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065分导数及其应用★★★☆☆
已知函数 f(x)=x+2ex+af(x)=\dfrac{x+2}{\mathrm{e}^x+a} 的最大值为 11，则 a=a=（ ）
A.
12\dfrac{1}{2}
B.
11
C.
32\dfrac{3}{2}
D.
22

2026 · 全国 · 一卷 · 第 6 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
学校组织高一，高二学生参观甲，乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往. 已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（ ）
A.
去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数
B.
去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数
C.
去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数
D.
去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数

2026 · 北京 · 第 9 题 · 选择题

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08不等式★★★☆☆
下列函数中最小值为 44 的是（ ）
A.
y=x2+2x+4y=x^2+2x+4
B.
y=∣sin⁡x∣+4∣sin⁡x∣y=|\sin x|+\dfrac{4}{|\sin x|}
C.
y=2x+22−xy=2^x+2^{2-x}
D.
y=ln⁡x+4ln⁡xy=\ln x+\dfrac{4}{\ln x}

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
设 OO 为坐标原点，直线 x=ax=a 与双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的两条渐近线分别交于 DD，EE 两点. 若 △ODE\triangle ODE 的面积为 88，则 CC 的焦距的最小值为（ ）
A.
44
B.
88
C.
1616
D.
3232

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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11集合与逻辑基础★★★☆☆
记不等式组 x+y≥6x+y\ge6，2x−y>02x-y>0 表示的平面区域为 DD. 命题 pp：∃(x,y)∈D\exists (x,y)\in D，2x+y≥92x+y\ge9；命题 qq：∀(x,y)∈D\forall (x,y)\in D，2x+y≤122x+y\le12. 下面给出了四个命题：
① p∨qp\vee q； ② ¬p∨q\neg p\vee q； ③ p∧¬qp\wedge\neg q； ④ ¬p∧¬q\neg p\wedge\neg q.
这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）
A.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
B.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}
C.
\circled2\circled3\circled{2}\circled{3}
D.
\circled3\circled4\circled{3}\circled{4}

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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05不等式★★★☆☆
若 xx，yy 满足 ∣x∣≤1−y\left|x\right|\le1-y，且 y≥−1y\ge-1，则 3x+y3x+y 的最大值为（ ）.
A.
−7-7
B.
11
C.
55
D.
77

2019 · 北京 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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03不等式★★★☆☆
若实数 xx，yy 满足约束条件
{x−3y+4≥0,3x−y−4≤0,x+y≥0,\begin{cases} x-3y+4\ge0,\\ 3x-y-4\le0,\\ x+y\ge0, \end{cases}
则 z=3x+2yz=3x+2y 的最大值是（ ）
A.
−1-1
B.
11
C.
1010
D.
1212

2019 · 浙江 · 第 3 题 · 选择题

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08集合与逻辑基础★★★☆☆
设集合 A={(x,y)∣x−y≥1, ax+y>4, x−ay≤2}A=\{(x,y)\mid x-y\ge1,\ ax+y>4,\ x-ay\le2\}，则（ ）.
A.
对任意实数 aa，(2,1)∈A(2,1)\in A
B.
对任意实数 aa，(2,1)∉A(2,1)\notin A
C.
当且仅当 a<0a<0 时，(2,1)∉A(2,1)\notin A
D.
当且仅当 a≤32a\le\dfrac32 时，(2,1)∉A(2,1)\notin A

2018 · 北京 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
已知 FF 为抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 的焦点，过 FF 作两条互相垂直的直线 l1l_1，l2l_2，直线 l1l_1 与 CC 交于 AA，BB 两点，直线 l2l_2 与 CC 交于 DD，EE 两点，则 ∣AB∣+∣DE∣\lvert AB\rvert+\lvert DE\rvert 的最小值为（ ）
A.
1616
B.
1414
C.
1212
D.
1010

2017 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
若 a>b>0a>b>0，且 ab=1ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A.
a+1b<b2a<log⁡2(a+b)a+\dfrac1b<\dfrac{b}{2a}<\log_2(a+b)
B.
b2a<log⁡2(a+b)<a+1b\dfrac{b}{2a}<\log_2(a+b)<a+\dfrac1b
C.
a+1b<log⁡2(a+b)<b2aa+\dfrac1b<\log_2(a+b)<\dfrac{b}{2a}
D.
log⁡2(a+b)<a+1b<b2a\log_2(a+b)<a+\dfrac1b<\dfrac{b}{2a}

2017 · 山东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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03不等式★★★☆☆
在平面上，过点 PP 作直线 ll 的垂线所得的垂足称为点 PP 在直线 ll 上的投影，由区域
{x−2≤0,x+y≥0,x−3y+4≥0\begin{cases} x-2\le 0,\\ x+y\ge 0,\\ x-3y+4\ge 0 \end{cases}
中的点在直线 x+y−2=0x+y-2=0 上的投影构成的线段记为 ABAB，则 ∣AB∣=|AB|=（ ）
A.
222\sqrt2
B.
44
C.
323\sqrt2
D.
66

2016 · 浙江 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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24集合与逻辑基础★★★☆☆
设集合 P1={x∣x2+ax+1>0}P_1 = \left\{ x \mid x^2 + ax + 1 > 0 \right\}， P2={x∣x2+ax+2>0}P_2 = \left\{ x \mid x^2 + ax + 2 > 0 \right\}， Q1={x∣x2+x+b>0}Q_1 = \left\{ x \mid x^2 + x + b > 0 \right\}， Q2={x∣x2+2x+b>0}Q_2 = \left\{ x \mid x^2 + 2x + b > 0 \right\} 其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，下列说法正确的是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 若 x∈P1x\in P_1，则 x2+ax+1>0x^2+ax+1>0，从而 x2+ax+2=(x2+ax+1)+1>0x^2+ax+2=(x^2+ax+1)+1>0，所以对任意 aa，都有 P1⊆P2P_1\subseteq P_2.
取 b>1b>1，则 x2+x+b>0x^2+x+b>0 和 x2+2x+b>0x^2+2x+b>0 的判别式分别为 1−4b<01-4b<0 和 4−4b<04-4b<0，于是 Q1=Q2=RQ_1=Q_2=\mathbf{R}，特别地 Q1⊆Q2Q_1\subseteq Q_2. 因此选项 B 正确. \end{solution}
A.
对任意 aa， P1P_1 是 P2P_2 的子集；对任意的 bb， Q1Q_1 不是 Q2Q_2 的子集
B.
对任意 aa， P1P_1 是 P2P_2 的子集；存在 bb，使得 Q1Q_1 是 Q2Q_2 的子集
C.
存在 aa，使得 P1P_1 不是 P2P_2 的子集；对任意的 bb， Q1Q_1 不是 Q2Q_2 的子集
D.
存在 aa，使得 P1P_1 不是 P2P_2 的子集；存在 bb，使得 Q1Q_1 是 Q2Q_2 的子集

2015 · 上海 · 春季 · 第 24 题 · 选择题

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31不等式★★★☆☆
对于任意实数 aa， bb， (a−b)2≥kab(a-b)^2 \geq kab 均成立，则实数 kk 的取值范围是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 原不等式等价于 a2−(k+2)ab+b2≥0a^2-(k+2)ab+b^2\geq0 对任意实数 aa，bb 成立. 当 b≠0b\neq0 时令 t=abt=\frac ab，则必须有 t2−(k+2)t+1≥0t^2-(k+2)t+1\geq0 对任意实数 tt 成立. 这要求该二次式的判别式不大于零，即 (k+2)2−4≤0(k+2)^2-4\leq0，从而 −4≤k≤0-4\leq k\leq0. 当 b=0b=0 时原不等式显然成立，所以取值范围为 [−4,0][-4,0]. 选 B. \end{solution}
A.
{−4,0}\{-4,0\}
B.
[−4,0][-4, 0]
C.
(−∞,0](- \infty, 0]
D.
(−∞,−4]∪[0,+∞)(- \infty, -4] \cup [0, +\infty)

2015 · 上海 · 春季 · 第 31 题 · 选择题

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06不等式★★★☆☆
有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同. 已知三个房间的粉刷面积（单位：m2\mathrm{m}^2）分别为 xx，yy，zz，且 x<y<zx<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2\mathrm{m}^2）分别为 aa，bb，cc，且 a<b<ca<b<c. 在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A.
ax+by+czax+by+cz
B.
az+by+cxaz+by+cx
C.
ay+bz+cxay+bz+cx
D.
ay+bx+czay+bx+cz

2015 · 浙江 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
已知 AB→⊥AC→\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}，∣AB→∣=1t|\overrightarrow{AB}| = \frac{1}{t}，∣AC→∣=t|\overrightarrow{AC}| = t. 若点 PP 是 △ABC\triangle ABC 所在平面内的一点，且 AP→=AB→∣AB→∣+4AC→∣AC→∣\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}，则 PB→⋅PC→\overrightarrow{PB} \cdot \overrightarrow{PC} 的最大值等于（ ）
A.
13
B.
15
C.
19
D.
21

2015 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
将离心率为 e1e_1 的双曲线 C1C_1 的实半轴长 aa 和虚半轴长 bb（a≠ba\neq b）同时增加 mm（m>0m>0）个单位长度，得到离心率为 e2e_2 的双曲线 C2C_2，则（ ）
A.
对任意的 aa，bb，e1>e2e_1>e_2
B.
当 a>ba>b 时，e1>e2e_1>e_2；当 a<ba<b 时，e1<e2e_1<e_2
C.
对任意的 aa，bb，e1<e2e_1<e_2
D.
当 a>ba>b 时，e1<e2e_1<e_2；当 a<ba<b 时，e1>e2e_1>e_2

2015 · 湖北 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
若实数 aa，bb 满足 1a+2b=ab\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = \sqrt{ab}，则 abab 的最小值为（ ）
A.
2\sqrt{2}
B.
22
C.
222 \sqrt{2}
D.
44

2015 · 湖南 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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10指数函数与对数函数★★★☆☆
设 f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x，0<a<b0 < a < b. 若 p=f(ab)p = f\left(\sqrt{ab}\right)，q=f(a+b2)q = f\left(\frac{a + b}{2}\right)，r=12(f(a)+f(b))r = \frac{1}{2}(f(a) + f(b))，则下列关系式中正确的是（ ）
A.
q=r<pq = r < p
B.
q=r>pq = r > p
C.
p=r<qp = r < q
D.
p=r>qp = r > q

2015 · 陕西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11不等式★★★☆☆
某企业生产甲，乙两种产品均需用 A，B 两种原料，已知生产 1 吨1\text{ 吨}每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.
如果生产 1 吨1\text{ 吨}甲，乙产品可获利润分别为 3 万元3\text{ 万元}，4 万元4\text{ 万元}，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A.
12 万元12\text{ 万元}
B.
16 万元16\text{ 万元}
C.
17 万元17\text{ 万元}
D.
18 万元18\text{ 万元}

2015 · 陕西 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
不等式组
{x+y⩾1,x−2y⩽4\begin{cases} x + y \geqslant 1,\\ x - 2y \leqslant 4 \end{cases}
的解集记为 DD. 有下面四个命题：
① p1 ⁣:∀(x,y)∈Dp_1\colon \forall (x,y)\in D，x+2y⩾−2x + 2y\geqslant -2； ② p2 ⁣:∃(x,y)∈Dp_2\colon \exists (x,y)\in D，x+2y⩾2x + 2y\geqslant 2； ③ p3 ⁣:∀(x,y)∈Dp_3\colon \forall (x,y)\in D，x+2y⩽3x + 2y\leqslant 3； ④ p4 ⁣:∃(x,y)∈Dp_4\colon \exists (x,y)\in D，x+2y⩽−1x + 2y\leqslant -1.
其中真命题是（ ）
A.
p2,p3p_2, p_3
B.
p1p_1，p2p_2
C.
p1p_1，p4p_4
D.
p1p_1，p3p_3

2014 · 全国 · 新课程一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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06不等式★★★☆☆
若 xx，yy 满足
{x+y−2⩾0,kx−y+2⩾0,y⩾0,\begin{cases} x + y - 2 \geqslant 0,\\ kx - y + 2 \geqslant 0,\\ y \geqslant 0, \end{cases}
且 z=y−xz = y - x 的最小值为 −4-4，则 kk 的值为（ ）
A.
2
B.
−2-2
C.
12\frac{1}{2}
D.
−12-\frac{1}{2}

2014 · 北京 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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11不等式★★★☆☆
当 x∈[−2,1]x \in [-2, 1] 时，不等式 ax3−x2+4x+3⩾0ax^3 - x^2 + 4x + 3 \geqslant 0 恒成立，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−5,−3][-5, - 3]
B.
[−6,−98]\left[-6, -\frac{9}{8}\right]
C.
[−6,−2][-6, - 2]
D.
[−4,−3][-4, - 3]

2014 · 辽宁 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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18函数与初等函数★★★☆☆
设
f(x)={(x−a)2,x⩽0,x+1x+a,x>0,f(x) = \begin{cases} (x - a)^2, & x \leqslant 0,\\ x + \frac{1}{x} + a, & x > 0, \end{cases}
若 f(0)f(0) 是 f(x)f(x) 的最小值，则 aa 的取值范围为（ ）
A.
[−1,2][-1, 2]
B.
[−1,0][-1,0]
C.
[1,2][1, 2]
D.
[0,2][0,2]

2014 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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05不等式★★★☆☆
xx，yy 满足约束条件
{x+y−2⩽0,x−2y−2⩽0,2x−y+2⩾0,\begin{cases} x + y - 2 \leqslant 0,\\ x - 2y - 2 \leqslant 0,\\ 2x - y + 2 \geqslant 0, \end{cases}
若 z=y−axz = y - ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 aa 的值为（ ）
\begin{solution} 三个边界直线分别为 y=−x+2y=-x+2、y=12x−1y=\dfrac12x-1 和 y=2x+2y=2x+2，它们围成的可行域是顶点为 (−2,−2)(-2,-2)、(0,2)(0,2)、(2,0)(2,0) 的三角形. 目标函数 z=y−axz=y-ax 的等值线为 y=ax+zy=ax+z，最优解不唯一时，等值线必须与可行域的一条边重合. 当 a=−1a=-1 时，z=x+y⩽2z=x+y\leqslant2，在边 x+y=2x+y=2 上取得最大值；当 a=2a=2 时，z=y−2x⩽2z=y-2x\leqslant2，在边 2x−y+2=02x-y+2=0 上取得最大值. 另一条边的斜率为 12\dfrac12，但当 a=12a=\dfrac12 时，目标函数在三个顶点处的值依次为 −1-1，22，−1-1，最大值只在 (0,2)(0,2) 处取得. 所以 a=2a=2 或 −1-1，故选 D. \end{solution}
A.
12\frac{1}{2} 或 −1-1
B.
22 或 12\frac{1}{2}
C.
22 或 11
D.
22 或 −1-1

2014 · 安徽 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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09不等式★★★☆☆
若函数 f(x)=∣x+1∣+∣2x+a∣f(x) = |x + 1| + |2x + a| 的最小值为 3，则实数 aa 的值为（ ）
\begin{solution} 将 ∣2x+a∣\lvert2x+a\rvert 写成 2∣x+a2∣2\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert，则 f(x)=∣x+1∣+2∣x+a2∣f(x)=\lvert x+1\rvert+2\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert. 由三角不等式， f(x)=(∣x+1∣+∣x+a2∣)+∣x+a2∣⩾∣1−a2∣+∣x+a2∣⩾∣1−a2∣f(x)=\left(\lvert x+1\rvert+\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert\right)+\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert\geqslant\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert+\left\lvert x+\dfrac a2\right\rvert\geqslant\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert. 当 x=−a2x=-\dfrac a2 时，f(x)=∣1−a2∣f(x)=\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert，故函数最小值为 ∣1−a2∣\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert. 由题意 ∣1−a2∣=3\left\lvert1-\dfrac a2\right\rvert=3，得 a=−4a=-4 或 a=8a=8，故选 D. \end{solution}
A.
55 或 88
B.
−1-1 或 55
C.
−1-1 或 −4-4
D.
−4-4 或 88

2014 · 安徽 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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