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13不等式★★★☆☆
若 a>0a>0，b>0b>0，则 1a+ab2+b\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{b^2}+b 的最小值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 天津 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
已知 a>0a>0，b>0b>0，且 ab=1ab=1，则 12a+12b+8a+b\dfrac1{2a}+\dfrac1{2b}+\dfrac8{a+b} 的最小值为______.

2020 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
设 x>0x>0，y>0y>0，x+2y=5x+2y=5，则 (x+1)(2y+1)xy\dfrac{(x+1)(2y+1)}{\sqrt{xy}} 的最小值为______. \begin{answer} 434\sqrt3 \end{answer}

2019 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
设 x>0x>0，y>0y>0，x+2y=5x+2y=5，则 (x+1)(2y+1)xy\dfrac{(x+1)(2y+1)}{xy} 的最小值为______.

2019 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，且 a−3b+6=0a-3b+6=0，则 2a+18b2^a+\dfrac1{8^b} 的最小值为______.

2018 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
电视台播放甲，乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告. 已知每次播放甲，乙两套连续剧时，连续剧播放时长，广告播放时长，收视人次如下表所示：
连续剧播放时长（分钟）广告播放时长（分钟）收视人次（万）
乙6060552525
已知电视台每周安排的甲，乙连续剧的总播放时间不多于 600600 分钟，广告的总播放时间不少于 3030 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 22 倍. 分别用 xx，yy 表示每周计划播出的甲，乙两套连续剧的次数.
(1) 用 xx，yy 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2) 问电视台每周播出甲，乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

2017 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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16不等式★★★☆☆
某化工厂生产甲，乙两种混合肥料，需要 AA，BB，CC 三种主要原料，生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：
肥料\end{tabular}AABBCC
乙5510
现有 AA 种原料 200 吨，BB 种原料 360 吨，CC 种原料 300 吨，在此基础上生产甲，乙两种肥料. 已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元. 分别用 xx，yy 表示计划生产甲，乙两种肥料的车皮数.
(1) 用 xx，yy 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2) 问分别生产甲，乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.

2016 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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08解析几何★★★☆☆
设 mm，n∈Rn \in \mathbf{R}，若直线 (m+1)x+(n+1)y−2=0(m + 1)x + (n + 1)y - 2 = 0 与圆 (x−1)2+(y−1)2=1(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1 相切，则 m+nm + n 的取值范围是（ ）
A.
[1−3,1+3][1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}]
B.
(−∞,1−3]∪[1+3,+∞)(-\infty, 1 - \sqrt{3}] \cup [1 + \sqrt{3}, +\infty)
C.
[2−22,2+22][2 - 2\sqrt{2}, 2 + 2\sqrt{2}]
D.
(−∞,2−22]∪[2+22,+∞)(-\infty, 2 - 2\sqrt{2}] \cup [2 + 2\sqrt{2}, +\infty)

2012 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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12解析几何★★★☆☆
设 mm，n∈Rn \in \mathbf{R}，若直线 l:mx+ny−1=0l: mx + ny - 1 = 0 与 xx 轴相交于点 AA，与 yy 轴相交于点 BB，且 ll 与圆 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 相交所得弦的长为 22，OO 为坐标原点，则 △AOB\triangle AOB 面积的最小值为______.

2012 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
已知集合 A={x∈R∣∣x+3∣+∣x−4∣⩽9}A = \{x \in \mathbf{R} \mid |x + 3| + |x - 4| \leqslant 9\}，B={x∈R∣x=4t+1t−6,t∈(0,+∞)}B = \left\{x \in \mathbf{R} \mid x = 4t + \frac{1}{t} - 6, t \in (0, +\infty)\right\}，则集合 A∩B=A \cap B =______. \begin{answer} {x∣−2⩽x⩽5}\{x \mid -2 \leqslant x \leqslant 5\} \end{answer}
\begin{solution} 分段求集合 AA. 当 x<−3x<-3 时，
∣x+3∣+∣x−4∣=1−2x⩽9⟺x⩾−4|x+3|+|x-4|=1-2x\leqslant9 \quad\Longleftrightarrow\quad x\geqslant-4
当 −3⩽x⩽4-3\leqslant x\leqslant4 时，左式等于 77，恒满足不等式. 当 x>4x>4 时，
∣x+3∣+∣x−4∣=2x−1⩽9⟺x⩽5|x+3|+|x-4|=2x-1\leqslant9 \quad\Longleftrightarrow\quad x\leqslant5
所以 A=[−4,5]A=[-4,5].
对 BB，由 4t>04t>0、1t>0\frac{1}{t}>0，且
4t+1t⩾24t⋅1t=44t+\frac1t\geqslant2\sqrt{4t\cdot\frac1t}=4
等号在 t=12t=\frac{1}{2} 时成立. 函数 4t+1t−64t+\frac{1}{t}-6 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上连续，且当 t→0+t\to0^+ 或 t→+∞t\to+\infty 时趋于 +∞+\infty，故
B=[−2,+∞)B=[-2,+\infty)
因此
A∩B=[−4,5]∩[−2,+∞)=[−2,5]A\cap B=[-4,5]\cap[-2,+\infty)=[-2,5]
\end{solution}

2011 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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12指数函数与对数函数★★★☆☆
已知 log⁡2a+log⁡2b⩾1\log_2 a + \log_2 b \geqslant 1，则 3a+9b3^a + 9^b 的最小值为______.

2011 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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06数列★★★☆☆
设 a>0a > 0，b>0b > 0. 若 3\sqrt{3} 是 3a3^{a} 与 3b3^{b} 的等比中项，则 1a+1b\frac{1}{a} + \frac{1}{b} 的最小值为（ ）
A.
88
B.
44
C.
11
D.
14\frac{1}{4}

2009 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★★☆☆
设 xx，y∈Ry \in \mathbf{R}，a>1a > 1，b>1b > 1. 若 ax=by=3a^x = b^y = 3，a+b=23a + b = 2\sqrt{3}，则 1x+1y\frac{1}{x} + \frac{1}{y} 的最大值为（ ）
A.
2
B.
32\frac{3}{2}
C.
1
D.
12\frac{1}{2}

2009 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
已知函数
f(x)={−x+1,x<0,x−1,x⩾0,f(x) = \begin{cases} -x + 1, & x < 0,\\ x - 1, & x \geqslant 0, \end{cases}
则不等式 x+(x+1)f(x+1)⩽1x + (x + 1)f(x + 1) \leqslant 1 的解集是（\quad）
A.
{x∣−1⩽x⩽2−1}\{x\mid -1\leqslant x\leqslant \sqrt{2} -1\}
B.
{x∣x⩽1}\{x\mid x\leqslant 1\}
C.
{x∣x⩽2−1}\{x\mid x\leqslant \sqrt{2} -1\}
D.
{x∣−2−1⩽x⩽2−1}\{x\mid -\sqrt{2} -1\leqslant x\leqslant \sqrt{2} -1\}

2008 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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03不等式★★★☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{y⩽x,x+y⩾2,y⩾3x−6,\begin{cases} y\leqslant x,\\ x+y\geqslant 2,\\ y\geqslant 3x-6, \end{cases}
则目标函数 z=2x+yz=2x+y 的最小值为（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
99

2006 · 天津 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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03不等式★★★☆☆
给出下列三个命题：
① 若 a⩾b>−1a\geqslant b>-1，则 a1+a⩾b1+b\dfrac{a}{1+a}\geqslant\dfrac{b}{1+b}； ② 若正整数 mm 和 nn 满足 m⩽nm\leqslant n，则 m(n−m)⩽n2\sqrt{m(n-m)}\leqslant\dfrac n2； ③ 设 P(x1,y1)P(x_1,y_1) 为圆 O1:x2+y2=9O_1:x^2+y^2=9 上任一点，圆 O2O_2 以 Q(a,b)Q(a,b) 为圆心且半径为 11. 当 (a−x1)2+(b−y1)2=1(a-x_1)^2+(b-y_1)^2=1 时，圆 O1O_1 与圆 O2O_2 相切.
其中假命题的个数为（\quad）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2005 · 天津 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
给出下列三个命题：
① 若 a⩾b>−1a \geqslant b > -1，则 a1+a⩾b1+b\frac{a}{1 + a} \geqslant \frac{b}{1 + b}； ② 若正整数 mm 和 nn 满足 m⩽nm \leqslant n，则 m(n−m)⩽n2\sqrt{m(n - m)} \leqslant \frac{n}{2}； ③ 设 P(x1,y1)P(x_{1}, y_{1}) 为圆 O1:x2+y2=9O_{1}: x^{2} + y^{2} = 9 上任一点，圆 O2O_{2} 以 Q(a,b)Q(a, b) 为圆心且半径为 11. 当 (a−x1)2+(b−y1)2=1(a - x_{1})^{2} + (b - y_{1})^{2} = 1 时，圆 O1O_{1} 与圆 O2O_{2} 相切.
其中假命题的个数为（\quad）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2005 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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