数迹
题目列表试卷列表
共找到 27 题
排序：
组题
本页 25 题去组卷
07不等式★★★☆☆
已知 x≤3x\le 3，2x−y−2≥02x-y-2\ge 0，3x+y−8≥03x+y-8\ge 0，z=x−yz=x-y，则 zz 的最大值为______.

2021 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

查看答案和解析
18函数与初等函数★★★☆☆
已知 f(x)=ax+1x+1f(x)=ax+\frac1{x+1}（a∈Ra\in\mathbf{R}）.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)+1<f(x+1)f(x)+1<f(x+1) 的解集； (2) 若 x∈[1,2]x\in[1,2] 时，f(x)f(x) 有零点，求 aa 的范围.

2019 · 上海 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
19函数与初等函数★★★☆☆
某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时. 某地上班族 SS 中的成员仅以自驾或公交方式通勤. 分析显示：当 SS 中 x%x\%（0<x<1000<x<100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间 f(x)f(x)（单位：分钟）为
f(x)={30,0<x≤30,2x+1800x−90,30<x<100f(x)=\begin{cases} 30, & 0<x\le30,\\ 2x+\frac{1800}{x}-90, & 30<x<100 \end{cases}
而公交群体的人均通勤时间不受 xx 影响，恒为 4040 分钟. 试根据上述分析结果回答下列问题：
(1) 当 xx 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2) 求该地上班族 SS 的人均通勤时间 g(x)g(x) 的表达式；讨论 g(x)g(x) 的单调性，并说明其实际意义.

2018 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
10解析几何★★★☆☆
设 a>0a>0，b>0b>0，若关于 xx，yy 的方程组
{ax+y=1,x+by=1\begin{cases} ax+y=1,\\ x+by=1 \end{cases}
无解，则 a+ba+b 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

查看答案和解析
13不等式★★★☆☆
设 a>0a>0，b>0b>0，若关于 xx，yy 的方程组
{ax+y=1,x+by=1\begin{cases} ax+y=1,\\ x+by=1 \end{cases}
无解，则 a+ba+b 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

查看答案和解析
18函数与初等函数★★★☆☆
设
f(x)={(x−a)2,x⩽0,x+1x+a,x>0,f(x) = \begin{cases} (x - a)^2, & x \leqslant 0,\\ x + \frac{1}{x} + a, & x > 0, \end{cases}
若 f(0)f(0) 是 f(x)f(x) 的最小值，则 aa 的取值范围为（ ）
A.
[−1,2][-1, 2]
B.
[−1,0][-1,0]
C.
[1,2][1, 2]
D.
[0,2][0,2]

2014 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

查看答案和解析
09函数与初等函数★★★☆☆
设
f(x)={(x−a)2,x⩽0,x+1x+a,x>0,f(x) = \begin{cases} (x - a)^2, & x \leqslant 0,\\ x + \frac{1}{x} + a, & x > 0, \end{cases}
若 f(0)f(0) 是 f(x)f(x) 的最小值，则 aa 的取值范围为______.
\begin{answer} [0,2]\left[0,2\right] \end{answer}
\begin{solution} 有 f(0)=a2f(0)=a^2. 若 a<0a<0，则点 x=a⩽0x=a\leqslant0 属于第一段定义域，且 f(a)=0<a2=f(0)f(a)=0<a^2=f(0)，不合题意，所以必须有 a⩾0a\geqslant0. 此时对任意 x⩽0x\leqslant0，有 a−x⩾aa-x\geqslant a，从而 f(x)=(a−x)2⩾a2=f(0)f(x)=(a-x)^2\geqslant a^2=f(0). 对任意 x>0x>0，由基本不等式得 x+1x+a⩾2+ax+\dfrac1x+a\geqslant2+a，且在 x=1x=1 时取等号. 因而 f(0)f(0) 为全局最小值的充要条件是 a2⩽a+2a^2\leqslant a+2. 联立 a⩾0a\geqslant0，得 (a−2)(a+1)⩽0(a-2)(a+1)\leqslant0，所以 0⩽a⩽20\leqslant a\leqslant2. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

查看答案和解析
15集合与逻辑基础★★★☆☆
设常数 a∈Ra \in \mathbf{R}，集合 A={x∣(x−1)(x−a)⩾0}A=\{x\mid(x-1)(x-a)\geqslant 0\}，B={x∣x⩾a−1}B=\{x\mid x\geqslant a-1\}. 若 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}，则 aa 的取值范围为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 当 a⩽1a\leqslant1 时，
A=(−∞,a]∪[1,+∞)A=(-\infty,a]\cup[1,+\infty)
而 B=[a−1,+∞)B=[a-1,+\infty). 因为 a−1<aa-1<a，三段合起来覆盖整个实数轴.
当 a>1a>1 时，
A=(−∞,1]∪[a,+∞)A=(-\infty,1]\cup[a,+\infty)
要使 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}，必须使 BB 的左端点满足 a−1⩽1a-1\leqslant1，即 a⩽2a\leqslant2；反之 1<a⩽21<a\leqslant2 时确实有 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}. 综上 a⩽2a\leqslant2，故选 B. \end{solution}
A.
(−∞,2)(-\infty,2)
B.
(−∞,2](-\infty,2]
C.
(2,+∞)(2,+\infty)
D.
[2,+∞)[2,+\infty)

2013 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

查看答案和解析
20导数及其应用★★★☆☆
甲厂以 xx 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 1⩽x⩽101\leqslant x\leqslant 10），每一小时可获得利润是 100(5x+1−3x)100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right) 元.
(1) 要使生产该产品 22 小时获得的利润不低于 30003000 元，求 xx 的取值范围； (2) 要使生产 900900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

2013 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
13不等式★★★☆☆
设常数 a>0a > 0. 若 9x+a2x⩾a+19x + \frac{a^2}{x} \geqslant a + 1 对一切正实数 xx 成立，则 aa 的取值范围为______.
\begin{answer} a⩾15a \geqslant \frac{1}{5} \end{answer}
\begin{solution} 因为 a>0a>0、x>0x>0，由基本不等式
9x+a2x⩾29x⋅a2x=6a9x+\frac{a^2}{x}\geqslant2\sqrt{9x\cdot\frac{a^2}{x}}=6a
当 9x=a2x9x=\frac{a^2}{x}，即 x=a3>0x=\frac{a}{3}>0 时等号成立，所以左端的最小值为 6a6a. 题设不等式对一切正实数 xx 成立，当且仅当 6a⩾a+16a\geqslant a+1，即 a⩾15a\geqslant\frac15. \end{solution}

2013 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

查看答案和解析
16集合与逻辑基础★★★☆☆
设常数 a∈Ra \in \mathbf{R}，集合 A={x∣(x−1)(x−a)⩾0}A = \{x \mid \left(x - 1\right)\left(x - a\right) \geqslant 0\}，B={x∣x⩾a−1}B = \{x \mid x \geqslant a - 1\}. 若 A∪B=RA \cup B = \mathbf{R}，则 aa 的取值范围为（\quad）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 若 a⩽1a\leqslant1，则
A=(−∞,a]∪[1,+∞),B=[a−1,+∞)A=(-\infty,a]\cup[1,+\infty),\qquad B=[a-1,+\infty)
由于 a−1⩽aa-1\leqslant a，此时 A∪B=RA\cup B=\mathbf{R}.
若 a>1a>1，则
A=(−∞,1]∪[a,+∞),B=[a−1,+∞)A=(-\infty,1]\cup[a,+\infty),\qquad B=[a-1,+\infty)
要覆盖区间 (1,a)(1,a)，必须且只需 a−1⩽1a-1\leqslant1，即 a⩽2a\leqslant2. 综合两种情形，a⩽2a\leqslant2，故选 B. \end{solution}
A.
(−∞,2)\left(-\infty, 2\right)
B.
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
C.
(2,+∞)\left(2, +\infty\right)
D.
[2,+∞)\left[2, +\infty\right)

2013 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

查看答案和解析
21函数与初等函数★★★☆☆
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 yy 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里1\text{ 海里} 为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里12\text{ 海里} AA 处，如图. 现假设：
① 失事船的移动路径可视为抛物线 y=1249x2y = \frac{12}{49} x^2； ② 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援； ③ 救援船出发 tt 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t7t.
(1) 当 t=0.5t = 0.5 时，写出失事船所在位置 PP 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向； (2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

2012 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
10不等式★★★☆☆
满足约束条件 ∣x∣+2∣y∣⩽2|x| + 2|y| \leqslant 2 的目标函数 z=y−xz = y - x 的最小值是______.

2012 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

查看答案和解析
21解析几何★★★☆☆
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 yy 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里1\text{ 海里} 为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里12\text{ 海里} AA 处，如图. 现假设：
① 失事船的移动路径可视为抛物线 y=1249x2y = \frac{12}{49} x^{2}； ② 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援； ③ 救援船出发 tt 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t7t.
(1) 当 t=0.5t = 0.5 时，写出失事船所在位置 PP 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向； (2) 问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

2012 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
14不等式★★★☆☆
某地街道呈现东—西，南—北向的网格状，相邻街距都为 11，两街道相交的点称为格点. 若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点 (−2,2)(-2, 2)，(3,1)(3, 1)，(3,4)(3, 4)，(−2,3)(-2, 3)，(4,5)(4, 5) 为报刊零售点. 请确定一个格点为发行站，使 55 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短，发行站为______.

2009 · 上海 · 文 · 第 14 题 · 填空题

查看答案和解析
10概率与统计★★★☆☆
已知总体的各个体的值由小到大依次为 22，33，33，77，aa，bb，1212，13.713.7，18.318.3，2020，且总体的中位数为 10.510.5. 若要使该总体的方差最小，则 aa，bb 的取值分别是______.

2008 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

查看答案和解析
18函数与初等函数★★★☆☆
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快. 20022002 年全球太阳电池的年生产量达到 670 兆瓦670\text{ 兆瓦}，年生产量的增长率为 34%34\%. 以后 44 年中，年生产量的增长率逐年递增 2%2\%（如，20032003 年的年生产量的增长率为 36%36\%）.
(1) 求 20062006 年全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦0.1\text{ 兆瓦}）； (2) 目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，20062006 年的实际安装量为 1420 兆瓦1420\text{ 兆瓦}. 假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%42\%，到 20102010 年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%95\%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到 0.1%0.1\%）？

2007 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
08计数原理与组合数学★★★☆☆
某工程由 AA，BB，CC，DD 四道工序组成，完成它们需用时间依次为 2 天2\text{ 天}，5 天5\text{ 天}，x 天x\text{ 天}，4 天4\text{ 天}. 四道工序的先后顺序及相互关系是： AA，BB 可以同时开工； AA 完成后，CC 可以开工； BCBC 完成后，DD 可以开工. 若该工程总时数为 99 天，则完成工序 CC 需要的天数 xx 最大是______.

2007 · 上海 · 文 · 第 8 题 · 填空题

查看答案和解析
19函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2+axf(x) = x^2 + \frac{a}{x}（x≠0x \neq 0，常数 a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 当 a=2a = 2 时，解不等式 f(x)−f(x−1)>2x−1f(x) - f(x - 1) > 2x - 1； (2) 讨论函数 f(x)f(x) 的奇偶性，并说明理由.

2007 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
15不等式★★★☆☆
若关于 xx 的不等式 (1+k2)x⩽k4+4(1 + k^2)x \leqslant k^4 + 4 的解集是 MM，则对任意实数 kk，总有（ ）
A.
2∈M2 \in M，0∈M0 \in M
B.
22 不属于 MM，00 不属于 MM
C.
2∈M2 \in M，00 不属于 MM
D.
22 不属于 MM，0∈M0 \in M

2006 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

查看答案和解析
18复数★★★☆☆
证明：在复数范围内，方程 ∣z∣2+(1−i)z‾−(1+i)z=5−5i2+i|z|^2 + (1 - \mathrm{i})\overline{z} - (1 + \mathrm{i})z = \frac{5 - 5\mathrm{i}}{2 + \mathrm{i}} （i\mathrm{i} 为虚数单位）无解.

2005 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
19解析几何★★★☆☆
已知函数 f(x)=kx+bf(x) = kx + b 的图象与 xx，yy 轴分别相交于点 AA，BB，AB→=2i+2j\overrightarrow{AB} = 2\boldsymbol{i} + 2\boldsymbol{j}（i\boldsymbol{i}，j\boldsymbol{j} 分别是与 xx，yy 轴正半轴同方向的单位向量），函数 g(x)=x2−x−6g(x) = x^2 - x - 6.
(1) 求 kk，bb 的值； (2) 当 xx 满足 f(x)>g(x)f(x) > g(x) 时，求函数 g(x)+1f(x)\frac{g(x) + 1}{f(x)} 的最小值.

2005 · 上海 · 文 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
16不等式★★★☆☆
某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下：
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ）
A.
计算机行业好于化工行业
B.
建筑行业好于物流行业
C.
机械行业最紧张
D.
营销行业比贸易行业紧张

2004 · 上海 · 理 · 第 16 题 · 选择题

查看答案和解析
18不等式★★★☆☆
某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 xx，yy（单位：m\mathrm{m}）的矩形. 上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 8 m28 \mathrm{~m}^{2}. 问 xx，yy 分别为多少（精确到 0.001 m0.001 \mathrm{~m}）时用料最省？

2004 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
16集合与逻辑基础★★★☆☆
某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下：
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（\quad）
A.
计算机行业好于化工行业
B.
建筑行业好于物流行业
C.
机械行业最紧张
D.
营销行业比贸易行业紧张

2004 · 上海 · 文 · 第 16 题 · 选择题

查看答案和解析