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135分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2x+22−x−mf\left( x \right)=2^x+2^{2-x}-m 有两个零点，则 mm 的取值范围是______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题

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23不等式★★★☆☆
已知 f(x)=2∣x∣+∣x−2∣f(x)=2|x|+|x-2|.
(1) 求不等式 f(x)≤6−xf(x)\le6-x 的解集； (2) 在直角坐标系 xOyxOy 中，求由不等式 f(x)≤yf(x)\le y 与 x+y−6≤0x+y-6\le0 所确定的平面区域的面积.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，cc 都是正数，且 a32+b32+c32=1a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}=1，证明：
(1) abc≤19abc\le \frac{1}{9}； (2) ab+c+ba+c+ca+b≤12abc\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\le \frac{1}{2\sqrt{abc}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，c>0c>0，且 a32+b32+c32=1a^{\frac32}+b^{\frac32}+c^{\frac32}=1. 证明：
(1) abc≤19abc\le\dfrac19； (2) ab+c+bc+a+ca+b≤12abc\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\le\dfrac{1}{2\sqrt{abc}}.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a∣+∣x+3∣f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥6f(x)\ge 6 的解集； (2) 若 f(x)>−af(x)>-a，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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08不等式★★★☆☆
下列函数中最小值为 44 的是（ ）
A.
y=x2+2x+4y=x^2+2x+4
B.
y=∣sin⁡x∣+4∣sin⁡x∣y=|\sin x|+\dfrac{4}{|\sin x|}
C.
y=2x+22−xy=2^x+2^{2-x}
D.
y=ln⁡x+4ln⁡xy=\ln x+\dfrac{4}{\ln x}

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a∣+∣x+3∣f(x)=|x-a|+|x+3|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥6f(x)\ge6 的解集； (2) 若 f(x)>−af(x)>-a，求 aa 的取值范围.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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08解析几何★★★☆☆
设 OO 为坐标原点，直线 x=ax=a 与双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的两条渐近线分别交于 DD，EE 两点. 若 △ODE\triangle ODE 的面积为 88，则 CC 的焦距的最小值为（ ）
A.
44
B.
88
C.
1616
D.
3232

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，sin⁡2A−sin⁡2B−sin⁡2C=sin⁡Bsin⁡C\sin^2 A-\sin^2 B-\sin^2 C=\sin B\sin C.
(1) 求 AA； (2) 若 BC=3BC=3，求 △ABC\triangle ABC 周长的最大值.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣x−a2∣+∣x−2a+1∣f(x)=|x-a^2|+|x-2a+1|.
(1) 当 a=2a=2 时，求不等式 f(x)≥4f(x)\geq 4 的解集； (2) 若 f(x)≥4f(x)\geq 4，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=5−∣x+a∣−∣x−2∣f(x)=5-|x+a|-|x-2|.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥0f(x)\ge0 的解集； (2) 若 f(x)≤1f(x)\le1，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=5−∣x+a∣−∣x−2∣f(x)=5-\lvert x+a\rvert-\lvert x-2\rvert.
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)≥0f(x)\ge0 的解集； (2) 若 f(x)≤1f(x)\le1，求 aa 的取值范围.

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
已知关于 xx 的不等式 ∣x+a∣<b|x + a| < b 的解集为 {x∣2<x<4}\{x \mid 2 < x < 4\}.
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 求 at+12+bt\sqrt{at+12}+\sqrt{bt} 的最大值.

2015 · 陕西 · 理 · 第 24 题 · 解答题

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10指数函数与对数函数★★★☆☆
设 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x，0<a<b0 < a < b. 若 p=f(ab)p = f\left(\sqrt{ab}\right)，q=f(a+b2)q = f\left(\frac{a + b}{2}\right)，r=12(f(a)+f(b))r = \frac{1}{2}(f(a) + f(b))，则下列关系式中正确的是（ ）
A.
q=r<pq = r < p
B.
q=r>pq = r > p
C.
p=r<qp = r < q
D.
p=r>qp = r > q

2015 · 陕西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11不等式★★★☆☆
某企业生产甲，乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨1\text{ 吨}每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.
如果生产 1 吨1\text{ 吨}甲，乙产品可获利润分别为 3 万元3\text{ 万元}，4 万元4\text{ 万元}，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A.
12 万元12\text{ 万元}
B.
16 万元16\text{ 万元}
C.
17 万元17\text{ 万元}
D.
18 万元18\text{ 万元}

2015 · 陕西 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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24不等式★★★☆☆
已知关于 xx 的不等式 ∣x+a∣<b|x + a| < b 的解集为 {x∣2<x<4}\{x \mid 2 < x < 4\}.
(1) 求实数 aa，bb 的值； (2) 求 at+12+bt\sqrt{at+12}+\sqrt{bt} 的最大值.

2015 · 陕西 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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15平面向量★★★☆☆
设 aa，bb，mm，n∈Rn \in \mathbf{R}，且 a2+b2=5a^2 + b^2 = 5，ma+nb=5ma + nb = 5，则 m2+n2\sqrt{m^{2} + n^{2}} 的最小值为______.

2014 · 陕西 · 理 · 第 15 题（A） · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc.
(1) 若 aa，bb，cc 成等差数列，证明：sin⁡A+sin⁡C=2sin⁡(A+C)\sin A + \sin C = 2 \sin (A + C). (2) 若 aa，bb，cc 成等比数列，求 cos⁡B\cos B 的最小值.

2014 · 陕西 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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09不等式★★★☆☆
在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300 m2300 \mathrm{~m}^{2} 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长 xx（单位 m\mathrm{m}）的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 设矩形的另一边长为 yy. 三角形的底边和高均为 4040，由相似三角形可得矩形上边所在的水平截面长为 40−y40-y，所以 x=40−yx=40-y，即 y=40−xy=40-x. 矩形面积不小于 300300 给出 x(40−x)⩾300x(40-x)\geqslant300，整理得 x2−40x+300⩽0x^2-40x+300\leqslant0，即 (x−10)(x−30)⩽0(x-10)(x-30)\leqslant0. 因而 10⩽x⩽3010\leqslant x\leqslant30，故选 C. \end{solution}
A.
[15,20]\left[15,20\right]
B.
[12,25]\left[12,25\right]
C.
[10,30]\left[10,30\right]
D.
[20,30]\left[20,30\right]

2013 · 陕西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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15不等式★★★☆☆
已知 aa，bb，mm，nn 均为正数，且 a+b=1a+b=1，mn=2mn=2，则 (am+bn)(bm+an)(am+bn)(bm+an) 的最小值为______.
\begin{answer} 22 \end{answer}
\begin{solution} 展开并配方得 (am+bn)(bm+an)=ab(m−n)2+mn(a+b)2=ab(m−n)2+2⩾2(am+bn)(bm+an)=ab(m-n)^2+mn(a+b)^2=ab(m-n)^2+2\geqslant2. 当 m=n=2m=n=\sqrt2 时满足 mn=2mn=2，且等号成立，所以最小值为 22，故填 22. \end{solution}

2013 · 陕西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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09三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边长分别为 aa，bb，cc，若 a2+b2=2c2a^2 + b^2 = 2c^2，则 cos⁡C\cos C 的最小值为（ ）
A.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
12\frac{1}{2}
D.
−12-\frac{1}{2}

2012 · 陕西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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15不等式★★★☆☆
若存在实数 xx 使 ∣x−a∣+∣x−1∣⩽3\left|x-a\right|+\left|x-1\right|\leqslant 3 成立，则实数 aa 的取值范围是______.

2012 · 陕西 · 理 · 第 15 题（A） · 填空题

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10不等式★★★☆☆
小王从甲地到乙地的往返时速分别为 aa 和 bb（a<ba < b），其全程的平均时速为 vv，则（ ）
A.
a<v<aba < v < \sqrt{ab}
B.
v=abv = \sqrt{ab}
C.
ab<v<a+b2\sqrt{ab} < v < \frac{a + b}{2}
D.
v=a+b2v = \frac{a + b}{2}

2012 · 陕西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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15不等式★★★☆☆
若关于 xx 的不等式 ∣a∣⩾∣x+1∣+∣x−2∣\left|a\right| \geqslant \left|x + 1\right| + \left|x - 2\right| 存在实数解，则实数 aa 的取值范围是______.

2011 · 陕西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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10不等式★★★☆☆
植树节某班 2020 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米10\text{ 米}，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从 11 到 2020 依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）
A.
11 和 2020
B.
99 和 1010
C.
99 和 1111
D.
1010 和 1111

2011 · 陕西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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