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1917分概率与统计★★★☆☆
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异. 经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 cc，将该指标大于 cc 的人判定为阳性，小于或等于 cc 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p(c)p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 q(c)q(c). 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1) 当漏诊率 p(c)=0.5%p(c)=0.5\% 时，求临界值 cc 和误诊率 q(c)q(c)； (2) 设函数 f(c)=p(c)+q(c)f(c)=p(c)+q(c). 当 c∈[95,105]c\in[95,105] 时，求 f(c)f(c) 的解析式，并求 f(c)f(c) 在区间 [95,105][95,105] 的最小值.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=2∣x−a∣−af(x)=2|x-a|-a，a>0a>0.
(1) 求不等式 f(x)<xf(x)<x 的解集； (2) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与 xx 轴所围成的图形的面积为 22，求 aa.

2023 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=2∣x∣+∣x−2∣f(x)=2|x|+|x-2|.
(1) 求不等式 f(x)≤6−xf(x)\le6-x 的解集； (2) 在直角坐标系 xOyxOy 中，求由不等式 f(x)≤yf(x)\le y 与 x+y−6≤0x+y-6\le0 所确定的平面区域的面积.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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22解析几何★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 x=3cos⁡2tx=\sqrt{3}\cos 2t，y=2sin⁡ty=2\sin t（tt 为参数），以坐标原点为极点，xx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 ll 的极坐标方程为 ρsin⁡(θ+π3)+m=0\rho \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)+m=0.
(1) 写出 ll 的直角坐标方程； (2) 若 ll 与 C 有公共点，求 mm 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣f(x)=|x-2|，g(x)=∣2x+3∣−∣2x−1∣g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 的图像； (2) 若 f(x+a)≥g(x)f(x+a)\ge g(x)，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣f(x)=|x-2|，g(x)=∣2x+3∣−∣2x−1∣g(x)=|2x+3|-|2x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 的图像； (2) 若 f(x+a)≥g(x)f(x+a)\ge g(x)，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\left\lvert 3x+1 \right\rvert-2\left\lvert x-1 \right\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\lvert 3x+1\rvert-2\lvert x-1\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量 v=f(x)=qxv=f(x)=\frac{q}{x}，其中 xx 为道路密度，qq 为车辆密度，且 f(x)=100−135(13)80xf(x)=100-135\left(\frac13\right)^{\frac{80}{x}}（0<x<400<x<40）， f(x)=−k(x−40)+85f(x)=-k(x-40)+85（40≤x≤8040\le x\le80）.
(1) 若交通流量 v>95v>95，求道路密度 xx 的取值范围； (2) 已知道路密度 x=80x=80 时，测得交通流量 v=50v=50，求车辆密度 qq 的最大值.

2020 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
有一条长为 120120 米的步行道 OAOA，AA 是垃圾投放点 ω1\omega_1，若以 OO 为原点，OAOA 为 xx 轴正半轴建立直角坐标系，设点 B(x,0)B(x,0)，现要建设另一座垃圾投放点 ω2(t,0)\omega_2(t,0)，函数 ft(x)f_t(x) 表示与 BB 点距离最近的垃圾投放点的距离.
(1) 若 t=60t=60，求 f60(10)f_{60}(10)，f60(80)f_{60}(80)，f60(95)f_{60}(95) 的值，并写出 f60(x)f_{60}(x) 的函数解析式； (2) 若可以通过 ft(x)f_t(x) 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利. 问：垃圾投放点 ω2\omega_2 建在何处才能比建在中点时更加便利？

2020 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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17导数及其应用★★★☆☆
某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 OO 在水平线 MNMN 上，桥 ABAB 与 MNMN 平行，OO′OO' 为铅垂线（O′O' 在 ABAB 上）. 经测量，左侧曲线 AOAO 上任一点 DD 到 MNMN 的距离 h1h_1（ m\mathrm{~m}）与 DD 到 OO′OO' 的距离 aa（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h1=140a2h_1=\dfrac{1}{40}a^2；右侧曲线 BOBO 上任一点 FF 到 MNMN 的距离 h2h_2（ m\mathrm{~m}）与 FF 到 OO′OO' 的距离 bb（ m\mathrm{~m}）之间满足关系式 h2=−1800b3+6bh_2=-\dfrac{1}{800}b^3+6b. 已知点 BB 到 OO′OO' 的距离为 40 m40\mathrm{~m}.
(1) 求桥 ABAB 的长度； (2) 计划在谷底两侧建造平行于 OO′OO' 的桥墩 CDCD 和 EFEF，且 CECE 为 80 m80\mathrm{~m}，其中 CC，EE 在 ABAB 上（不包括端点）. 桥墩 EFEF 每米造价 kk（万元），桥墩 CDCD 每米造价 32k\dfrac32k（万元）（k>0k>0）. 问 O′EO'E 为多少米时，桥墩 CDCD 与 EFEF 的总造价最低？

2020 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

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18函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)=ax+1x+1f(x)=ax+\frac1{x+1}（a∈Ra\in\mathbf{R}）.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)+1<f(x+1)f(x)+1<f(x+1) 的解集； (2) 若 x∈[1,2]x\in[1,2] 时，f(x)f(x) 有零点，求 aa 的范围.

2019 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=∣2x+1∣+∣x−1∣f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 当 x∈[0,+∞)x\in[0,+\infty) 时，f(x)≤ax+bf(x)\le ax+b，求 a+ba+b 的最小值.

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=∣2x+1∣+∣x−1∣f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 当 x∈[0,+∞)x\in[0,+\infty) 时，f(x)≤ax+bf(x)\le ax+b，求 a+ba+b 的最小值.

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
设常数 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=asin⁡2x+2cos⁡2xf(x)=a\sin2x+2\cos^2x.
(1) 若 f(x)f(x) 为偶函数，求 aa 的值； (2) 若 f(π4)=3+1f\left(\frac\pi4\right)=\sqrt3+1，求方程 f(x)=1−2f(x)=1-\sqrt2 在区间 [−π,π][-\pi,\pi] 上的解.

2018 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时. 某地上班族 SS 中的成员仅以自驾或公交方式通勤. 分析显示：当 SS 中 x%x\%（0<x<1000<x<100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间 f(x)f(x)（单位：分钟）为
f(x)={30,0<x≤30,2x+1800x−90,30<x<100f(x)=\begin{cases} 30, & 0<x\le30,\\ 2x+\frac{1800}{x}-90, & 30<x<100 \end{cases}
而公交群体的人均通勤时间不受 xx 影响，恒为 4040 分钟. 试根据上述分析结果回答下列问题：
(1) 当 xx 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2) 求该地上班族 SS 的人均通勤时间 g(x)g(x) 的表达式；讨论 g(x)g(x) 的单调性，并说明其实际意义.

2018 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x+1∣−∣x−2∣f(x)=\lvert x+1\rvert-\lvert x-2\rvert.
(1) 求不等式 f(x)≥1f(x)\ge 1 的解集； (2) 若不等式 f(x)≥x2−x+mf(x)\ge x^2-x+m 的解集非空，求 mm 的取值范围.

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★☆☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 y=x2+mx−2y=x^2+mx-2 与 xx 轴交于 AA，BB 两点，点 CC 的坐标为 (0,1)(0,1)，当 mm 变化时，解答下列问题：
(1) 能否出现 AC⊥BCAC\perp BC 的情况？说明理由； (2) 证明过 AA，BB，CC 三点的圆在 yy 轴上截得的弦长为定值.

2017 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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19数列★★★☆☆
根据预测，某地第 nn（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 ana_n 和 bnb_n（单位：辆），其中
an={5n4+15,1≤n≤3,−10n+470,n≥4,bn=n+5a_n=\begin{cases} 5n^4+15,&1\le n\le 3,\\ -10n+470,&n\ge4, \end{cases}\quad b_n=n+5
，第 nn 个月底的共享单车的保有量是前 nn 个月的累计投放量与累计损失量的差.
(1) 求该地区第 44 个月底的共享单车的保有量； (2) 已知该地共享单车停放点第 nn 个月底的单车容纳量 Sn=−4(n−46)2+8800S_n=-4(n-46)^2+8800（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

2017 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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18不等式★★★☆☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，函数 f(x)=2x+a2x+1f(x)=\dfrac{2^x+a}{2^x+1}.
(1) 求 aa 的值，使得 f(x)f(x) 为奇函数； (2) 若 f(x)<a+22f(x)<\dfrac{a+2}{2} 对任意 x∈Rx\in\mathbf{R} 成立，求 aa 的取值范围.

2017 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x+1∣−∣2x−3∣f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1) 在图中画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 ∣f(x)∣>1|f(x)|>1 的解集.

2016 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★☆☆
某公司计划购买 11 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200200 元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100100 台这种机器在三年试用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记 xx 表示 11 台机器在三年试用期内需更换的易损零件数，yy 表示 11 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），nn 表示购机的同时购买的易损零件数.
(1) 若 n=19n=19，求 yy 与 xx 的函数解析式； (2) 若要求“需更换的易损零件数不大于 nn”的频率不小于 0.50.5，求 nn 的最小值； (3) 假设这 100100 台机器在购机的同时每台都购买 1919 个易损零件，或每台都购买 2020 个易损零件，分别计算这 100100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 11 台机器的同时应购买 1919 个还是 2020 个易损零件？

2016 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x+1∣−∣2x−3∣f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1) 在图中画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 ∣f(x)∣>1|f(x)|>1 的解集.

2016 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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16不等式★★★☆☆
某化工厂生产甲，乙两种混合肥料，需要 AA，BB，CC 三种主要原料，生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：
肥料\end{tabular}AABBCC
乙5510
现有 AA 种原料 200 吨，BB 种原料 360 吨，CC 种原料 300 吨，在此基础上生产甲，乙两种肥料. 已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元. 分别用 xx，yy 表示计划生产甲，乙两种肥料的车皮数.
(1) 用 xx，yy 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2) 问分别生产甲，乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.

2016 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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29不等式★★★☆☆
对于函数 f(x)f(x) 与 g(x)g(x)，记集合 Df>g={x∣f(x)>g(x)}D_{f>g}=\{x\mid f(x)>g(x)\}.
(1) 设 f(x)=2∣x∣f(x)=2\lvert x\rvert，g(x)=x+3g(x)=x+3，求 Df>gD_{f>g}； (2) 设 f1(x)=x−1f_1(x)=x-1，f2(x)=(13)x+a⋅3x+1f_2(x)=\left(\dfrac13\right)^x+a\cdot3^x+1，h(x)=0h(x)=0.如果 Df1>h∪Df2>h=RD_{f_1>h}\cup D_{f_2>h}=\mathbf{R}，求实数 aa 的取值范围.

2016 · 上海 · 春季 · 第 29 题 · 解答题

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