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065分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x+2ex+af(x)=\dfrac{x+2}{\mathrm{e}^x+a} 的最大值为 11，则 a=a=（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
11
C.
32\dfrac{3}{2}
D.
22

2026 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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155分导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=∣2x−1∣−2ln⁡xf(x)=|2x-1|-2\ln x 的最小值为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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116分不等式★★★☆☆
已知 a>0a>0，b>0b>0，且 a+b=1a+b=1，则（ ）
A.
a2+b2≥12a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}
B.
2a−b>122^{a-b}>\dfrac{1}{2}
C.
log⁡2a+log⁡2b≥−2\log_2 a+\log_2 b\ge -2
D.
a+b≤2\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2}

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 11 题 · 多选题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为正数，且满足 abc=1abc=1. 证明：
(1) 1a+1b+1c≤a2+b2+c2\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2； (2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\ge24.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 为正数，且满足 abc=1abc=1. 证明：
(1) 1a+1b+1c≤a2+b2+c2\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2； (2) (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3\ge 24.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=∣x+1∣−∣ax−1∣f(x)=\lvert x+1\rvert-\lvert ax-1\rvert.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)>1f(x)>1 的解集； (2) 若 x∈(0,1)x\in(0,1) 时不等式 f(x)>xf(x)>x 成立，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=∣x+1∣−∣ax−1∣f(x)=|x+1|-|ax-1|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)>1f(x)>1 的解集； (2) 若 x∈(0,1)x\in(0,1) 时不等式 f(x)>xf(x)>x 成立，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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07不等式★★★☆☆
若 a>b>0a>b>0，且 ab=1ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A.
a+1b<b2a<log⁡2(a+b)a+\dfrac1b<\dfrac{b}{2a}<\log_2(a+b)
B.
b2a<log⁡2(a+b)<a+1b\dfrac{b}{2a}<\log_2(a+b)<a+\dfrac1b
C.
a+1b<log⁡2(a+b)<b2aa+\dfrac1b<\log_2(a+b)<\dfrac{b}{2a}
D.
log⁡2(a+b)<a+1b<b2a\log_2(a+b)<a+\dfrac1b<\dfrac{b}{2a}

2017 · 山东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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12不等式★★★☆☆
若直线 xa+yb=1\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1（a>0a>0，b>0b>0）过点 (1,2)(1,2)，则 2a+b2a+b 的最小值为______.

2017 · 山东 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (ax2+bx)6\left(ax^2 + \frac{b}{x}\right)^6 的展开式中 x3x^3 项的系数为 20，则 a2+b2a^2 + b^2 的最小值为______.

2014 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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10解析几何★★★☆☆
已知 xx，yy 满足约束条件
{x−y−1⩽0,2x−y−3⩾0,\begin{cases} x - y - 1 \leqslant 0,\\ 2x - y - 3 \geqslant 0, \end{cases}
当目标函数 z=ax+byz = ax + by（a>0a > 0，b>0b > 0）在该约束条件下取到最小值 252\sqrt{5} 时，a2+b2a^2 + b^2 的最小值为（ ）
A.
55
B.
44
C.
5\sqrt{5}
D.
22

2014 · 山东 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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12不等式★★★☆☆
设正实数 xx，yy，zz 满足 x2−3xy+4y2−z=0x^2 - 3xy + 4y^2 - z = 0，则当 xyz\frac{xy}{z} 取得最大值时，2x+1y−2z\frac{2}{x} + \frac{1}{y} - \frac{2}{z} 的最大值为（ ）
A.
00
B.
11
C.
94\frac{9}{4}
D.
33

2013 · 山东 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12不等式★★★☆☆
设正实数 xx，yy，zz 满足 x2−3xy+4y2−z=0x^2 - 3xy + 4y^2 - z = 0，则当 zxy\frac{z}{xy} 取得最小值时，x+2y−zx + 2y - z 的最大值为（ ）
A.
00
B.
98\frac{9}{8}
C.
22
D.
94\frac{9}{4}

2013 · 山东 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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14不等式★★★☆☆
若对任意 x>0x > 0，xx2+3x+1⩽a\frac{x}{x^2 + 3x + 1} \leqslant a 恒成立，则 aa 的取值范围是______.

2010 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
某公司租赁甲，乙两种设备生产 AA，BB 两类产品，甲种设备每天能生产 AA 类产品 55 件和 BB 类产品 1010 件，乙种设备每天能生产 AA 类产品 66 件和 BB 类产品 2020 件. 已知设备甲每天的租赁费为 200200 元，设备乙每天的租赁费为 300300 元. 现该公司至少要生产 AA 类产品 5050 件，BB 类产品 140140 件，所需租赁费最少为______元.

2009 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
若不等式 ∣3x−b∣<4|3x - b| < 4 的解集中的整数有且仅有 11，22，33，则 bb 的取值范围为______.

2008 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
设 DD 是不等式组
{x+2y⩽10,2x+y⩾3,0⩽x⩽4,y⩾1\begin{cases} x + 2y \leqslant 10,\\ 2x + y \geqslant 3,\\ 0 \leqslant x \leqslant 4,\\ y \geqslant 1 \end{cases}
表示的平面区域，则 DD 中的点 P(x,y)P(x, y) 到直线 x+y=10x + y = 10 距离的最大值是______.
\begin{answer}424\sqrt{2}\end{answer}
\begin{solution} 由 x⩾0x\geqslant0、y⩾1y\geqslant1 及 2x+y⩾32x+y\geqslant3，分两段估计 x+yx+y：当 0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1 时，y⩾3−2xy\geqslant3-2x，故 x+y⩾3−x⩾2x+y\geqslant3-x\geqslant2；当 x⩾1x\geqslant1 时，x+y⩾x+1⩾2x+y\geqslant x+1\geqslant2. 点 (1,1)(1,1) 满足全部约束，所以 x+yx+y 的最小值为 22.
另一方面，由 x+2y⩽10x+2y\leqslant10 和 y⩾1y\geqslant1 得 x+y⩽10−y⩽9<10x+y\leqslant10-y\leqslant9<10. 因此区域内点到直线 x+y=10x+y=10 的距离为
d=10−x−y2d=\frac{10-x-y}{\sqrt{2}}
其最大值在 x+y=2x+y=2 时取得，故
dmax⁡=10−22=42d_{\max}=\frac{10-2}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}
\end{solution}

2007 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16指数函数与对数函数★★★☆☆
函数 y=log⁡a(x+3)−1y = \log_a(x + 3) - 1（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的图象恒过定点 AA，若点 AA 在直线 mx+ny+1=0mx + ny + 1 = 0 上，其中 mn>0mn > 0，则 1m+2n\frac{1}{m} + \frac{2}{n} 的最小值为______.
\begin{answer}88\end{answer}
\begin{solution} 令 x+3=1x+3=1，则 x=−2x=-2，且对任意允许的底数 aa，都有 y=log⁡a1−1=−1y=\log_a1-1=-1. 所以定点为 A(−2,−1)A(-2,-1). 代入直线方程得 −2m−n+1=0-2m-n+1=0，2m+n=12m+n=1. 由 mn>0mn>0 及 2m+n=1>02m+n=1>0，可知 m>0m>0，n>0n>0. 令 u=2mu=2m，则 u>0u>0、n>0n>0 且 u+n=1u+n=1. 因此
1m+2n=2u+2n=2(1u+1n)=2(u+n)un=2un\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=\frac{2}{u}+\frac{2}{n}=2\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{n}\right)=\frac{2(u+n)}{un}=\frac{2}{un}
由 u+n=1u+n=1 得 un⩽14un\leqslant\frac{1}{4}，所以
1m+2n⩾8\frac{1}{m}+\frac{2}{n}\geqslant8
当 u=n=12u=n=\frac{1}{2}，即 m=14m=\frac{1}{4}，n=12n=\frac{1}{2} 时取等号，故最小值为 88. \end{solution}

2007 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
函数 y=a1−xy = a^{1 - x}（a>0a > 0，a≠1a \neq 1）的图象恒过定点 AA，若点 AA 在直线 mx+ny−1=0mx + ny - 1 = 0（mn>0mn > 0）上，则 1m+1n\frac{1}{m} + \frac{1}{n} 的最小值为______.

2007 · 山东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15不等式★★★☆☆
当 x∈(1,2)x \in (1,2) 时，不等式 x2+mx+4<0x^2 + mx + 4 < 0 恒成立，则 mm 的取值范围是______.

2007 · 山东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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19不等式★★★☆☆
本公司计划 20082008 年在甲，乙两个电视台做总时间不超过 300300 分钟的广告，广告总费用不超过 99 万元. 甲，乙电视台的广告收费标准分别为 500500 元/分钟和 200200 元/分钟. 规定甲，乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 0.30.3 万元和 0.20.2 万元. 问该公司如何分配在甲，乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

2007 · 山东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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08集合与逻辑基础★★★☆☆
设p:x2−x−20>0p:x^2-x-20>0，q:1−x2∣x∣−2<0q:\dfrac{1-x^2}{|x|-2}<0，则pp是qq的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 山东 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09集合与逻辑基础★★★☆☆
设 p:x2−x−2<0p: x^2 - x - 2 < 0，q:1+x∣x∣−2<0q: \frac{1 + x}{|x| - 2} < 0，则 pp 是 qq 的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 山东 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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12不等式★★★☆☆
已知 xx 和 yy 是正整数，且满足约束条件
{x+y⩽10,x−y⩽2,2x⩾7,\begin{cases} x + y \leqslant 10,\\ x - y \leqslant 2,\\ 2x \geqslant 7, \end{cases}
则 z=2x+3yz = 2x + 3y 的最小值是（ ）
A.
2424
B.
1414
C.
1313
D.
11.511.5

2006 · 山东 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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