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135分函数与初等函数★★★☆☆
若函数 f(x)=2x+22−x−mf\left( x \right)=2^x+2^{2-x}-m 有两个零点，则 mm 的取值范围是______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 13 题 · 填空题

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155分导数及其应用★★★☆☆
函数 f(x)=∣2x−1∣−2ln⁡xf(x)=|2x-1|-2\ln x 的最小值为______.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
若 a>0a>0，b>0b>0，则 1a+ab2+b\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{b^2}+b 的最小值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 天津 · 第 13 题 · 填空题

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07不等式★★★☆☆
已知 x≤3x\le 3，2x−y−2≥02x-y-2\ge 0，3x+y−8≥03x+y-8\ge 0，z=x−yz=x-y，则 zz 的最大值为______.

2021 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
已知 a>0a>0，b>0b>0，且 ab=1ab=1，则 12a+12b+8a+b\dfrac1{2a}+\dfrac1{2b}+\dfrac8{a+b} 的最小值为______.

2020 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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12不等式★★★☆☆
已知 5x2y2+y4=15x^2y^2+y^4=1（xx，y∈Ry\in\mathbf{R}），则 x2+y2x^2+y^2 的最小值是______.

2020 · 江苏 · 第 12 题 · 填空题

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10不等式★★★☆☆
若 xx，yy 满足 x≤2x\le2，y≥−1y\ge-1，4x−3y+1≥04x-3y+1\ge0，则 y−xy-x 的最小值为______，最大值为______.

2019 · 北京 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★☆☆
李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓，京白梨，西瓜，桃，价格依次为 6060 元/盒，6565 元/盒，8080 元/盒，9090 元/盒. 为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120120 元，顾客就少付 xx 元. 每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%80\%.
(1) 当 x=10x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 11 盒，需要支付______ 元； (2) 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 xx 的最大值为______.

2019 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
设 x>0x>0，y>0y>0，x+2y=5x+2y=5，则 (x+1)(2y+1)xy\dfrac{(x+1)(2y+1)}{\sqrt{xy}} 的最小值为______. \begin{answer} 434\sqrt3 \end{answer}

2019 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
设 x>0x>0，y>0y>0，x+2y=5x+2y=5，则 (x+1)(2y+1)xy\dfrac{(x+1)(2y+1)}{xy} 的最小值为______.

2019 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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10不等式★★★☆☆
如图，已知正方形 OABCOABC，其中 OA=aOA=a（a>1a>1），函数 y=3x2y=3x^2 交 BCBC 于点 PP，函数 y=x−12y=x^{-\frac{1}{2}} 交 ABAB 于点 QQ，当 ∣AQ∣+∣CP∣|AQ|+|CP| 最小时，则 aa 的值为______.

2019 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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10不等式★★★☆☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，PP 是曲线 y=x+4xy=x+\dfrac4x（x>0x>0）上的一个动点，则点 PP 到直线 x+y=0x+y=0 的距离的最小值是______.
\begin{answer} 44 \end{answer}

2019 · 江苏 · 第 10 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，且 a−3b+6=0a-3b+6=0，则 2a+18b2^a+\dfrac1{8^b} 的最小值为______.

2018 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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13三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 所对的边分别为 aa，bb，cc，∠ABC=120∘\angle ABC=120^\circ，∠ABC\angle ABC 的平分线交 ACAC 于点 DD，且 BD=1BD=1，则 4a+c4a+c 的最小值为______.

2018 · 江苏 · 第 13 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
已知 λ∈R\lambda\in\mathbf{R}，函数
f(x)={x−4,x≥λ,x2−4x+3,x<λf(x)=\begin{cases} x-4, & x\ge\lambda,\\ x^2-4x+3, & x<\lambda \end{cases}
当 λ=2\lambda=2 时，不等式 f(x)<0f(x)<0 的解集是______. 若函数 f(x)f(x) 恰有 22 个零点，则 λ\lambda 的取值范围是______.

2018 · 浙江 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
设函数
f(x)={x+1,x≤0,2x,x>0,f(x)=\begin{cases} x+1,&x\le 0,\\ 2^x,&x>0, \end{cases}
，则满足 f(x)+f(x−12)>1f(x)+f\left(x-\dfrac12\right)>1 的 xx 值范围是______

2017 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
① 男学生人数多于女学生人数； ② 女学生人数多于教师人数； ③ 教师人数的两倍多于男学生人数.
(1) 若教师人数为 44，则女学生人数的最大值为______. (2) 该小组人数的最小值为______.

2017 · 北京 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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12不等式★★★☆☆
若直线 xa+yb=1\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1（a>0a>0，b>0b>0）过点 (1,2)(1,2)，则 2a+b2a+b 的最小值为______.

2017 · 山东 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
某高科技企业生产产品 AA 和产品 BB，需要甲，乙两种新型材料. 生产一件产品 AA 需要甲材料 1.5 kg1.5\text{ kg}，乙材料 1 kg1\text{ kg}，用 55 个工时；生产一件产品 BB 需要甲材料 0.5 kg0.5\text{ kg}，乙材料 0.3 kg0.3\text{ kg}，用 33 个工时，生产一件产品 AA 的利润为 21002100 元，生产一件产品 BB 的利润为 900900 元. 该企业现有甲材料 150 kg150\text{ kg}，乙材料 90 kg90\text{ kg}，则在不超过 600600 个工时的条件下，生产产品 AA，产品 BB 的利润之和的最大值为______ 元.

2016 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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10解析几何★★★☆☆
设 a>0a>0，b>0b>0，若关于 xx，yy 的方程组
{ax+y=1,x+by=1\begin{cases} ax+y=1,\\ x+by=1 \end{cases}
无解，则 a+ba+b 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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13不等式★★★☆☆
设 a>0a>0，b>0b>0，若关于 xx，yy 的方程组
{ax+y=1,x+by=1\begin{cases} ax+y=1,\\ x+by=1 \end{cases}
无解，则 a+ba+b 的取值范围是______.

2016 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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16不等式★★★☆☆
若函数 f(x)=∣x+1∣+2∣x−a∣f(x) = |x + 1| + 2|x - a| 的最小值为 5，则实数 a=a =______.
\begin{answer} −6-6 或 44 \end{answer}
\begin{solution} 当 a⩾−1a\geqslant-1 时，分三段展开：
f(x)={2a−3x−1,x⩽−1,2a+1−x,−1⩽x⩽a,3x+1−2a,x⩾a.f(x)= \begin{cases} 2a-3x-1, & x\leqslant-1,\\ 2a+1-x, & -1\leqslant x\leqslant a,\\ 3x+1-2a, & x\geqslant a. \end{cases}
前两段的斜率分别为 −3-3、−1-1，后一段的斜率为 33，所以函数先递减后递增，最小值在 x=ax=a 处取得，且 f(a)=a+1f(a)=a+1. 令 a+1=5a+1=5，得 a=4a=4.
当 a⩽−1a\leqslant-1 时，分三段展开：
f(x)={2a−3x−1,x⩽a,x−1−2a,a⩽x⩽−1,3x+1−2a,x⩾−1.f(x)= \begin{cases} 2a-3x-1, & x\leqslant a,\\ x-1-2a, & a\leqslant x\leqslant-1,\\ 3x+1-2a, & x\geqslant-1. \end{cases}
三段的斜率分别为 −3-3、11、33，所以函数先递减后递增，最小值在 x=ax=a 处取得，且 f(a)=−a−1f(a)=-a-1. 令 −a−1=5-a-1=5，得 a=−6a=-6.
因此 a=−6a=-6 或 a=4a=4. \end{solution}

2015 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14不等式★★★☆☆
设 aa，b>0b > 0，a+b=5a + b = 5，则 a+1+b+3\sqrt{a + 1} + \sqrt{b + 3} 的最大值为______.

2015 · 重庆 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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09函数与初等函数★★★☆☆
设
f(x)={(x−a)2,x⩽0,x+1x+a,x>0,f(x) = \begin{cases} (x - a)^2, & x \leqslant 0,\\ x + \frac{1}{x} + a, & x > 0, \end{cases}
若 f(0)f(0) 是 f(x)f(x) 的最小值，则 aa 的取值范围为______.
\begin{answer} [0,2]\left[0,2\right] \end{answer}
\begin{solution} 有 f(0)=a2f(0)=a^2. 若 a<0a<0，则点 x=a⩽0x=a\leqslant0 属于第一段定义域，且 f(a)=0<a2=f(0)f(a)=0<a^2=f(0)，不合题意，所以必须有 a⩾0a\geqslant0. 此时对任意 x⩽0x\leqslant0，有 a−x⩾aa-x\geqslant a，从而 f(x)=(a−x)2⩾a2=f(0)f(x)=(a-x)^2\geqslant a^2=f(0). 对任意 x>0x>0，由基本不等式得 x+1x+a⩾2+ax+\dfrac1x+a\geqslant2+a，且在 x=1x=1 时取等号. 因而 f(0)f(0) 为全局最小值的充要条件是 a2⩽a+2a^2\leqslant a+2. 联立 a⩾0a\geqslant0，得 (a−2)(a+1)⩽0(a-2)(a+1)\leqslant0，所以 0⩽a⩽20\leqslant a\leqslant2. \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10不等式★★★☆☆
已知函数 f(x)=x2+mx−1f(x) = x^2 + mx - 1，若对于任意 x∈[m,m+1]x \in [m, m + 1]，都有 f(x)<0f(x) < 0 成立，则实数 mm 的取值范围是______.

2014 · 江苏 · 第 10 题 · 填空题

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