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085分函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f\left( x \right) 是定义域为 R\mathbf{R} 的偶函数，f(x)+f(x−2)=0f\left( x \right)+f\left( x-2 \right)=0，且当 x∈[32,3]x\in \left[ \frac{3}{2},3 \right] 时，f(x)=x2+ax+bf\left( x \right)=x^2+ax+b，则
A.
a=−2a=-2，b=−3b=-3
B.
a=−2a=-2，b=3b=3
C.
a=−4a=-4，b=−3b=-3
D.
a=−4a=-4，b=3b=3

2026 · 全国 · 二卷 · 第 8 题 · 选择题

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135分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2x+22−x−mf\left( x \right)=2^x+2^{2-x}-m 有两个零点，则 mm 的取值范围是______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题

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106分函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，且当 x>0x>0 时，f(x)=(x2−3)ex+2f(x)=(x^2-3)\mathrm{e}^x+2，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
当 x<0x<0 时，f(x)=−(x2−3)e−x−2f(x)=-(x^2-3)\mathrm{e}^{-x}-2
C.
f(x)≥2f(x)\ge 2 当且仅当 x≥3x\ge \sqrt3
D.
x=−1x=-1 是 f(x)f(x) 的极大值点

2025 · 全国 · 二卷 · 第 10 题 · 多选题

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065分函数与初等函数★★★☆☆
设函数 f(x)=a(x+1)2−1f(x)=a(x+1)^2-1，g(x)=cos⁡x+2axg(x)=\cos x+2ax，当 x∈(−1,1)x\in(-1,1) 时，曲线 y=f(x)y=f(x) 与 y=g(x)y=g(x) 恰有一个交点，则 a=a=（ ）
A.
−1-1
B.
12\frac12
C.
11
D.
22

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 6 题 · 选择题

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1917分概率与统计★★★☆☆
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异. 经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 cc，将该指标大于 cc 的人判定为阳性，小于或等于 cc 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p(c)p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 q(c)q(c). 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1) 当漏诊率 p(c)=0.5%p(c)=0.5\% 时，求临界值 cc 和误诊率 q(c)q(c)； (2) 设函数 f(c)=p(c)+q(c)f(c)=p(c)+q(c). 当 c∈[95,105]c\in[95,105] 时，求 f(c)f(c) 的解析式，并求 f(c)f(c) 在区间 [95,105][95,105] 的最小值.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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085分函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，f(1)=1f(1)=1，则 ∑k=122f(k)=\sum_{k=1}^{22}f(k)=（ ）
A.
−3-3
B.
−2-2
C.
0
D.
1

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 8 题 · 选择题

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145分函数与初等函数★★★☆☆
写出一个函数 f(x)=‾f\left( x \right)=\underline{\hspace{2em}}，使其同时具有下列性质：
① f(x1x2)=f(x1)f(x2)f\left( x_1x_2 \right)=f\left( x_1 \right)f\left( x_2 \right)； ② 当 x∈(0,+∞)x\in \left( 0,+\infty \right) 时，f′(x)>0f'\left( x \right)>0； ③ f′(x)f'\left( x \right) 是奇函数.
\begin{answer} x4x^4 \end{answer}

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 14 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★★☆☆
设函数 f(x)=ln⁡∣2x+1∣−ln⁡∣2x−1∣f(x)=\ln |2x+1|-\ln |2x-1|，则 f(x)f(x)（ ）
A.
是偶函数，且在 (12,+∞)\left( \dfrac{1}{2},+\infty \right) 单调递增
B.
是奇函数，且在 (−12,12)\left( -\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2} \right) 单调递减
C.
是偶函数，且在 (−∞,−12)\left( -\infty,-\dfrac{1}{2} \right) 单调递增
D.
是奇函数，且在 (−∞,−12)\left( -\infty,-\dfrac{1}{2} \right) 单调递减

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义域为 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 的奇函数，满足 f(1−x)=f(1+x)f(1-x)=f(1+x)，若 f(1)=2f(1)=2，则 f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=（ ）
A.
−50-50
B.
00
C.
22
D.
5050

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★☆☆
在区间 [0,5][0, 5] 上随机地选择一个数 pp，则方程 x2+2px+3p−2=0x^2 + 2px + 3p - 2 = 0 有两个负根的概率为______.

2015 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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12指数函数与对数函数★★★☆☆
函数 f(x)=log⁡2x⋅log⁡2(2x)f(x) = \log_{2}\sqrt{x} \cdot \log_{\sqrt{2}}(2x) 的最小值为______.

2014 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+bsin⁡x+4f(x) = ax^3 + b\sin x + 4 （aa，b∈Rb \in \mathbf{R}），f(lg⁡(log⁡210))=5f(\lg (\log_2 10)) = 5，则 f(lg⁡(lg⁡2))=f(\lg (\lg 2)) =（ ）
\begin{answer} C \end{answer} \begin{solution} 令
t=lg⁡(log⁡210)t=\lg(\log_2 10)
由于 log⁡210=1lg⁡2\log_2 10=\frac{1}{\lg2}，有
t=lg⁡(1lg⁡2)=−lg⁡(lg⁡2)t=\lg\left(\frac1{\lg2}\right)=-\lg(\lg2)
函数中的 ax3ax^3 和 bsin⁡xb\sin x 都是奇函数，常数项为 44，所以对任意 xx 有
f(x)+f(−x)=8f(x)+f(-x)=8
题设给出 f(t)=5f(t)=5，而所求量为 f(lg⁡(lg⁡2))=f(−t)f(\lg(\lg2))=f(-t)，故
f(−t)=8−f(t)=8−5=3f(-t)=8-f(t)=8-5=3
所以选 C. \end{solution}
A.
−5-5
B.
−1-1
C.
33
D.
44

2013 · 重庆 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★☆☆
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）. 设该蓄水池的底面半径为 r 米r\text{ 米}，高为 h 米h\text{ 米}，体积为 V 立方米V\text{ 立方米}. 假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米100\text{ 元/平方米}，底面的建造成本为 160 元/平方米160\text{ 元/平方米}，该蓄水池的总建造成本为 12000π 元12000\pi\text{ 元}（π\pi 为圆周率）.
(1) 将 VV 表示成 rr 的函数 V(r)V(r)，并求该函数的定义域. (2) 讨论函数 V(r)V(r) 的单调性，并确定 rr 和 hh 为何值时该蓄水池的体积最大.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 无盖圆柱的侧面积为 2πrh2\pi rh，底面积为 πr2\pi r^2，故成本条件为
100⋅2πrh+160πr2=12000π100\cdot2\pi rh+160\pi r^2=12000\pi
约去 40π40\pi，得 5rh+4r2=3005rh+4r^2=300，h=300−4r25r=60r−45rh=\frac{300-4r^2}{5r}=\frac{60}{r}-\frac45r. 因为 r>0r>0 且水池高度必须为正，需有
0<r<530<r<5\sqrt3
又 V=πr2hV=\pi r^2h，所以 V(r)=π(60r−45r3)V(r)=\pi\left(60r-\frac45r^3\right)，0<r<530<r<5\sqrt3. \item 求导得
V′(r)=π(60−125r2)=12π5(25−r2)V'(r)=\pi\left(60-\frac{12}{5}r^2\right) =\frac{12\pi}{5}(25-r^2)
在 (0,5)(0,5) 上，V′(r)>0V'(r)>0，所以 V(r)V(r) 递增；在 (5,53)(5,5\sqrt3) 上，V′(r)<0V'(r)<0，所以 V(r)V(r) 递减. 因此最大值在 r=5r=5 处取得. 代入高度公式：
h=605−45×5=8h=\frac{60}{5}-\frac45\times5=8
故体积最大时 r=5r=5 米、h=8h=8 米. \end{enumerate} \end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的偶函数，且以 2 为周期，则 f(x)f(x) 为 [0,1][0,1] 上的增函数是“f(x)f(x) 为 [3,4][3,4] 上的减函数”的（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设命题 PP 为“f(x)f(x) 在 [0,1][0,1] 上为增函数”，命题 QQ 为“f(x)f(x) 在 [3,4][3,4] 上为减函数”. 由周期性和偶性，对 x∈[3,4]x\in[3,4] 有
f(x)=f(x−4)=f(4−x)f(x)=f(x-4)=f(4-x)
其中 4−x∈[0,1]4-x\in[0,1].
若 PP 成立，取 3≤x1<x2≤43\le x_{1}<x_{2}\le4，则 4−x1>4−x24-x_{1}>4-x_{2}，于是
f(x1)=f(4−x1)≥f(4−x2)=f(x2)f(x_{1})=f(4-x_{1})\ge f(4-x_{2})=f(x_{2})
所以 QQ 成立. 反之，若 QQ 成立，取 0≤u1<u2≤10\le u_{1}<u_{2}\le1，则 4−u2<4−u14-u_{2}<4-u_{1}，由 QQ 得
f(u2)=f(4−u2)≥f(4−u1)=f(u1)f(u_{2})=f(4-u_{2})\ge f(4-u_{1})=f(u_{1})
所以 PP 成立. 因此 PP 是 QQ 的充要条件，故选 D. \end{solution}
A.
既不充分也不必要的条件
B.
充分而不必要的条件
C.
必要而不充分的条件
D.
充要条件

2012 · 重庆 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上可导，其导函数为 f′(x)f'(x)，且函数 f(x)f(x) 在 x=−2x=-2 处取得极小值，则函数 y=xf′(x)y=xf'(x) 的图象可能是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 要说明“可能是”，只需构造一个满足条件的可导函数. 取 f(x)=12(x+2)2f(x)=\frac12(x+2)^2，则 f(x)f(x) 在 x=−2x=-2 处取得极小值，且 f′(x)=x+2f'(x)=x+2. 于是 y=xf′(x)=x(x+2)=x2+2xy=xf'(x)=x(x+2)=x^2+2x，其图象是开口向上的抛物线，过 x=−2x=-2 和 x=0x=0 两个零点，在两零点之间位于 xx 轴下方，正是选项 C 所表示的图象，故选 C. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2012 · 重庆 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
设函数 f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3，g(x)=3x−2g(x)=3x-2，集合 M={x∈R∣f(g(x))>0}M=\{x\in\mathbf{R}\mid f(g(x))>0\}，N={x∈R∣g(x)<2}N=\{x\in\mathbf{R}\mid g(x)<2\}，则 M∩NM\cap N 为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 先求 f(g(x))f(g(x))：
f(g(x))=(3x−2)2−4(3x−2)+3=9x2−24x+15=3(3x−5)(x−1).f(g(x))=(3x-2)^2-4(3x-2)+3=9x^2-24x+15=3(3x-5)(x-1).
所以 f(g(x))>0f(g(x))>0 的解集为 x<1x<1 或 x>53x>\frac53. 另一方面，g(x)<2g(x)<2 等价于 3x−2<23x-2<2，即 x<43x<\frac43. 取交集时，区间 (53,+∞)(\frac53,+\infty) 与 (−∞,43)(-\infty,\frac43) 无交集，因此 M∩N=(−∞,1)M\cap N=(-\infty,1)，故选 D. \end{solution}
A.
(1,+∞)(1,+\infty)
B.
(0,1)(0,1)
C.
(−1,1)(-1,1)
D.
(−∞,1)(-\infty,1)

2012 · 重庆 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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19导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=ax3+x2+bxf(x) = ax^3 + x^2 + bx（其中常数 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}），g(x)=f(x)+f′(x)g(x) = f(x) + f'(x) 是奇函数.
(1) 求 f(x)f(x) 的表达式； (2) 讨论 g(x)g(x) 的单调性，并求 g(x)g(x) 在区间 [1,2][1,2] 上的最大值和最小值.

2010 · 重庆 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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04函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 y=1−x+x+3y = \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 3} 的最大值为 MM，最小值为 mm，则 mM\frac{m}{M} 的值为（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
12\frac{1}{2}
C.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
D.
32\frac{\sqrt{3}}{2}

2008 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c（a≠0a \neq 0），曲线 y=f(x)y = f(x) 通过点 (0,2a+3)(0, 2a + 3)，且在点 (−1,f(−1))(-1, f(-1)) 处的切线垂直于 yy 轴.
(1) 用 aa 分别表示 bb 和 cc； (2) 当 bcbc 取得最小值时，求函数 g(x)=−f(x)e−xg(x) = -f(x)\mathrm{e}^{-x} 的单调区间.

2008 · 重庆 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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09函数与初等函数★★★☆☆
已知定义域为 R\mathbf{R} 的函数 f(x)f(x) 在 (8,+∞)(8, +\infty) 上为减函数，且函数 y=f(x+8)y = f(x + 8) 为偶函数，则（ ）
A.
f(6)>f(7)f(6) > f(7)
B.
f(6)>f(9)f(6) > f(9)
C.
f(7)>f(9)f(7) > f(9)
D.
f(7)>f(10)f(7) > f(10)

2007 · 重庆 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
设 P(3,1)P(3,1) 为二次函数 f(x)=ax2−2ax+bf(x) = ax^{2} - 2ax + b（x⩾1x \geqslant 1）的图象与其反函数 y=f−1(x)y = f^{-1}(x) 的图象的一个交点. 则（\quad）
A.
a=12,b=52a = \frac{1}{2}, b = \frac{5}{2}
B.
a=12a = \frac{1}{2}，b=−52b = -\frac{5}{2}
C.
a=−12a = -\frac{1}{2}，b=52b = \frac{5}{2}
D.
a=−12a = -\frac{1}{2}，b=−52b = -\frac{5}{2}

2007 · 重庆 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=x2−2x+2x2−5x+4f(x)=\sqrt{x^{2}-2x}+2^{\sqrt{x^{2}-5x+4}} 的最小值为______.

2007 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★★☆☆
如图所示，单位圆中弧 AB^\widehat{AB} 的长为 xx，f(x)f(x) 表示弧 AB^\widehat{AB} 与弦 ABAB 所围成的弓形面积的 2 倍，则函数 y=f(x)y = f(x) 的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

2006 · 重庆 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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15指数函数与对数函数★★★☆☆
设 a>0a > 0，a≠1a \neq 1，函数 f(x)=alg⁡(x2−2x+3)f(x) = a^{\lg(x^{2} - 2x + 3)} 有最大值，则不等式 log⁡a(x2−5x+7)>0\log_a(x^{2} - 5x + 7) > 0 的解集为______.

2006 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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09解析几何★★★☆☆
若动点 (x,y)(x, y) 在曲线 x24+y2b2=1\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{b^2} = 1（b>0b > 0）上变化，则 x2+2yx^2 + 2y 的最大值为（ ）
A.
{b24+4,0<b<4,2b,b⩾4.\begin{cases} \frac{b^2}{4} +4, & 0 < b < 4,\\ 2b, & b\geqslant 4. \end{cases}
B.
{b24+4,0<b<2,2b,b⩾2.\begin{cases} \frac{b^2}{4} +4, & 0 < b < 2,\\ 2b, & b\geqslant 2. \end{cases}
C.
b24+4\frac{b^2}{4} + 4
D.
2b2b

2005 · 重庆 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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