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135分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2x+22−x−mf\left( x \right)=2^x+2^{2-x}-m 有两个零点，则 mm 的取值范围是______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题

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126分不等式★★★☆☆
若 xx，yy 满足 x2+y2−xy=1x^2+y^2-xy=1，则（ ）
A.
x+y≤1x+y\le 1
B.
x+y≥−2x+y\ge -2
C.
x2+y2≤2x^2+y^2\le 2
D.
x2+y2≥1x^2+y^2\ge 1

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 12 题 · 多选题

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08解析几何★★★☆☆
设 OO 为坐标原点，直线 x=ax=a 与双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的两条渐近线分别交于 DD，EE 两点. 若 △ODE\triangle ODE 的面积为 88，则 CC 的焦距的最小值为（ ）
A.
44
B.
88
C.
1616
D.
3232

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，sin⁡2A−sin⁡2B−sin⁡2C=sin⁡Bsin⁡C\sin^2 A-\sin^2 B-\sin^2 C=\sin B\sin C.
(1) 求 AA； (2) 若 BC=3BC=3，求 △ABC\triangle ABC 周长的最大值.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a2∣+∣x−2a+1∣f(x)=|x-a^2|+|x-2a+1|.
(1) 当 a=2a=2 时，求不等式 f(x)≥4f(x)\geq 4 的解集； (2) 若 f(x)≥4f(x)\geq 4，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=5−∣x+a∣−∣x−2∣f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥0f(x)\ge0 的解集； (2) 若 f(x)≤1f(x)\le1，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=5−∣x+a∣−∣x−2∣f(x)=5-\lvert x+a\rvert-\lvert x-2\rvert.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥0f(x)\ge0 的解集； (2) 若 f(x)≤1f(x)\le1，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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11不等式★★★☆☆
当 x∈[−2,1]x \in [-2, 1] 时，不等式 ax3−x2+4x+3⩾0ax^3 - x^2 + 4x + 3 \geqslant 0 恒成立，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−5,−3][-5, - 3]
B.
[−6,−98]\left[-6, -\frac{9}{8}\right]
C.
[−6,−2][-6, - 2]
D.
[−4,−3][-4, - 3]

2014 · 辽宁 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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24不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=2∣x−1∣+x−1f(x) = 2|x - 1| + x - 1，g(x)=16x2−8x+1g(x) = 16x^{2} - 8x + 1，记 f(x)⩽1f(x) \leqslant 1 的解集为 MM，g(x)⩽4g(x) \leqslant 4 的解集为 NN.
(1) 求 MM； (2) 当 x∈M∩Nx \in M \cap N 时，证明：x2f(x)+x[f(x)]2⩽14x^{2}f(x) + x[f(x)]^{2} \leqslant \frac{1}{4}.

2014 · 辽宁 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=2∣x−1∣+x−1f(x) = 2|x - 1| + x - 1，g(x)=16x2−8x+1g(x) = 16x^{2} - 8x + 1，记 f(x)⩽1f(x) \leqslant 1 的解集为 MM，g(x)⩽4g(x) \leqslant 4 的解集为 NN.
(1) 求 MM； (2) 当 x∈M∩Nx \in M \cap N 时，证明：x2f(x)+x[f(x)]2⩽14x^2 f(x) + x[f(x)]^2 \leqslant \frac{1}{4}.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a∣f(x) = |x - a|，其中 a>1a > 1.
(1) 当 a=2a = 2 时，求不等式 f(x)⩾4−∣x−4∣f(x) \geqslant 4 - |x - 4| 的解集； (2) 已知关于 xx 的不等式 ∣f(2x+a)−2f(x)∣⩽2\left|f(2x + a) - 2f(x)\right| \leqslant 2 的解集为 {x∣1⩽x⩽2}\{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 2\}，求 aa 的值.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a∣f(x) = |x - a|，其中 a>1a > 1.
(1) 当 a=2a = 2 时，求不等式 f(x)⩾4−∣x−4∣f(x) \geqslant 4 - |x - 4| 的解集； (2) 已知关于 xx 的不等式 ∣f(2x+a)−2f(x)∣⩽2\left|f(2x + a) - 2f(x)\right| \leqslant 2 的解集为 {x∣1⩽x⩽2}\{x \mid 1 \leqslant x \leqslant 2\}，求 aa 的值.

2013 · 辽宁 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知 f(x)=∣ax+1∣f(x) = |ax + 1|（a∈Ra \in \mathbf{R}），不等式 f(x)⩽3f(x) \leqslant 3 的解集为 {x∣−2⩽x⩽1}\{x \mid -2 \leqslant x \leqslant 1\}.
(1) 求 aa 的值. (2) 若 ∣f(x)−2f(x2)∣⩽k\left|f(x)-2f\left(\frac{x}{2}\right)\right|\leqslant k 恒成立，求 kk 的取值范围.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知 f(x)=∣ax+1∣f(x) = |ax + 1|（a∈Ra \in \mathbf{R}），不等式 f(x)⩽3f(x) \leqslant 3 的解集为 {x∣−2⩽x⩽1}\{x \mid -2 \leqslant x \leqslant 1\}.
(1) 求 aa 的值； (2) 若 ∣f(x)−2f(x2)∣⩽k\left|f(x)-2f\left(\frac{x}{2}\right)\right|\leqslant k 恒成立，求 kk 的取值范围.

2012 · 辽宁 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣−∣x−5∣f(x) = |x - 2| - |x - 5|.
(1) 证明： −3⩽f(x)⩽3-3 \leqslant f(x) \leqslant 3. (2) 求不等式 f(x)⩾x2−8x+15f(x) \geqslant x^{2} - 8x + 15 的解集.

2011 · 辽宁 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−2∣−∣x−5∣f(x) = |x - 2| - |x - 5|.
(1) 证明： −3⩽f(x)⩽3-3 \leqslant f(x) \leqslant 3； (2) 求不等式 f(x)⩾x2−8x+15f(x) \geqslant x^{2} - 8x + 15 的解集.

2011 · 辽宁 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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10导数及其应用★★★☆☆
已知点 PP 在曲线 y=4ex+1y = \frac{4}{\mathrm{e}^{x} + 1} 上，α\alpha 为曲线在点 PP 处的切线的倾斜角，则 α\alpha 的取值范围是（ ）
A.
[0,π4)\left[0, \frac{\pi}{4}\right)
B.
[π4,π2)\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)
C.
(π2,3π4]\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right]
D.
[3π4,π)\left[\frac{3\pi}{4}, \pi\right)

2010 · 辽宁 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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15不等式★★★☆☆
已知 −1<x+y<4-1<x+y<4 且 2<x−y<32<x-y<3，则 z=2x−3yz=2x-3y 的取值范围是______. （答案用区间表示）

2010 · 辽宁 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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24不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=∣x−1∣+∣x−a∣f(x) = |x - 1| + |x - a|.
(1) 若 a=−1a = -1，解不等式 f(x)⩾3f(x) \geqslant 3； (2) 如果 ∀x∈R\forall x \in \mathbf{R}，f(x)⩾2f(x) \geqslant 2，求 aa 的取值范围.

2009 · 辽宁 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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16不等式★★★☆☆
设 x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，则函数 y=2sin⁡2x+1sin⁡2xy = \frac{2\sin^2 x + 1}{\sin 2x} 的最小值为______.
\begin{solution} 令 t=tan⁡xt=\tan x. 由于 x∈(0,π2)x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)，所以 t>0t>0. 利用 sin⁡2x=t21+t2\sin^2x=\dfrac{t^2}{1+t^2} 和 sin⁡2x=2t1+t2\sin2x=\dfrac{2t}{1+t^2}，得
y=2sin⁡2x+1sin⁡2x=(3t2+1)(1+t2)2t(1+t2)=3t+1t2y=\frac{2\sin^2x+1}{\sin2x} =\frac{\frac{(3t^2+1)}{(1+t^2)}}{2\frac{t}{(1+t^2)}} =\frac{3t+\frac{1}{t}}{2}
由基本不等式，3t+1t⩾23t⋅1t=233t+\dfrac{1}{t}\geqslant2\sqrt{3t\cdot\dfrac{1}{t}}=2\sqrt{3}，等号当且仅当 3t=1t3t=\dfrac{1}{t}，即 t=13>0t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}>0. 该值可以取到，因此函数的最小值为 3\sqrt{3}. \end{solution}

2008 · 辽宁 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
设 pp，qq 是两个命题，p:log⁡12(∣x∣−3)>0p: \log_{\frac{1}{2}}(|x| - 3) > 0，q:x2−56x+16>0q: x^2 - \frac{5}{6}x + \frac{1}{6} > 0，则 pp 是 qq 的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2007 · 辽宁 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12平面向量★★★☆☆
设 O(0,0)O(0,0)，A(1,0)A(1,0)，B(0,1)B(0,1)，点 PP 是线段 ABAB 上的一个动点，AP→=λAB→\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AB}，若 OP→⋅AB→⩾PA→⋅PB→\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{AB} \geqslant \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}，则实数 λ\lambda 的取值范围是（ ）
A.
12⩽λ⩽1\frac{1}{2} \leqslant \lambda \leqslant 1
B.
1−22⩽λ⩽11 - \frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant \lambda \leqslant 1
C.
12⩽λ⩽1+22\frac{1}{2} \leqslant \lambda \leqslant 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}
D.
1−22⩽λ⩽1+221 - \frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant \lambda \leqslant 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}

2006 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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06指数函数与对数函数★★★☆☆
若 log⁡2a1+a21+a<0\log_{2a}\frac{1 + a^2}{1 + a} < 0，则 aa 的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 对数有意义要求 a>0a>0 且 2a≠12a\ne1. 当 a>12a>\frac12 时，底数 2a>12a>1，要使对数小于零，必须有 0<1+a21+a<10<\dfrac{1+a^2}{1+a}<1. 因 a>0a>0，前一个不等式自动成立；后一个不等式等价于 a2<aa^2<a，即 0<a<10<a<1. 因而得到 12<a<1\frac12<a<1.
当 0<a<120<a<\frac12 时，0<2a<10<2a<1，对数小于零要求真数大于 11，即 a2>aa^2>a，这与 0<a<120<a<\frac12 矛盾. 故取值范围为 (12,1)\left(\frac12,1\right)，选 C. \end{solution}
A.
(12,+∞)\left(\frac{1}{2}, +\infty\right)
B.
(1,+∞)(1, +\infty)
C.
(12,1)\left(\frac{1}{2}, 1\right)
D.
(0,12)\left(0, \frac{1}{2}\right)

2005 · 辽宁 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
在 R\mathbf{R} 上定义运算 ⊗\otimes：x⊗y=x(1−y)x \otimes y = x(1 - y). 若不等式 (x−a)⊗(x+a)<1(x - a) \otimes (x + a) < 1 对任意实数 xx 成立，则（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由运算定义， (x−a)⊗(x+a)=(x−a)(1−x−a)=−x2+x+a2−a(x-a)\otimes(x+a)=(x-a)(1-x-a)=-x^2+x+a^2-a. 因此题设不等式对任意实数 xx 成立，等价于 −x2+x+a2−a<1-x^2+x+a^2-a<1 对任意 x∈Rx\in\mathbf{R}. 左侧关于 xx 的最大值在 x=12x=\frac12 处取得，最大值为 14+a2−a\frac14+a^2-a. 所以
14+a2−a<1⟺a2−a−34<0⟺−12<a<32\frac14+a^2-a<1 \Longleftrightarrow a^2-a-\frac34<0 \Longleftrightarrow -\frac12<a<\frac32
故选 C. \end{solution}
A.
−1<a<1-1 < a < 1
B.
0<a<20 < a < 2
C.
−12<a<32-\frac{1}{2} < a < \frac{3}{2}
D.
−32<a<12-\frac{3}{2} < a < \frac{1}{2}

2005 · 辽宁 · 第 7 题 · 选择题

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