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065分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x+2ex+af(x)=\dfrac{x+2}{\mathrm{e}^x+a} 的最大值为 11，则 a=a=（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
11
C.
32\dfrac{3}{2}
D.
22

2026 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 都是正数，且 a32+b32+c32=1a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}=1，证明：
(1) abc≤19abc\le \frac{1}{9}； (2) ab+c+ba+c+ca+b≤12abc\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\le \frac{1}{2\sqrt{abc}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，c>0c>0，且 a32+b32+c32=1a^{\frac32}+b^{\frac32}+c^{\frac32}=1. 证明：
(1) abc≤19abc\le\dfrac19； (2) ab+c+bc+a+ca+b≤12abc\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\le\dfrac{1}{2\sqrt{abc}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a∣+∣x+3∣f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥6f(x)\ge 6 的解集； (2) 若 f(x)>−af(x)>-a，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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08不等式★★★☆☆
下列函数中最小值为 44 的是（ ）
A.
y=x2+2x+4y=x^2+2x+4
B.
y=∣sin⁡x∣+4∣sin⁡x∣y=|\sin x|+\dfrac{4}{|\sin x|}
C.
y=2x+22−xy=2^x+2^{2-x}
D.
y=ln⁡x+4ln⁡xy=\ln x+\dfrac{4}{\ln x}

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a∣+∣x+3∣f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥6f(x)\ge6 的解集； (2) 若 f(x)>−af(x)>-a，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\left\lvert 3x+1 \right\rvert-2\left\lvert x-1 \right\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣3x+1∣−2∣x−1∣f(x)=\lvert 3x+1\rvert-2\lvert x-1\rvert.
(1) 画出 y=f(x)y=f(x) 的图象； (2) 求不等式 f(x)>f(x+1)f(x)>f(x+1) 的解集.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为正数，且满足 abc=1abc=1. 证明：
(1) 1a+1b+1c≤a2+b2+c2\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2； (2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\ge24.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为正数，且满足 abc=1abc=1. 证明：
(1) 1a+1b+1c≤a2+b2+c2\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2； (2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\ge 24.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=∣x+1∣−∣ax−1∣f(x)=\lvert x+1\rvert-\lvert ax-1\rvert.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)>1f(x)>1 的解集； (2) 若 x∈(0,1)x\in(0,1) 时不等式 f(x)>xf(x)>x 成立，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=∣x+1∣−∣ax−1∣f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)>1f(x)>1 的解集； (2) 若 x∈(0,1)x\in(0,1) 时不等式 f(x)>xf(x)>x 成立，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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05不等式★★★☆☆
xx，yy 满足约束条件
{x+y−2⩽0,x−2y−2⩽0,2x−y+2⩾0,\begin{cases} x + y - 2 \leqslant 0,\\ x - 2y - 2 \leqslant 0,\\ 2x - y + 2 \geqslant 0, \end{cases}
若 z=y−axz = y - ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 aa 的值为（ ）
\begin{solution} 三个边界直线分别为 y=−x+2y=-x+2、y=12x−1y=\dfrac12x-1 和 y=2x+2y=2x+2，它们围成的可行域是顶点为 (−2,−2)(-2,-2)、(0,2)(0,2)、(2,0)(2,0) 的三角形. 目标函数 z=y−axz=y-ax 的等值线为 y=ax+zy=ax+z，最优解不唯一时，等值线必须与可行域的一条边重合. 当 a=−1a=-1 时，z=x+y⩽2z=x+y\leqslant2，在边 x+y=2x+y=2 上取得最大值；当 a=2a=2 时，z=y−2x⩽2z=y-2x\leqslant2，在边 2x−y+2=02x-y+2=0 上取得最大值. 另一条边的斜率为 12\dfrac12，但当 a=12a=\dfrac12 时，目标函数在三个顶点处的值依次为 −1-1，22，−1-1，最大值只在 (0,2)(0,2) 处取得. 所以 a=2a=2 或 −1-1，故选 D. \end{solution}
A.
12\frac{1}{2} 或 −1-1
B.
22 或 12\frac{1}{2}
C.
22 或 11
D.
22 或 −1-1

2014 · 安徽 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
若函数 f(x)=∣x+1∣+∣2x+a∣f(x) = |x + 1| + |2x + a| 的最小值为 3，则实数 aa 的值为（ ）
\begin{solution} 将 ∣2x+a∣\lvert2x+a\rvert 写成 2∣x+a2∣2\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert，则 f(x)=∣x+1∣+2∣x+a2∣f(x)=\lvert x+1\rvert+2\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert. 由三角不等式， f(x)=(∣x+1∣+∣x+a2∣)+∣x+a2∣⩾∣1−a2∣+∣x+a2∣⩾∣1−a2∣f(x)=\left(\lvert x+1\rvert+\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert\right)+\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert\geqslant\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert+\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert\geqslant\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert. 当 x=−a2x=-\dfrac a2 时，f(x)=∣1−a2∣f(x)=\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert，故函数最小值为 ∣1−a2∣\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert. 由题意 ∣1−a2∣=3\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert=3，得 a=−4a=-4 或 a=8a=8，故选 D. \end{solution}
A.
55 或 88
B.
−1-1 或 55
C.
−1-1 或 −4-4
D.
−4-4 或 88

2014 · 安徽 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
若函数 f(x)=∣x+1∣+∣2x+a∣f(x) = |x + 1| + |2x + a| 的最小值为 33，则实数 aa 的值为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
55 或 88
B.
−1-1 或 55
C.
−1-1 或 −4-4
D.
−4-4 或 88

2014 · 安徽 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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11不等式★★★☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x⩾0,x+2y⩾3,2x+y⩽3,\begin{cases} x \geqslant 0,\\ x + 2y \geqslant 3,\\ 2x + y \leqslant 3, \end{cases}
则 x−yx - y 的取值范围是______.

2012 · 安徽 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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17不等式★★★☆☆
设 f(x)=ax+1ax+bf(x) = ax + \frac{1}{ax} + b （a>0a > 0） 定义在 (0,+∞)(0, +\infty) 上.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小值； (2) 若曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程为 y=32xy = \frac{3}{2}x，求 aa，bb 的值.

2012 · 安徽 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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13不等式★★★☆☆
设 xx，yy 满足约束条件
{2x−y+2⩾0,8x−y−4⩽0,x⩾0,y⩾0\begin{cases} 2x - y + 2 \geqslant 0,\\ 8x - y - 4 \leqslant 0,\\ x \geqslant 0,\\ y \geqslant 0 \end{cases}
， 若目标函数 z=abx+yz = abx + y（a>0a > 0，b>0b > 0）的最大值为 88，则 a+ba + b 的最小值为______.

2010 · 安徽 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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15不等式★★★☆☆
若 a>0a > 0，b>0b > 0，a+b=2a + b = 2，则下列不等式对一切满足条件的 aa，bb 恒成立的是______.（写出所有正确命题的编号）
① ab⩽1ab \leqslant 1； ② a+b⩽2\sqrt{a} + \sqrt{b} \leqslant \sqrt{2}； ③ a2+b2⩾2a^2 + b^2 \geqslant 2； ④ a3+b3⩾3a^3 + b^3 \geqslant 3； ⑤ 1a+1b⩾2\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant 2.

2010 · 安徽 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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07不等式★★★☆☆
若不等式组
{x⩾0,x+3y⩾4,3x+y⩽4\begin{cases} x \geqslant 0,\\ x + 3y \geqslant 4,\\ 3x + y \leqslant 4 \end{cases}
所表示的平面区域被直线 y=kx+43y = kx + \frac{4}{3} 分为面积相等的两部分，则 kk 的值是（ ）
A.
73\frac{7}{3}
B.
37\frac{3}{7}
C.
43\frac{4}{3}
D.
34\frac{3}{4}

2009 · 安徽 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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15不等式★★★☆☆
若 AA 为不等式组
{x⩽0,y⩾0,y−x⩽2\begin{cases} x \leqslant 0,\\ y \geqslant 0,\\ y - x \leqslant 2 \end{cases}
表示的平面区域，则当 aa 从 −2-2 连续变化到 1 时，动直线 x+y=ax + y = a 扫过 AA 中的那部分区域的面积为______.

2008 · 安徽 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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11不等式★★★☆☆
若 AA 为不等式组
{x⩽0,y⩾0,y−x⩽2\begin{cases} x \leqslant 0,\\ y \geqslant 0,\\ y - x \leqslant 2 \end{cases}
表示的平面区域，则当 aa 从 −2-2 连续变化到 11 时，动直线 x+y=ax + y = a 扫过 AA 中的那部分区域的面积为（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
11
C.
74\frac{7}{4}
D.
22

2008 · 安徽 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
如果点 PP 在平面区域
{2x−y+2⩾0,x+y−2⩽0,2y−1⩾0\begin{cases} 2x - y + 2 \geqslant 0,\\ x + y - 2 \leqslant 0,\\ 2y - 1 \geqslant 0 \end{cases}
上，点 QQ 在曲线 x2+(y+2)2=1x^{2} + (y + 2)^{2} = 1 上，那么 ∣PQ∣\left|PQ\right| 的最小值为（ ）
A.
32\frac{3}{2}
B.
45−1\frac{4}{\sqrt{5}} - 1
C.
22−12\sqrt{2} - 1
D.
2−1\sqrt{2} - 1

2007 · 安徽 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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