty\right). \end{cases}
则不等式 f(x−1)⩽12f(x - 1)\leqslant \frac{1}{2} 的解集为（ ）
A.
[14,23]∪[43,74]\left[\frac{1}{4}, \frac{2}{3}\right] \cup \left[\frac{4}{3}, \frac{7}{4}\right]
B.
[−34,−13]∪[14,23]\left[-\frac{3}{4}, -\frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{4}, \frac{2}{3}\right]
C.
[13,34]∪[43,74]\left[\frac{1}{3}, \frac{3}{4}\right] \cup \left[\frac{4}{3}, \frac{7}{4}\right]
D.
[−34,−13]∪[13,34]\left[-\frac{3}{4}, -\frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{3}, \frac{3}{4}\right]

2014 · 辽宁 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2−2(a+2)x+a2f(x) = x^2 - 2(a + 2)x + a^2，g(x)=−x2+2(a−2)x−a2+8g(x) = -x^2 + 2(a - 2)x - a^2 + 8，设 H1(x)=max⁡{f(x),g(x)}H_1(x) = \max\{f(x), g(x)\}，H2(x)=min⁡{f(x),g(x)}H_2(x) = \min\{f(x), g(x)\}（max⁡{p,q}\max\{p, q\} 表示 pp，qq 中的较大值，min⁡{p,q}\min\{p, q\} 表示 pp，qq 中的较小值）. 记 H1(x)H_1(x) 的最小值为 AA，H2(x)H_2(x) 的最大值为 BB，则 A−B=A - B =（ ）
A.
1616
B.
−16-16
C.
a2−2a−16a^2 - 2a - 16
D.
a2+2a−16a^2 + 2a - 16

2013 · 辽宁 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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07函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=ln⁡(1+9x2−3x)+1f(x) = \ln (\sqrt{1 + 9x^2} - 3x) + 1，则 f(lg⁡2)+f(lg⁡12)=f(\lg 2) + f\left(\lg \frac{1}{2}\right) =（ ）
A.
−1-1
B.
00
C.
11
D.
22

2013 · 辽宁 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
执行如图所示的程序框图，则输出的 SS 值是（ ）
A.
−1-1
B.
32\frac{3}{2}
C.
23\frac{2}{3}
D.
4

2012 · 辽宁 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={21−x,x⩽1,1−log⁡2x,x>1,f(x) = \begin{cases} 2^{1 - x}, & x \leqslant 1,\\ 1 - \log_2 x, & x > 1, \end{cases}
则满足 f(x)⩽2f(x) \leqslant 2 的 xx 取值范围是（ ）
A.
[−1,2][-1,2]
B.
[0,2][0,2]
C.
[1,+∞)[1,+\infty)
D.
[0,+∞)[0,+\infty)

2011 · 辽宁 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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11导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，f(−1)=2f(-1) = 2，对任意 x∈Rx \in \mathbf{R}，f′(x)>2f'(x) > 2，则 f(x)>2x+4f(x) > 2x + 4 的解集为（ ）
A.
(−1,1)(-1,1)
B.
(−1,+∞)(-1,+\infty)
C.
(−∞,−1)(-\infty,-1)
D.
(−∞,+∞)(-\infty, +\infty)

2011 · 辽宁 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣−∣x−5∣f(x) = |x - 2| - |x - 5|.
(1) 证明： −3⩽f(x)⩽3-3 \leqslant f(x) \leqslant 3. (2) 求不等式 f(x)⩾x2−8x+15f(x) \geqslant x^{2} - 8x + 15 的解集.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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11导数及其应用★★★☆☆
f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，f(−1)=2f(-1) = 2，对任意 x∈Rx \in \mathbf{R}，f′(x)>2f'(x) > 2，则 f(x)>2x+4f(x) > 2x + 4 的解集为（ ）
A.
(−1,1)(-1,1)
B.
(−1,+∞)(-1,+\infty)
C.
(−∞,−1)(-\infty,-1)
D.
(−∞,+∞)(-\infty,+\infty)

2011 · 辽宁 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=ex−2x+af(x) = \mathrm{e}^{x} - 2x + a 有零点，则 aa 的取值范围是______.

2011 · 辽宁 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣−∣x−5∣f(x) = |x - 2| - |x - 5|.
(1) 证明： −3⩽f(x)⩽3-3 \leqslant f(x) \leqslant 3； (2) 求不等式 f(x)⩾x2−8x+15f(x) \geqslant x^{2} - 8x + 15 的解集.

2011 · 辽宁 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知 a>0a > 0，则 x0x_0 满足关于 xx 的方程 ax=bax = b 的充要条件是（ ）
A.
∃x∈R, 12ax2−bx⩾12ax02−bx0\exists x \in \mathbf{R},\ \frac{1}{2}ax^{2} - bx \geqslant \frac{1}{2}ax_{0}^{2} - bx_{0}
B.
∃x∈R\exists x \in \mathbf{R}， 12ax2−bx⩽12ax02−bx0\ \frac{1}{2}ax^{2} - bx \leqslant \frac{1}{2}ax_{0}^{2} - bx_{0}
C.
∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}， 12ax2−bx⩾12ax02−bx0\ \frac{1}{2}ax^{2} - bx \geqslant \frac{1}{2}ax_{0}^{2} - bx_{0}
D.
∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}， 12ax2−bx⩽12ax02−bx0\ \frac{1}{2}ax^{2} - bx \leqslant \frac{1}{2}ax_{0}^{2} - bx_{0}

2010 · 辽宁 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★☆☆
已知点 PP 在曲线 y=4ex+1y=\frac{4}{\mathrm{e}^x+1} 上，α\alpha 为曲线在点 PP 处的切线的倾斜角，则 α\alpha 的取值范围是（ ）
A.
[0,π4)\left[0,\frac{\pi}{4}\right)
B.
[π4,π2)\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)
C.
(π2,3π4]\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right]
D.
[3π4,π)\left[\frac{3\pi}{4},\pi\right)

2010 · 辽宁 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
设 f(x)f(x) 是连续的偶函数，且当 x>0x > 0 时 f(x)f(x) 是单调函数，则满足 f(x)=f(x+3x+4)f(x) = f\left(\frac{x + 3}{x + 4}\right) 的所有 xx 之和为（ ）
A.
−3-3
B.
3
C.
−8-8
D.
8

2008 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
在 R\mathbf{R} 上定义运算 ⊗\otimes：x⊗y=x(1−y)x \otimes y = x(1 - y). 若不等式 (x−a)⊗(x+a)<1(x - a) \otimes (x + a) < 1 对任意实数 xx 成立，则（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由运算定义， (x−a)⊗(x+a)=(x−a)(1−x−a)=−x2+x+a2−a(x-a)\otimes(x+a)=(x-a)(1-x-a)=-x^2+x+a^2-a. 因此题设不等式对任意实数 xx 成立，等价于 −x2+x+a2−a<1-x^2+x+a^2-a<1 对任意 x∈Rx\in\mathbf{R}. 左侧关于 xx 的最大值在 x=12x=\frac12 处取得，最大值为 14+a2−a\frac14+a^2-a. 所以
14+a2−a<1⟺a2−a−34<0⟺−12<a<32\frac14+a^2-a<1 \Longleftrightarrow a^2-a-\frac34<0 \Longleftrightarrow -\frac12<a<\frac32
故选 C. \end{solution}
A.
−1<a<1-1 < a < 1
B.
0<a<20 < a < 2
C.
−12<a<32-\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}
D.
−32<a<12-\frac{3}{2} < a < \frac{1}{2}

2005 · 辽宁 · 第 7 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
已知 y=f(x)y = f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的单调函数，实数 x1≠x2x_{1} \neq x_{2}，λ≠−1\lambda \neq -1， α=x1+λx21+λ\alpha = \frac{x_{1} + \lambda x_{2}}{1 + \lambda}，β=x2+λx11+λ\beta = \frac{x_{2} + \lambda x_{1}}{1 + \lambda}. 若 ∣f(x1)−f(x2)∣<∣f(α)−f(β)∣|f(x_{1}) - f(x_{2})| < |f(\alpha) - f(\beta)|，则（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 不妨设 x1<x2x_1<x_2. 若 λ⩾0\lambda\geqslant0，则 有 α=11+λx1+λ1+λx2\alpha=\frac1{1+\lambda}x_1+\frac\lambda{1+\lambda}x_2，β=λ1+λx1+11+λx2\beta=\frac\lambda{1+\lambda}x_1+\frac1{1+\lambda}x_2， 所以 α\alpha，β∈[x1,x2]\beta\in[x_1,x_2]. 因 ff 单调，区间 [α,β][\alpha,\beta] 上的函数值差的绝对值不超过区间 [x1,x2][x_1,x_2] 上端点函数值差，即 ∣f(α)−f(β)∣⩽∣f(x1)−f(x2)∣|f(\alpha)-f(\beta)|\leqslant|f(x_1)-f(x_2)|， 与题设矛盾. 因此必须有 λ<0\lambda<0，选 A. \end{solution}
A.
λ<0\lambda < 0
B.
λ=0\lambda = 0
C.
0<λ<10 < \lambda < 1
D.
λ⩾1\lambda \geqslant 1

2005 · 辽宁 · 第 10 题 · 选择题

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