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1513分概率与统计★★★☆☆
从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图：
(1) 估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2) 记 p^\hat{p} 为 11 件这种电子产品首次出现故障的时间小于 365365 天的概率的估计值.
(i) 求 p^\hat{p}； (ii) 该厂向某用户销售 100100 件这种电子产品，记 XX 为这 100100 件电子产品中首次出现故障的时间小于 365365 天的件数，假设 X∼B(100,p^)X\sim B\left( 100,\hat{p} \right)，求 E(X)E\left( X \right)，D(X)D\left( X \right).

2026 · 全国 · 二卷 · 第 15 题 · 解答题

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126分概率与统计★★★☆☆
在信道内传输 0,10,1 信号，信号的传输相互独立. 发送 00 时，收到 11 的概率为 α\alpha（0<α<10<\alpha<1），收到 00 的概率为 1−α1-\alpha；发送 11 时，收到 00 的概率为 β\beta（0<β<10<\beta<1），收到 11 的概率为 1−β1-\beta. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输. 单次传输是指每个信号只发送 11 次，三次传输是指每个信号重复发送 33 次. 收到的信号需要译码：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码. 则（ ）
A.
采用单次传输方案，若依次发送 1,0,11,0,1，则依次收到 1,0,11,0,1 的概率为 (1−α)(1−β)2(1-\alpha)(1-\beta)^2
B.
采用三次传输方案，若发送 11，则依次收到 11，00，11 的概率为 β(1−β)2\beta(1-\beta)^2
C.
采用三次传输方案，若发送 11，则译码为 11 的概率为 β(1−β)2+(1−β)3\beta(1-\beta)^2+(1-\beta)^3
D.
当 0<α<0.50<\alpha<0.5 时，若发送 00，则采用三次传输方案译码为 00 的概率大于采用单次传输方案译码为 00 的概率

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 12 题 · 多选题

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1917分概率与统计★★★☆☆
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异. 经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 cc，将该指标大于 cc 的人判定为阳性，小于或等于 cc 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p(c)p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 q(c)q(c). 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1) 当漏诊率 p(c)=0.5%p(c)=0.5\% 时，求临界值 cc 和误诊率 q(c)q(c)； (2) 设函数 f(c)=p(c)+q(c)f(c)=p(c)+q(c). 当 c∈[95,105]c\in[95,105] 时，求 f(c)f(c) 的解析式，并求 f(c)f(c) 在区间 [95,105][95,105] 的最小值.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
从正方体的 88 个顶点中任选 44 个，则这 44 个点在同一个平面的概率为______.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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19概率与统计★★★☆☆
甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 1010 分，负方得 00 分，没有平局. 三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军. 已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.50.5，0.40.4，0.80.8，各项目的比赛结果相互独立.
(1) 求甲学校获得冠军的概率； (2) 用 XX 表示乙学校的总得分，求 XX 的分布列与期望.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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10概率与统计★★★☆☆
将 44 个 11 和 22 个 00 随机排成一行，则 22 个 00 不相邻的概率为（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
25\frac{2}{5}
C.
23\frac{2}{3}
D.
45\frac{4}{5}

2021 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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17概率与统计★★★☆☆
甲，乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品. 为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
(1) 甲机床，乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ (2) 能否有 99%99\% 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2021 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某学生兴趣小组随机调查了某市 100100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次[0,200][0,200](200,400](200,400](400,600](400,600]
空气质量等级 22（良）51012
空气质量等级 33（轻度污染）678
空气质量等级 44（中度污染）720
(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为 11，22，33，44 的概率； (2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3) 若某天的空气质量等级为 11 或 22，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 33 或 44，则称这天“空气质量不好”. 根据所给数据，完成下面的 2×22\times2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%95\% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400\le400人次>400>400
空气质量不好
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0100.001

2020 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某学生兴趣小组随机调查了某市 100100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
\airqualityheader[0,200][0,200](200,400](200,400](400,600](400,600]
22（良）5510101212
33（轻度污染）667788
44（中度污染）772200
(1) 分别估计该市一天的空气质量等级为 11，22，33，44 的概率； (2) 求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3) 若某天的空气质量等级为 11 或 22，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 33 或 44，则称这天“空气质量不好”. 根据所给数据，完成下面的 2×22\times 2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%95\% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400\le 400人次>400>400
空气质量不好
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0500.0100.0100.0010.001

2020 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200200 只小鼠随机分成 AA，BB 两组，每组 100100 只，其中 AA 组小鼠给服甲离子溶液，BB 组小鼠给服乙离子溶液. 每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔浓度相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比. 根据试验数据分别得到如下直方图：
记 CC 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.55.5” ，根据直方图得到 P(C)P(C) 的估计值为 0.700.70.
(1) 求乙离子残留百分比直方图中 aa，bb 的值； (2) 分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
=0pt

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
为了解甲，乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200200 只小鼠随机分成 AA，BB 两组，每组 100100 只，其中 AA 组小鼠给服甲离子溶液，BB 组小鼠给服乙离子溶液. 每只小鼠给服的溶液体积相同，摩尔浓度相同. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比. 根据试验数据分别得到如图直方图：
记 CC 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.55.5”，根据直方图得到 P(C)P(C) 的估计值为 0.700.70.
(1) 求乙离子残留百分比直方图中 aa，bb 的值； (2) 分别估计甲，乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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08概率与统计★★★☆☆
某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 pp，各成员的支付方式相互独立. 设 XX 为该群体的 1010 位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4D(X)=2.4，P(X=4)<P(X=6)P(X=4)<P(X=6)，则 p=p=（ ）
A.
0.70.7
B.
0.60.6
C.
0.40.4
D.
0.30.3

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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18概率与统计★★★☆☆
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取 4040 名工人，将他们随机分成两组，每组 2020 人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式. 根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min\mathrm{min}）绘制了如图茎叶图：
第一种生产方式茎第二种生产方式
99，77，66，227700，11，22，22，33，44，55，66，66，88
99，88，77，77，66，55，44，33，33，228811，44，44，55
22，11，11，00，009900
(1) 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； (2) 求 4040 名工人完成生产任务所需时间的中位数 mm，并将完成生产任务所需时间超过 mm 和不超过 mm 的工人数填入下面的列联表：
超过 mm不超过 mm
(3) 根据（2）中的列联表，能否有 99%99\% 的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n\left( ad-bc \right)^2}{\left( a+b \right)\left( c+d \right)\left( a+c \right)\left( b+d \right)}，
P(K2≥k)P\left( K^2\ge k \right)0.0500.0100.001

2018 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取 4040 名工人，将他们随机分成两组，每组 2020 人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式. 根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min\mathrm{min}）绘制了如下茎叶图：
\multicolumn10c∣第一种生产方式\multicolumn10c第二种生产方式86556899762701223456689877654332814452110090\begin{array}{c} \multicolumn{10}{c|}{第一种生产方式} & & \multicolumn{10}{c}{第二种生产方式} \\ \hline & & & & & & & & 8 & 6 & 5 & 5 & 6 & 8 & 9 & & & & & \\ & & & & & & 9 & 7 & 6 & 2 & 7 & 0 & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 6 & 8 \\ 9 & 8 & 7 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 3 & 2 & 8 & 1 & 4 & 4 & 5 & & & & & \\ & & & & & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 9 & 0 & & & & & & & & \\ \end{array}
(1) 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； (2) 求 4040 名工人完成生产任务所需时间的中位数 mm，并将完成生产任务所需时间超过 mm 和不超过 mm 的工人数填入下面的列联表； (3) 根据（2）中的列联表，能否有 99%99\% 的把握认为两种生产方式的效率有差异？
超过 mm不超过 mm总计
第二种生产方式

2018 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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