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17概率与统计★★★☆☆
工厂为了保护和改善环境，记录了颗粒物密度和二氧化硫密度. 下表是 20232023 年前九年数据：
(1) 从九年中任意抽取一年，该年份颗粒物密度比二氧化硫密度高的概率是多少？ (2) 想要研究颗粒物密度和二氧化硫密度的线性关系，你准备选择扇形图，茎叶图还是散点图？研究颗粒物密度和二氧化硫密度的相关系数，你认为在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,1)(0,1) 还是 (1,2)(1,2) 内？直接写出答案； (3) 九年中的平均年份是 20182018 年. 设 xx 为年份，颗粒物密度为 yy，现在有两个选择：y1=106.55e−0.461(x−2014)y_1=106.55\mathrm{e}^{-0.461\left( x-2014 \right)}，y2=a(x−2014)+83.743y_2=a\left( x-2014 \right)+83.743（a∈Ra\in\mathbf{R}），其中 y1y_1 是回归方程，y2y_2 是线性回归方程. 通过预测值与实际值之差的绝对值来比较精确度，已知在 20232023 年实际颗粒物密度为 3.883.88，预测值与实际值之差的绝对值哪个更小（精确到 0.010.01）？

2026 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某地区为调查初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区 29000 名初中生中抽取 580 人，得到日均体育锻炼时长（表中简称时长）与学业成绩的数据如下表所示：
(1) 估计该地区 29000 名初中生中体育锻炼时长大于 1 小时人数； (2) 估计该地区初中生平均日均体育锻炼时长（结果精确到 0.1 小时）； (3) 判断是否有 95% 的把握认为该地区初中生学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于 1 小时且小于 2 小时有关？ （附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，其中 n=a+b+c+dn=a+b+c+d，P(χ2≥3.841)≈0.05P(\chi^2\ge 3.841)\approx 0.05.）

2024 · 上海 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
2023 年 6 月 7 日，21 世纪汽车博览会在上海举行. 已知某汽车模型公司共有 2525 个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
棕色内饰2233
(1) 小明从这些汽车模型中随机取出一个，记事件 A 为“小明取到红色外观的汽车模型”，事件 B 为“小明取到棕色内饰的汽车模型”，求 P(B)P(B) 和 P(B∣A)P(B\mid A)，并据此判断事件 A 和事件 B 是否独立； (2) 该公司举行抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些汽车模型中随机取出两个汽车模型，并给出以下假设：
(i) 取出的两个汽车模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色，外观和内饰均不为同色，以及仅外观或仅内饰为同色； (ii) 按出现结果的可能性大小，概率越小奖项越高； (iii) 抽奖活动的奖金金额为：一等奖 600600 元，二等奖 300300 元，三等奖 150150 元.
请分析各奖项对应的结果，设 XX 为奖金额，写出 XX 的分布并求其数学期望.

2023 · 上海 · 第 17 题 · 解答题

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09计数原理与组合数学★★★☆☆
为了检测学生的身体素质指标，需从游泳类 11 项，球类 33 项，田径类 44 项，共 88 项项目中随机抽取 44 项进行测试，每一类都被抽到的概率为______（结果用最简分数表示）.

2022 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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07概率与统计★★★☆☆
已知有四个数 11，22，aa，bb，这四个数的中位数是 33，平均数是 44，则 ab=ab=______.

2020 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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09概率与统计★★★☆☆
已知四个函数：
① y=−xy=-x； ② y=−1xy=-\dfrac1x； ③ y=x3y=x^3； ④ y=x12y=x^{\frac12}.
从中任选 22 个，则事件“所选 22 个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为______.

2017 · 上海 · 第 9 题 · 填空题

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14概率与统计★★★☆☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，OO 为正八边形 A1A2⋯A8A_1A_2\cdots A_8 的中心，A1(1,0)A_1(1,0)，任取不同的两点 AiA_i，AjA_j，点 PP 满足 OP→+OAi→+OAj→=\bs0\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OA_i}+\overrightarrow{OA_j}=\bs0，则点 PP 落在第一象限的概率是______.

2016 · 上海 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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12概率与统计★★★☆☆
赌博有陷阱. 某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 11，22，33，44，55 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.41.4 倍作为其奖金（单位：元）. 若随机变量 ξ1\xi_{1} 和 ξ2\xi_{2} 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 E(ξ1)−E(ξ2)=E(\xi_{1}) - E(\xi_{2}) =______（元）.

2015 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★★☆☆
某游戏的得分为 11，22，33，44，55，随机变量 ξ\xi 表示小白玩该游戏的得分. 若 E(ξ)=4.2E(\xi) = 4.2，则小白得 5 分5\text{ 分} 的概率至少为______.

2014 · 上海 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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10概率与统计★★★☆☆
设非零常数 dd 是等差数列 x1x_1，x2x_2，x3x_3，⋯\cdots，x19x_{19} 的公差，随机变量 ξ\xi 等可能地取值 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，x19x_{19}，则方差 D(ξ)=D(\xi)=______. \begin{answer} 30d230d^2 \end{answer}
\begin{solution} 等差数列可写为 xi=x1+(i−1)dx_i=x_1+(i-1)d. 由于 ξ\xi 等可能取这 1919 个值，其平均数为
E(ξ)=x1+x192=x1+9dE(\xi)=\frac{x_1+x_{19}}{2}=x_1+9d
因此
D(ξ)=119∑i=119(xi−x1−9d)2=d219∑i=119(i−10)2D(\xi)=\frac{1}{19}\sum_{i=1}^{19}(x_i-x_1-9d)^2 =\frac{d^2}{19}\sum_{i=1}^{19}(i-10)^2
令 r=i−10r=i-10，则
∑i=119(i−10)2=2∑r=19r2=2⋅9⋅10⋅196=570\sum_{i=1}^{19}(i-10)^2=2\sum_{r=1}^{9}r^2 =2\cdot\frac{9\cdot10\cdot19}{6}=570
所以 D(ξ)=57019d2=30d2D(\xi)=\frac{570}{19}d^2=30d^2. \end{solution}

2013 · 上海 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11概率与统计★★★☆☆
三位同学参加跳高，跳远，铅球项目的比赛. 若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是______. （结果用最简分数表示）

2012 · 上海 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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09概率与统计★★★☆☆
马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ\xi 的概率分布列如下表：
请小牛同学计算 ξ\xi 的数学期望，尽管“!”处无法完全看清，且两个“?”处字迹模糊，但能肯定这两个“?”处的数值相同. 据此，小牛给出了正确答案 E(ξ)=E(\xi)=______.

2011 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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12概率与统计★★★☆☆
随机抽取的 9 位同学中，至少有 2 位同学在同一月份出生的概率为______. （默认每个月的天数相同，结果精确到 0.001）

2011 · 上海 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13概率与统计★★★☆☆
随机抽取的 99 位同学中，至少有 22 位同学在同一月份出生的概率为______（默认每个月的天数相同，结果精确到 0.0010.001）.

2011 · 上海 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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18概率与统计★★★☆☆
在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续 1010 天，每天新增疑似病例不超过 77 人”. 根据过去 1010 天甲，乙，丙，丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）
A.
甲地：总体均值为 33，中位数为 44
B.
乙地：总体均值为 11，总体方差大于 00
C.
丙地：中位数为 22，众数为 33
D.
丁地：总体均值为 22，总体方差为 33

2009 · 上海 · 文 · 第 18 题 · 选择题

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09概率与统计★★★☆☆
已知总体的各个体的值由小到大依次为 22，33，33，77，aa，bb，1212，13.713.7，18.318.3，2020，且总体的中位数为 10.510.5. 若要使该总体的方差最小，则 aa，bb 的取值分别是______.

2008 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10概率与统计★★★☆☆
已知总体的各个体的值由小到大依次为 22，33，33，77，aa，bb，1212，13.713.7，18.318.3，2020，且总体的中位数为 10.510.5. 若要使该总体的方差最小，则 aa，bb 的取值分别是______.

2008 · 上海 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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09概率与统计★★★☆☆
两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成. 每卷 1 本1\text{ 本}，共 8 本8\text{ 本}. 将它们任意地排成一排，左边 4 本4\text{ 本} 恰好都属于同一部小说的概率是______. （结果用分数表示）

2006 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★★☆☆
若在二项式 (x+1)10(x + 1)^{10} 的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是______.（结果用分数表示）

2004 · 上海 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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