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065分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x+2ex+af(x)=\dfrac{x+2}{\mathrm{e}^x+a} 的最大值为 11，则 a=a=（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
11
C.
32\dfrac{3}{2}
D.
22

2026 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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03不等式★★★☆☆
若实数 xx，yy 满足约束条件
{x−3y+4≥0,3x−y−4≤0,x+y≥0,\begin{cases} x-3y+4\ge0,\\ 3x-y-4\le0,\\ x+y\ge0, \end{cases}
则 z=3x+2yz=3x+2y 的最大值是（ ）
A.
−1-1
B.
11
C.
1010
D.
1212

2019 · 浙江 · 第 3 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★☆☆
已知 λ∈R\lambda\in\mathbf{R}，函数
f(x)={x−4,x≥λ,x2−4x+3,x<λf(x)=\begin{cases} x-4, & x\ge\lambda,\\ x^2-4x+3, & x<\lambda \end{cases}
当 λ=2\lambda=2 时，不等式 f(x)<0f(x)<0 的解集是______. 若函数 f(x)f(x) 恰有 22 个零点，则 λ\lambda 的取值范围是______.

2018 · 浙江 · 第 15 题 · 填空题

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03不等式★★★☆☆
在平面上，过点 PP 作直线 ll 的垂线所得的垂足称为点 PP 在直线 ll 上的投影，由区域
{x−2≤0,x+y≥0,x−3y+4≥0\begin{cases} x-2\le 0,\\ x+y\ge 0,\\ x-3y+4\ge 0 \end{cases}
中的点在直线 x+y−2=0x+y-2=0 上的投影构成的线段记为 ABAB，则 ∣AB∣=|AB|=（ ）
A.
222\sqrt2
B.
44
C.
323\sqrt2
D.
66

2016 · 浙江 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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06不等式★★★☆☆
有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同. 已知三个房间的粉刷面积（单位：m2\mathrm{m}^2）分别为 xx，yy，zz，且 x<y<zx<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2\mathrm{m}^2）分别为 aa，bb，cc，且 a<b<ca<b<c. 在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A.
ax+by+czax+by+cz
B.
az+by+cxaz+by+cx
C.
ay+bz+cxay+bz+cx
D.
ay+bx+czay+bx+cz

2015 · 浙江 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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13不等式★★★☆☆
当实数 xx，yy 满足
{x+2y−4⩽0,x−y−1⩽0,x⩾1\begin{cases} x + 2y - 4 \leqslant 0,\\ x - y - 1 \leqslant 0,\\ x \geqslant 1 \end{cases}
时，1⩽ax+y⩽41 \leqslant ax + y \leqslant 4 恒成立，则实数 aa 的取值范围是______.

2014 · 浙江 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
已知实数 aa，bb，cc 满足 a+b+c=0a + b + c = 0，a2+b2+c2=1a^2 + b^2 + c^2 = 1，则 aa 的最大值是______.

2014 · 浙江 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
设 z=kx+yz = kx + y，其中实数 xx，yy 满足
{x+y−2⩾0,x−2y+4⩾0,2x−y−4⩽0.\begin{cases} x + y - 2 \geqslant 0,\\ x - 2y + 4 \geqslant 0,\\ 2x - y - 4 \leqslant 0. \end{cases}
若 zz 的最大值为 12，则实数 k=‾k =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 浙江 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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10不等式★★★☆☆
设 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，定义运算“∧\wedge”和“∨\vee”如下：
a∧b={a,a⩽b,b,a>b,a \wedge b = \begin{cases} a, & a \leqslant b,\\ b, & a > b, \end{cases}
a∨b={b,a⩽b,a,a>b.a \vee b = \begin{cases} b, & a \leqslant b,\\ a, & a > b. \end{cases}
若正数 aa，bb，cc，dd 满足 ab⩾4ab \geqslant 4，c+d⩽4c + d \leqslant 4，则（ ）
A.
a∧b⩾2a \wedge b \geqslant 2，c∧d⩽2c \wedge d \leqslant 2
B.
a∧b⩾2a \wedge b \geqslant 2，c∨d⩾2c \vee d \geqslant 2
C.
a∨b⩾2a \vee b \geqslant 2，c∧d⩽2c \wedge d \leqslant 2
D.
a∨b⩾2a \vee b \geqslant 2，c∨d⩾2c \vee d \geqslant 2

2013 · 浙江 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
若正数 xx，yy 满足 x+3y=5xyx + 3y = 5xy，则 3x+4y3x + 4y 的最小值是（ ）
A.
245\frac{24}{5}
B.
285\frac{28}{5}
C.
55
D.
66

2012 · 浙江 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★☆☆
设 a>0a > 0，b>0b > 0，e\mathrm{e} 是自然对数的底数（ ）
A.
若 ea+2a=eb+3b\mathrm{e}^a + 2a = \mathrm{e}^b + 3b，则 a>ba > b
B.
若 ea+2a=eb+3b\mathrm{e}^a + 2a = \mathrm{e}^b + 3b，则 a<ba < b
C.
若 ea−2a=eb−3b\mathrm{e}^a - 2a = \mathrm{e}^b - 3b，则 a>ba > b
D.
若 ea−2a=eb−3b\mathrm{e}^a - 2a = \mathrm{e}^b - 3b，则 a<ba < b

2012 · 浙江 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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05不等式★★★☆☆
设实数 xx，yy 满足不等式组
{x+2y−5>0,2x+y−7>0,x⩾0,y⩾0.\begin{cases} x + 2y - 5 > 0,\\ 2x + y - 7 > 0,\\ x \geqslant 0, y \geqslant 0. \end{cases}
若 xx，yy 为整数，则 3x+4y3x + 4y 的最小值是（ ）
A.
14
B.
16
C.
17
D.
19

2011 · 浙江 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
若 aa，bb 为实数，则 0<ab<10 < ab < 1 是“a<1ba < \frac{1}{b} 或 b>1ab > \frac{1}{a}”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2011 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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16不等式★★★☆☆
设 xx，yy 为实数. 若 4x2+y2+xy=14x^{2} + y^{2} + xy = 1，则 2x+y2x + y 的最大值是______.

2011 · 浙江 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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07不等式★★★☆☆
若实数 xx，yy 满足不等式组
{x+3y−3⩾0,2x−y−3⩽0,x−my+1⩾0,\begin{cases} x + 3y - 3 \geqslant 0,\\ 2x - y - 3 \leqslant 0,\\ x - my + 1 \geqslant 0, \end{cases}
且 x+yx + y 的最大值为99，则实数 m=m =（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 只需检验四个选项. 若 m=−2m=-2 或 m=−1m=-1，取 (x,y)=(t,2t)(x,y)=(t,2t). 当 tt 足够大时，前两个不等式成立，且第三个左端分别为 5t+15t+1 或 3t+13t+1，也成立，而 x+y=3tx+y=3t 无上界，均不符合题意.
当 m=1m=1 时，第二个不等式给出 y⩾2x−3y\geqslant2x-3，第三个不等式给出 y⩽x+1y\leqslant x+1，所以 x⩽4x\leqslant4. 于是
x+y⩽x+(x+1)=2x+1⩽9x+y\leqslant x+(x+1)=2x+1\leqslant9
点 (4,5)(4,5) 同时满足三个不等式，且 x+y=9x+y=9，所以最大值确为 99.
当 m=2m=2 时，第二、三个不等式分别给出 y⩾2x−3y\geqslant2x-3，y⩽x+12y\leqslant\frac{x+1}{2}. 因此 x⩽73x\leqslant\frac73，从而
x+y⩽x+x+12=3x+12⩽4x+y\leqslant x+\frac{x+1}{2}=\frac{3x+1}{2}\leqslant4
且 (x,y)=(73,53)(x,y)=(\frac73,\frac53) 可取到最大值 44，也不符合题意. 故 m=1m=1，选 C. \end{solution}
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
1
D.
2

2010 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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15不等式★★★☆☆
若正实数 xx，yy 满足 2x+y+6=xy2x + y + 6 = xy，则 xyxy 的最小值是______.
\begin{answer} 1818 \end{answer}
\begin{solution} 由题设
xy−2x−y=6xy-2x-y=6
所以
(x−1)(y−2)=8(x-1)(y-2)=8
若 0<x<10<x<1，则 −1<x−1<0-1<x-1<0，从而 y−2=8x−1<−8y-2=\frac{8}{x-1}<-8，即 y<−6y<-6，与 y>0y>0 矛盾；x=1x=1 也不满足 (x−1)(y−2)=8(x-1)(y-2)=8. 因此 x>1x>1，从而 y−2=8x−1>0y-2=\frac{8}{x-1}>0. 令 u=x−1>0u=x-1>0，v=y−2>0v=y-2>0，则 uv=8uv=8，且
xy=(u+1)(v+2)=uv+2u+v+2=10+2u+vxy=(u+1)(v+2)=uv+2u+v+2=10+2u+v
由均值不等式，
2u+v=2u+8u⩾82u+v=2u+\frac{8}{u}\geqslant8
等号当且仅当 u=2u=2，即 v=4v=4. 因此 xy⩾18xy\geqslant18. 当 x=3x=3，y=6y=6 时满足原条件且 xy=18xy=18，所以最小值为 1818. \end{solution}

2010 · 浙江 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元，预测六月份销售额为 500 万元. 七月份销售额比六月份递增 x%x\%，八月份销售额比七月份递增 x%x\%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等. 若一月至十月份销售总额至少达 7000 万元，则 xx 的最小值是______.
\begin{answer} 2020 \end{answer}
\begin{solution} 设 t=1+x100t=1+\frac{x}{100}. 则七月份和八月份的销售额分别为 500t500t 万元和 500t2500t^2 万元，九、十月份销售总额为 500t+500t2500t+500t^2 万元. 因而一月至十月份的销售总额为
3860+500+2(500t+500t2)=4360+1000t+1000t23860+500+2(500t+500t^2)=4360+1000t+1000t^2
由总额至少为 70007000 万元，得
25t2+25t−66⩾025t^2+25t-66\geqslant0
因 t>0t>0，解得
t⩾65t\geqslant\frac65
所以 1+x100⩾651+\frac{x}{100}\geqslant\frac65，x⩾20x\geqslant20. 当 x=20x=20 时恰好达到下界，故 xx 的最小值为 2020. \end{solution}

2010 · 浙江 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
已知 tt 为常数，函数 y=∣x2−2x−t∣y = |x^2 - 2x - t| 在区间 [0,3][0,3] 上的最大值为 2 ，则 t=‾t =\underline{\hspace{2em}}.

2008 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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10不等式★★★☆☆
若 a⩾0a \geqslant 0，b⩾0b \geqslant 0，且当
{x⩾0,y⩾0,x+y⩽1\begin{cases} x \geqslant 0,\\ y \geqslant 0,\\ x + y \leqslant 1 \end{cases}
时，恒有 ax+by⩽1ax + by \leqslant 1，则以 aa，bb 为坐标的点 P(a,b)P(a, b) 所形成的平面区域的面积是（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
π4\frac{\pi}{4}
C.
11
D.
π2\frac{\pi}{2}

2008 · 浙江 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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12不等式★★★☆☆
对 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，记
max⁡{a,b}={a,a⩾b,b,a<b,\max \{a, b\} = \begin{cases} a, & a \geqslant b,\\ b, & a < b, \end{cases}
函数 f(x)=max⁡{∣x+1∣,∣x−2∣}f(x) = \max \{|x + 1|, |x - 2|\} （x∈Rx \in \mathbf{R}）的最小值是______.
\begin{answer} 32\frac{3}{2} \end{answer}
\begin{solution} 对任意 xx，三角不等式给出
∣x+1∣+∣x−2∣⩾∣(x+1)−(x−2)∣=3|x+1|+|x-2|\geqslant |(x+1)-(x-2)|=3
又对任意非负数 uu，vv，都有 max⁡{u,v}⩾u+v2\max\{u,v\}\geqslant\frac{u+v}{2}. 取 u=∣x+1∣u=|x+1|，v=∣x−2∣v=|x-2|，便有 f(x)⩾∣x+1∣+∣x−2∣2⩾32f(x)\geqslant\frac{|x+1|+|x-2|}{2}\geqslant\frac32. 当 x=12x=\frac12 时，∣x+1∣=∣x−2∣=32|x+1|=|x-2|=\frac32，上述两个不等式同时取等号. 所以函数的最小值为 32\frac32. \end{solution}

2006 · 浙江 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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10不等式★★★☆☆
对 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，记
max⁡{a,b}={a,a⩾b,b,a<b,\max \{a, b\} = \begin{cases} a, & a \geqslant b,\\ b, & a < b, \end{cases}
函数 f(x)=max⁡{∣x+1∣,∣x−2∣}f(x) = \max \{|x + 1|, |x - 2|\} （x∈Rx \in \mathbf{R}）的最小值是（ ）
A.
00
B.
12\frac{1}{2}
C.
32\frac{3}{2}
D.
33

2006 · 浙江 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
设集合 A={(x,y)∣x,y,1−x−y 是三角形的三边长}A=\{(x,y)\mid x,y,1-x-y\text{ 是三角形的三边长}\}，则 AA 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（\quad）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 令三边长分别为 xx，yy，1−x−y1-x-y. 它们能构成三角形的充要条件是三者均为正数，且每一边都小于另外两边之和. 因此 x>0x>0，y>0y>0，1−x−y>01-x-y>0，x<1−xx<1-x，y<1−yy<1-y，1−x−y<x+y1-x-y<x+y. 化简得 0<x<120<x<\frac{1}{2}，0<y<120<y<\frac{1}{2}，12<x+y<1\frac{1}{2}<x+y<1. 其中 x<12x<\frac{1}{2} 和 y<12y<\frac{1}{2} 已推出 x+y<1x+y<1，所以区域是正方形 0<x<120<x<\frac{1}{2}，0<y<120<y<\frac{1}{2} 中直线 x+y=12x+y=\frac{1}{2} 上方且不含边界的部分，对应图 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2005 · 浙江 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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16不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 的图象关于原点对称，且 f(x)=x2+2xf(x) = x^{2} + 2x.
(1) 求函数 g(x)g(x) 的解析式； (2) 解不等式 g(x)⩾f(x)−∣x−1∣g(x) \geqslant f(x) - |x - 1|.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 图象关于原点对称意味着点 (x,f(x))(x,f(x)) 关于原点的对称点 (−x,−f(x))(-x,-f(x)) 在函数 gg 的图象上. 因而
g(x)=−f(−x)=−[(−x)2+2(−x)]=−x2+2xg(x)=-f(-x)=-\left[(-x)^2+2(-x)\right]=-x^2+2x
\item 将 ff，gg 的解析式代入不等式，得
−x2+2x⩾x2+2x−∣x−1∣⟺∣x−1∣⩾2x2-x^2+2x\geqslant x^2+2x-|x-1| \quad\Longleftrightarrow\quad |x-1|\geqslant2x^2
当 x⩾1x\geqslant1 时，∣x−1∣=x−1|x-1|=x-1，不等式化为
2x2−x+1⩽02x^2-x+1\leqslant0
其判别式为 1−8<01-8<0，故此时无解.
当 x<1x<1 时，∣x−1∣=1−x|x-1|=1-x，不等式化为
2x2+x−1⩽0⟺(2x−1)(x+1)⩽02x^2+x-1\leqslant0 \quad\Longleftrightarrow\quad (2x-1)(x+1)\leqslant0
所以 −1⩽x⩽12-1\leqslant x\leqslant\frac12. 综合两种情况，解集为 [−1,12]\left[-1,\frac12\right]. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 浙江 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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10不等式★★★☆☆
设集合 A={(x,y)∣xA = \{(x,y)\mid x，yy，1−x−y1-x-y 是三角形的三边长}\}，则 AA 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 因为 xx，yy，1−x−y1-x-y 是三角形的三边长，所以首先有 x>0x>0，y>0y>0，1−x−y>01-x-y>0，并且三角形的三边还满足 x+y>1−x−yx+y>1-x-y，x+1−x−y>yx+1-x-y>y，y+1−x−y>xy+1-x-y>x. 这些不等式分别化为 x+y>12x+y>\frac{1}{2}，y<12y<\frac{1}{2}，x<12x<\frac{1}{2}. 再结合 x>0x>0，y>0y>0 及 x+y<1x+y<1，所表示的区域为 0<x<120<x<\frac{1}{2}，0<y<120<y<\frac{1}{2}，x+y>12x+y>\frac{1}{2} 的内部. 其边界为 x=12x=\frac{1}{2}，y=12y=\frac{1}{2} 和 x+y=12x+y=\frac{1}{2}，对应选项 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2005 · 浙江 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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20不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x) 的图象关于原点对称，且 f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x.
(1) 求函数 g(x)g(x) 的解析式； (2) 解不等式 g(x)⩾f(x)−∣x−1∣g(x) \geqslant f(x) - |x - 1|； (3) 若 h(x)=g(x)−λf(x)+1h(x) = g(x) - \lambda f(x) + 1 在 [−1,1][-1, 1] 上是增函数，求实数 λ\lambda 的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 图象关于原点对称，所以点 (x,g(x))(x,g(x)) 关于原点的对称点 (−x,−g(x))(-x,-g(x)) 在函数 ff 的图象上，即 f(−x)=−g(x)f(-x)=-g(x). 因此 g(x)=−f(−x)=−((−x)2+2(−x))=−x2+2xg(x)=-f(-x)=-\left((-x)^2+2(-x)\right)=-x^2+2x.
\item 由 g(x)⩾f(x)−∣x−1∣g(x)\geqslant f(x)-|x-1|，得 −x2+2x⩾x2+2x−∣x−1∣-x^2+2x\geqslant x^2+2x-|x-1|，即 ∣x−1∣⩾2x2|x-1|\geqslant2x^2. 当 x<1x<1 时，∣x−1∣=1−x|x-1|=1-x，所以 2x2+x−1⩽02x^2+x-1\leqslant0，即 (2x−1)(x+1)⩽0(2x-1)(x+1)\leqslant0，解得 −1⩽x⩽12-1\leqslant x\leqslant\frac{1}{2}.
当 x⩾1x\geqslant1 时，∣x−1∣=x−1|x-1|=x-1，所以 2x2−x+1⩽02x^2-x+1\leqslant0. 该二次式的判别式为 1−8=−7<01-8=-7<0，且二次项系数为正，故无实数解. 因此原不等式的解集为 [−1,12]\left[-1,\frac{1}{2}\right].
\item h(x)=g(x)−λf(x)+1=−(1+λ)x2+2(1−λ)x+1h(x)=g(x)-\lambda f(x)+1=-(1+\lambda)x^2+2(1-\lambda)x+1，所以 h′(x)=−2(1+λ)x+2(1−λ)h'(x)=-2(1+\lambda)x+2(1-\lambda). 这是关于 xx 的一次函数，且 h′(−1)=4h'(-1)=4，h′(1)=−4λh'(1)=-4\lambda. 要使 h(x)h(x) 在 [−1,1][-1,1] 上为增函数，需且只需 h′(x)⩾0h'(x)\geqslant0 对区间内所有 xx 成立. 由于 h′h' 为一次函数，这等价于两个端点处均非负，故 −4λ⩾0-4\lambda\geqslant0. 因此实数 λ\lambda 的取值范围为 λ⩽0\lambda\leqslant0. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 浙江 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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