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135分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2x+22−x−mf\left( x \right)=2^x+2^{2-x}-m 有两个零点，则 mm 的取值范围是______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题

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126分不等式★★★☆☆
若 xx，yy 满足 x2+y2−xy=1x^2+y^2-xy=1，则（ ）
A.
x+y≤1x+y\le 1
B.
x+y≥−2x+y\ge -2
C.
x2+y2≤2x^2+y^2\le 2
D.
x2+y2≥1x^2+y^2\ge 1

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 12 题 · 多选题

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08解析几何★★★☆☆
设 OO 为坐标原点，直线 x=ax=a 与双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的两条渐近线分别交于 DD，EE 两点. 若 △ODE\triangle ODE 的面积为 88，则 CC 的焦距的最小值为（ ）
A.
44
B.
88
C.
1616
D.
3232

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，sin⁡2A−sin⁡2B−sin⁡2C=sin⁡Bsin⁡C\sin^2 A-\sin^2 B-\sin^2 C=\sin B\sin C.
(1) 求 AA； (2) 若 BC=3BC=3，求 △ABC\triangle ABC 周长的最大值.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a2∣+∣x−2a+1∣f(x)=|x-a^2|+|x-2a+1|.
(1) 当 a=2a=2 时，求不等式 f(x)≥4f(x)\geq 4 的解集； (2) 若 f(x)≥4f(x)\geq 4，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=5−∣x+a∣−∣x−2∣f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥0f(x)\ge0 的解集； (2) 若 f(x)≤1f(x)\le1，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=5−∣x+a∣−∣x−2∣f(x)=5-\lvert x+a\rvert-\lvert x-2\rvert.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥0f(x)\ge0 的解集； (2) 若 f(x)≤1f(x)\le1，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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16不等式★★★☆☆
若函数 f(x)=∣x+1∣+2∣x−a∣f(x) = |x + 1| + 2|x - a| 的最小值为 5，则实数 a=a =______.
\begin{answer} −6-6 或 44 \end{answer}
\begin{solution} 当 a⩾−1a\geqslant-1 时，分三段展开：
f(x)={2a−3x−1,x⩽−1,2a+1−x,−1⩽x⩽a,3x+1−2a,x⩾a.f(x)= \begin{cases} 2a-3x-1, & x\leqslant-1,\\ 2a+1-x, & -1\leqslant x\leqslant a,\\ 3x+1-2a, & x\geqslant a. \end{cases}
前两段的斜率分别为 −3-3、−1-1，后一段的斜率为 33，所以函数先递减后递增，最小值在 x=ax=a 处取得，且 f(a)=a+1f(a)=a+1. 令 a+1=5a+1=5，得 a=4a=4.
当 a⩽−1a\leqslant-1 时，分三段展开：
f(x)={2a−3x−1,x⩽a,x−1−2a,a⩽x⩽−1,3x+1−2a,x⩾−1.f(x)= \begin{cases} 2a-3x-1, & x\leqslant a,\\ x-1-2a, & a\leqslant x\leqslant-1,\\ 3x+1-2a, & x\geqslant-1. \end{cases}
三段的斜率分别为 −3-3、11、33，所以函数先递减后递增，最小值在 x=ax=a 处取得，且 f(a)=−a−1f(a)=-a-1. 令 −a−1=5-a-1=5，得 a=−6a=-6.
因此 a=−6a=-6 或 a=4a=4. \end{solution}

2015 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
设 aa，b>0b > 0，a+b=5a + b = 5，则 a+1+b+3\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 3} 的最大值为______.

2015 · 重庆 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
若不等式 ∣2x−1∣+∣x+2∣⩾a2+12a+2\left|2x-1\right|+\left|x+2\right|\geqslant a^{2}+\frac{1}{2}a+2 对任意实数 xx 恒成立，则实数 aa 的取值范围是______.

2014 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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09指数函数与对数函数★★★☆☆
若 log⁡4(3a+4b)=log⁡2ab\log_4(3a + 4b) = \log_2\sqrt{ab}，则 a+ba + b 的最小值是（ ）
A.
6+236 + 2\sqrt{3}
B.
7+237 + 2\sqrt{3}
C.
6+436 + 4\sqrt{3}
D.
7+437 + 4\sqrt{3}

2014 · 重庆 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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15不等式★★★☆☆
设 0⩽α⩽π0 \leqslant \alpha \leqslant \pi，不等式 8x2−(8sin⁡α)x+cos⁡2α⩾08x^{2} - (8\sin \alpha)x + \cos 2\alpha \geqslant 0 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，则 α\alpha 的取值范围为______. \begin{answer} [0,π6]∪[5π6,π]\left[0,\frac{\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6},\pi\right] \end{answer} \begin{solution} 关于 xx 的二次式首项系数 8>08>0，要对任意实数 xx 非负，充要条件是判别式不大于零，即
Δ=(−8sin⁡α)2−4⋅8cos⁡2α⩽0\Delta=(-8\sin\alpha)^2-4\cdot8\cos2\alpha\leqslant0
化简得
2sin⁡2α−cos⁡2α⩽02\sin^2\alpha-\cos2\alpha\leqslant0
利用 cos⁡2α=1−2sin⁡2α\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha，得到 4sin⁡2α−1⩽04\sin^2\alpha-1\leqslant0，∣sin⁡α∣⩽12|\sin\alpha|\leqslant\frac12. 在 0⩽α⩽π0\leqslant\alpha\leqslant\pi 上，sin⁡α⩾0\sin\alpha\geqslant0，所以
α∈[0,π6]∪[5π6,π]\alpha\in\left[0,\frac\pi6\right]\cup\left[\frac{5\pi}6,\pi\right]
\end{solution}

2013 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
设函数 f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3，g(x)=3x−2g(x)=3x-2，集合 M={x∈R∣f(g(x))>0}M=\{x\in\mathbf{R}\mid f(g(x))>0\}，N={x∈R∣g(x)<2}N=\{x\in\mathbf{R}\mid g(x)<2\}，则 M∩NM\cap N 为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 先求 f(g(x))f(g(x))：
f(g(x))=(3x−2)2−4(3x−2)+3=9x2−24x+15=3(3x−5)(x−1).f(g(x))=(3x-2)^2-4(3x-2)+3=9x^2-24x+15=3(3x-5)(x-1).
所以 f(g(x))>0f(g(x))>0 的解集为 x<1x<1 或 x>53x>\frac53. 另一方面，g(x)<2g(x)<2 等价于 3x−2<23x-2<2，即 x<43x<\frac43. 取交集时，区间 (53,+∞)(\frac53,+\infty) 与 (−∞,43)(-\infty,\frac43) 无交集，因此 M∩N=(−∞,1)M\cap N=(-\infty,1)，故选 D. \end{solution}
A.
(1,+∞)(1,+\infty)
B.
(0,1)(0,1)
C.
(−1,1)(-1,1)
D.
(−∞,1)(-\infty,1)

2012 · 重庆 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
已知 a>0a > 0，b>0b > 0，a+b=2a + b = 2，则 y=1a+4by = \frac{1}{a} + \frac{4}{b} 的最小值是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由柯西不等式，得 y=12a+22b⩾(1+2)2a+b=92y=\dfrac{1^2}{a}+\dfrac{2^2}{b}\geqslant\dfrac{(1+2)^2}{a+b}=\frac{9}{2}. 当且仅当 1a=2b\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}，即 b=2ab=2a 时取等号. 联立 a+b=2a+b=2，得 a=23a=\frac{2}{3}，b=43b=\frac{4}{3}，此时 y=92y=\frac{9}{2}，故选 C. \end{solution}
A.
72\frac{7}{2}
B.
4
C.
92\frac{9}{2}
D.
5

2011 · 重庆 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
已知 x>0x > 0，y>0y > 0，x+2y+2xy=8x + 2y + 2xy = 8，则 x+2yx + 2y 的最小值是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 由题设，(x+1)(2y+1)=x+2y+2xy+1=9(x+1)(2y+1)=x+2y+2xy+1=9. 因为 x>0x>0，y>0y>0，所以 x+1>0x+1>0，2y+1>02y+1>0. 由基本不等式，x+1+2y+1⩾2(x+1)(2y+1)=6x+1+2y+1\geqslant2\sqrt{(x+1)(2y+1)}=6，故 x+2y⩾4x+2y\geqslant4. 当 x+1=2y+1=3x+1=2y+1=3，即 x=2x=2，y=1y=1 时等号成立，所以最小值为 44，选 B. \end{solution}
A.
33
B.
44
C.
92\frac{9}{2}
D.
112\frac{11}{2}

2010 · 重庆 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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05不等式★★★☆☆
不等式 ∣x+3∣−∣x−1∣⩽a2−3a|x + 3| - |x - 1| \leqslant a^{2} - 3a 对任意实数 xx 恒成立，则实数 aa 的取值范围为（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 分段计算左端：
∣x+3∣−∣x−1∣={−4,x⩽−3,2x+2,−3⩽x⩽1,4,x⩾1.|x+3|-|x-1|= \begin{cases} -4,&x\leqslant-3,\\ 2x+2,&-3\leqslant x\leqslant1,\\ 4,&x\geqslant1. \end{cases}
因此其最大值为 44. 要使不等式对任意实数 xx 恒成立，充要条件是
a2−3a⩾4a^{2}-3a\geqslant4
即
(a−4)(a+1)⩾0(a-4)(a+1)\geqslant0
所以 a⩽−1a\leqslant-1 或 a⩾4a\geqslant4，选 A. \end{solution}
A.
(−∞,−1]∪[4,+∞)(-\infty, -1] \cup [4, +\infty)
B.
(−∞,−2]∪[5,+∞)(-\infty, -2] \cup [5, +\infty)
C.
[1,2][1,2]
D.
(−∞,1]∪[2,+∞)(-\infty, 1] \cup [2, +\infty)

2009 · 重庆 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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11数列★★★☆☆
设 3b\sqrt{3}b 是 1−a1 - a 和 1+a1 + a 的等比中项，则 a+3ba + 3b 的最大值为（\quad）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2007 · 重庆 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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10不等式★★★☆☆
若 aa，bb，c>0c > 0 且 a(a+b+c)+bc=4−23a(a + b + c) + bc = 4 - 2\sqrt{3}，则 2a+b+c2a + b + c 的最小值为（ ）
A.
3−1\sqrt{3} - 1
B.
3+1\sqrt{3} + 1
C.
23+22 \sqrt{3} + 2
D.
23−22 \sqrt{3} - 2

2006 · 重庆 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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16不等式★★★☆☆
已知变量 xx，yy 满足约束条件 1⩽x+y⩽41 \leqslant x + y \leqslant 4，−2⩽x−y⩽2-2 \leqslant x - y \leqslant 2. 若目标函数 z=ax+yz = ax + y（其中 a>0a > 0）仅在点 (3,1)(3,1) 处取得最大值，则 aa 的取值范围为______.

2006 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
已知变量 xx，yy 满足约束条件
{x+2y−3⩽0,x+3y−3⩾0,y−1⩽0,\begin{cases} x + 2y - 3 \leqslant 0,\\ x + 3y - 3 \geqslant 0,\\ y - 1 \leqslant 0, \end{cases}
且若目标函数 z=ax+yz = ax + y（其中 a>0a > 0）仅在点 (3,0)(3,0) 处取得最大值，则 aa 的取值范围为______.

2006 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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05不等式★★★☆☆
若 xx，yy 是正数，则 (x+12y)2+(y+12x)2\left(x + \frac{1}{2y}\right)^2 + \left(y + \frac{1}{2x}\right)^2 的最小值是（ ）
A.
33
B.
72\frac{7}{2}
C.
44
D.
92\frac{9}{2}

2005 · 重庆 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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