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085分函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f\left( x \right) 是定义域为 R\mathbf{R} 的偶函数，f(x)+f(x−2)=0f\left( x \right)+f\left( x-2 \right)=0，且当 x∈[32,3]x\in \left[ \frac{3}{2},3 \right] 时，f(x)=x2+ax+bf\left( x \right)=x^2+ax+b，则
A.
a=−2a=-2，b=−3b=-3
B.
a=−2a=-2，b=3b=3
C.
a=−4a=-4，b=−3b=-3
D.
a=−4a=-4，b=3b=3

2026 · 全国 · 二卷 · 第 8 题 · 选择题

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135分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2x+22−x−mf\left( x \right)=2^x+2^{2-x}-m 有两个零点，则 mm 的取值范围是______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题

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106分函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，且当 x>0x>0 时，f(x)=(x2−3)ex+2f(x)=(x^2-3)\mathrm{e}^x+2，则（ ）
A.
f(0)=0f(0)=0
B.
当 x<0x<0 时，f(x)=−(x2−3)e−x−2f(x)=-(x^2-3)\mathrm{e}^{-x}-2
C.
f(x)≥2f(x)\ge 2 当且仅当 x≥3x\ge \sqrt3
D.
x=−1x=-1 是 f(x)f(x) 的极大值点

2025 · 全国 · 二卷 · 第 10 题 · 多选题

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07函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=−x2+(ex−e−x)sin⁡xf(x)=-x^2+\left( \mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x} \right)\sin x 在区间 [−2.8,2.8][-2.8,2.8] 的大致图像为（ ）
A.
B.
C.
D.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=−x2+(ex−e−x)sin⁡xy=-x^2+(\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x})\sin x 在区间 [−2.8,2.8][-2.8,2.8] 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=2∣x∣+∣x−2∣f(x)=2|x|+|x-2|.
(1) 求不等式 f(x)≤6−xf(x)\le6-x 的解集； (2) 在直角坐标系 xOyxOy 中，求由不等式 f(x)≤yf(x)\le y 与 x+y−6≤0x+y-6\le0 所确定的平面区域的面积.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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08函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=x3+ax+2f(x)=x^3+ax+2 存在 33 个零点，则 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
(−∞,−2)(-\infty,-2)
B.
(−∞,−3)(-\infty,-3)
C.
(−4,−1)(-4,-1)
D.
(−3,0)(-3,0)

2023 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 x=3cos⁡2tx=\sqrt{3}\cos 2t，y=2sin⁡ty=2\sin t（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 ll 的极坐标方程为 ρsin⁡(θ+π3)+m=0\rho \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)+m=0.
(1) 写出 ll 的直角坐标方程； (2) 若 ll 与 C 有公共点，求 mm 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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08函数与初等函数★★★☆☆
如图是下列四个函数中的某个函数在区间 [−3,3][-3,3] 的大致图像，则该函数是（ ）
A.
y=−x3+3xx2+1y=\dfrac{-x^3+3x}{x^2+1}
B.
y=x3−xx2+1y=\dfrac{x^3-x}{x^2+1}
C.
y=2xcos⁡xx2+1y=\dfrac{2x\cos x}{x^2+1}
D.
y=2sin⁡xx2+1y=\dfrac{2\sin x}{x^2+1}

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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16函数与初等函数★★★☆☆
若 f(x)=ln⁡∣a+11−x∣+bf(x)=\ln\left|a+\dfrac{1}{1-x}\right|+b 是奇函数，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}，b=‾b=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★★☆☆
设函数 f(x)=ln⁡∣2x+1∣−ln⁡∣2x−1∣f(x)=\ln |2x+1|-\ln |2x-1|，则 f(x)f(x)（ ）
A.
是偶函数，且在 (12,+∞)\left( \dfrac{1}{2},+\infty \right) 单调递增
B.
是奇函数，且在 (−12,12)\left( -\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2} \right) 单调递减
C.
是偶函数，且在 (−∞,−12)\left( -\infty,-\dfrac{1}{2} \right) 单调递增
D.
是奇函数，且在 (−∞,−12)\left( -\infty,-\dfrac{1}{2} \right) 单调递减

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)f(x) 是定义域为 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 的奇函数，满足 f(1−x)=f(1+x)f(1-x)=f(1+x)，若 f(1)=2f(1)=2，则 f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=（ ）
A.
−50-50
B.
00
C.
22
D.
5050

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
某企业生产甲、乙两种产品均需用 A、B 两种原料，已知生产 1 吨1\text{ 吨} 每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示. 如果生产 1 吨1\text{ 吨} 甲、乙产品可获利润分别为 3 万元3\text{ 万元}，4 万元4\text{ 万元}，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
B（吨）128
A.
12 万元12\text{ 万元}
B.
16 万元16\text{ 万元}
C.
17 万元17\text{ 万元}
D.
18 万元18\text{ 万元}

2015 · 陕西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
如图，某飞行器在 4 千米高空水平飞行，从距着陆点 AA 的水平距离 10 千米处下降. 已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则函数的解析式为（ ）
A.
y=1125x3−35xy = \frac{1}{125} x^3 - \frac{3}{5} x
B.
y=2125x3−45xy = \frac{2}{125} x^3 - \frac{4}{5} x
C.
y=3125x3−xy = \frac{3}{125} x^3 - x
D.
y=−3125x3+15xy = -\frac{3}{125} x^3 + \frac{1}{5} x

2014 · 陕西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★☆☆
如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（ ）
\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 设三次函数为 f(x)=Ax3+Bx2+Cx+Df(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D. 由图可知曲线在 O(0,0)O(0,0) 处与直线 y=−xy=-x 相切，在 (2,0)(2,0) 处与直线 y=3x−6y=3x-6 相切，所以 f(0)=0f(0)=0，f′(0)=−1f'(0)=-1，f(2)=0f(2)=0，f′(2)=3f'(2)=3. 于是 D=0D=0，C=−1C=-1，并且 8A+4B−2=08A+4B-2=0，12A+4B−1=312A+4B-1=3，即 4A+2B=14A+2B=1，3A+B=13A+B=1. 解得 A=12A=\frac12，B=−12B=-\frac12. 因此 f(x)=12x3−12x2−xf(x)=\frac12x^3-\frac12x^2-x. 所以选 A. \end{solution}
A.
y=12x3−12x2−xy = \frac{1}{2} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - x
B.
y=12x3+12x2−3xy = \frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 3x
C.
y=14x3−xy = \frac{1}{4} x^3 - x
D.
y=14x3+12x2−2xy = \frac{1}{4} x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 2x

2014 · 陕西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={(x−1x)6,x<0,−x,x⩾0,f(x)=\begin{cases} \left(x-\dfrac{1}{x}\right)^6, & x<0,\\ -\sqrt{x}, & x\geqslant0, \end{cases}
则当 x>0x>0 时，f[f(x)]f[f(x)] 表达式的展开式中常数项为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 当 x>0x>0 时，f(x)=−x<0f(x)=-\sqrt{x}<0，因此应使用函数的第一段：f[f(x)]=(−x−1−x)6=(1x−x)6=x−3(1−x)6f[f(x)]=\left(-\sqrt{x}-\dfrac{1}{-\sqrt{x}}\right)^6=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}\right)^6=x^{-3}(1-x)^6. 展开得 x−3∑k=06(−1)kC6kxkx^{-3}\sum_{k=0}^{6}(-1)^k\mathrm C_6^k x^k. 常数项对应 k=3k=3，其系数为 (−1)3C63=−20(-1)^3\mathrm C_6^3=-20，故选 A. \end{solution}
A.
−20-20
B.
2020
C.
−15-15
D.
1515

2013 · 陕西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300 m2300 \mathrm{~m}^{2} 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长 xx（单位 m\mathrm{m}）的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设矩形的另一边长为 yy. 三角形的底边和高均为 4040，由相似三角形可得矩形上边所在的水平截面长为 40−y40-y，所以 x=40−yx=40-y，即 y=40−xy=40-x. 矩形面积不小于 300300 给出 x(40−x)⩾300x(40-x)\geqslant300，整理得 x2−40x+300⩽0x^2-40x+300\leqslant0，即 (x−10)(x−30)⩽0(x-10)(x-30)\leqslant0. 因而 10⩽x⩽3010\leqslant x\leqslant30，故选 C. \end{solution}
A.
[15,20]\left[15,20\right]
B.
[12,25]\left[12,25\right]
C.
[10,30]\left[10,30\right]
D.
[20,30]\left[20,30\right]

2013 · 陕西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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07解析几何★★★☆☆
若点 (x,y)(x, y) 位于曲线 y=∣x∣y = |x| 与 y=2y = 2 所围成的封闭区域，则 2x−y2x - y 的最小值是（ ）
A.
−6-6
B.
−2-2
C.
0
D.
2

2013 · 陕西 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
设 [x][x] 表示不大于 xx 的最大整数，则对任意实数 xx，有（ ）
A.
[−x]=−[x][-x] = -[x]
B.
[x+12]=[x]\left[x + \frac{1}{2}\right] = [x]
C.
[2x]=2[x][2x] = 2[x]
D.
[x]+[x+12]=[2x][x] + \left[x + \frac{1}{2}\right] = [2x]

2013 · 陕西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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14函数与初等函数★★★☆☆
在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长 xx 为______m\mathrm{m}.

2013 · 陕西 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={ln⁡x,x>0,−2x−1,x⩽0,f(x) = \begin{cases} \ln x, & x > 0,\\ -2x - 1, & x \leqslant 0, \end{cases}
DD 是由 xx 轴和曲线 y=f(x)y = f(x) 及该曲线在点 (1,0)(1,0) 处的切线所围成的封闭区域，则 z=x−2yz = x - 2y 在 DD 上的最大值为______.

2012 · 陕西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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06函数与初等函数★★★☆☆
函数 f(x)=x−cos⁡xf(x) = \sqrt{x} - \cos x 在 [0,+∞)[0, +\infty) 内（ ）
A.
没有零点
B.
有且仅有一个零点
C.
有且仅有两个零点
D.
有无穷多个零点

2011 · 陕西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
如图，x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3} 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，pp 为该题的最终得分，当 x1=6x_{1} = 6，x2=9x_{2} = 9，p=8.5p = 8.5 时，x3x_{3} 等于（ ）
A.
11
B.
10
C.
8
D.
7

2011 · 陕西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★☆☆
设 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，一元二次方程 x2−4x+n=0x^2 - 4x + n = 0 有整数根的充要条件是 n=n =______.

2011 · 陕西 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
植树节某班 2020 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米10\text{ 米}，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为______米\text{米}.

2011 · 陕西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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