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085分概率与统计★★★☆☆
设 U={(x1,x2,x3)∣xi∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3}U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\} 为空间中 6464 个点构成的集合. 点 P(1,1,1)P(1,1,1)，记样本空间 Ω=∁U{P}\Omega=\complement_U \{P\}. 从 Ω\Omega 中随机取一个点，定义随机变量 XX 如下：对 Ω\Omega 中的每个点 A(x1,x2,x3)A(x_1,x_2,x_3)，令 X(A)=x1+x2+x3X(A)=x_1+x_2+x_3，则 XX 的数学期望为（ ）
A.
−121-\dfrac{1}{21}
B.
−163-\dfrac{1}{63}
C.
00
D.
17\dfrac{1}{7}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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145分概率与统计★★★☆☆
有5个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，从中有放回地随机取3次，每次取1个球，记 XX 为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则数学期望 E(X)=E(X) =______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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096分概率与统计★★★☆☆
为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入样本均值 x=2.1x=2.1，样本方差 s2=0.01s^2=0.01. 已知该种植区以往亩收入 X∼N(1.8,0.1)X\sim N(1.8,0.1)，假设推动出口后的亩收入 Y∼N(x,s)Y\sim N(x,s)，则（ ）（若 Z∼N(u,σ)Z\sim N(u,\sigma)，则 P(Z<u+σ)≈0.8413P(Z<u+\sigma)\approx0.8413）
A.
P(X>2)>0.2P(X>2)>0.2
B.
P(X>2)<0.5P(X>2)<0.5
C.
P(Y>2)>0.5P(Y>2)>0.5
D.
P(Y>2)<0.8P(Y>2)<0.8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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126分概率与统计★★★☆☆
在信道内传输 0,10,1 信号，信号的传输相互独立. 发送 00 时，收到 11 的概率为 α\alpha（0<α<10<\alpha<1），收到 00 的概率为 1−α1-\alpha；发送 11 时，收到 00 的概率为 β\beta（0<β<10<\beta<1），收到 11 的概率为 1−β1-\beta. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输. 单次传输是指每个信号只发送 11 次，三次传输是指每个信号重复发送 33 次. 收到的信号需要译码：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码. 则（ ）
A.
采用单次传输方案，若依次发送 1,0,11,0,1，则依次收到 1,0,11,0,1 的概率为 (1−α)(1−β)2(1-\alpha)(1-\beta)^2
B.
采用三次传输方案，若发送 11，则依次收到 11，00，11 的概率为 β(1−β)2\beta(1-\beta)^2
C.
采用三次传输方案，若发送 11，则译码为 11 的概率为 β(1−β)2+(1−β)3\beta(1-\beta)^2+(1-\beta)^3
D.
当 0<α<0.50<\alpha<0.5 时，若发送 00，则采用三次传输方案译码为 00 的概率大于采用单次传输方案译码为 00 的概率

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 12 题 · 多选题

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1917分概率与统计★★★☆☆
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异. 经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 cc，将该指标大于 cc 的人判定为阳性，小于或等于 cc 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 p(c)p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为 q(c)q(c). 假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1) 当漏诊率 p(c)=0.5%p(c)=0.5\% 时，求临界值 cc 和误诊率 q(c)q(c)； (2) 设函数 f(c)=p(c)+q(c)f(c)=p(c)+q(c). 当 c∈[95,105]c\in[95,105] 时，求 f(c)f(c) 的解析式，并求 f(c)f(c) 在区间 [95,105][95,105] 的最小值.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 1010 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2\mathrm{m}^2）和材积量（单位：m3\mathrm{m}^3），得到如下数据：
并计算得 ∑i=110xi2=0.038\sum_{i=1}^{10}x_i^2=0.038，∑i=110yi2=1.6158\sum_{i=1}^{10}y_i^2=1.6158，∑i=110xiyi=0.2474\sum_{i=1}^{10}x_iy_i=0.2474.
附：相关系数 r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)^2\sum_{i=1}^{n}\left( y_i-\bar{y} \right)^2}}，1.896≈1.377\sqrt{1.896}\approx1.377.
(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.010.01）； (3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 186m2186\mathrm{m}^2. 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比. 利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 1010 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2\text{m}^2）和材积量（单位：m3\text{m}^3），得到如下数据：
样本号 ii12345
材积量 yiy_i0.250.400.220.540.51
样本号 ii678910
------------------
材积量 yiy_i0.340.360.460.420.40
并计算得 ∑i=110xi=0.6\sum_{i=1}^{10}x_i=0.6，∑i=110yi=3.9\sum_{i=1}^{10}y_i=3.9，∑i=110xi2=0.038\sum_{i=1}^{10}x_i^2=0.038； ∑i=110yi2=1.6158\sum_{i=1}^{10}y_i^2=1.6158，∑i=110xiyi=0.2474\sum_{i=1}^{10}x_iy_i=0.2474.
(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.010.01）； (3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 186 m2186\text{ m}^2. 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附：相关系数 r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2r=\dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}}，且 1.896≈1.377\sqrt{1.896}\approx1.377.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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15概率与统计★★★☆☆
甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）. 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.60.6，客场取胜的概率为 0.50.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4:14:1 获胜的概率是______.
\begin{answer} 0.180.18 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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10概率与统计★★★☆☆
如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABCABC 的斜边 BCBC，直角边 ABAB，ACAC. △ABC\triangle ABC 的三边所围成的区域记为 II，黑色部分记为 IIII，其余部分记为 IIIIII. 在整个图形中随机取一点，此点取自 II，IIII，IIIIII 的概率分别记为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，则（ ）
A.
p1=p2p_1=p_2
B.
p1=p3p_1=p_3
C.
p2=p3p_2=p_3
D.
p1=p2+p3p_1=p_2+p_3

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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19概率与统计★★★☆☆
某家庭记录了未使用节水龙头 5050 天的日用水量数据（单位：m3\text{m}^3）和使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
(1) 作出使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据的频率分布直方图； (2) 估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m30.35\text{ m}^3 的概率； (3) 估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
已知 22 件次品和 33 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 22 件次品或者检测出 33 件正品时检测结束.
(1) 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2) 已知每检测一件产品需要费用 100100 元，设 XX 表示直到检测出 22 件次品或者检测出 33 件正品时所需要的检测费用（单位：元），求 XX 的分布列和均值（数学期望）.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 第一次检测出次品、第二次检测出正品的概率为
P=25⋅34=310P=\frac25\cdot\frac34=\frac3{10}
\item 若前两次都是次品，第二次检测结束，所以
P(X=200)=25⋅14=110P(X=200)=\frac25\cdot\frac14=\frac1{10}
第三次结束的情形为 BGBBGB、GBBGBB 或 GGGGGG，其中 BB 表示次品，GG 表示正品. 这三个有序结果的概率均为 110\frac1{10}，因此
P(X=300)=310P(X=300)=\frac3{10}
前四次才结束时，前三次必须恰有一件次品和两件正品，其概率为
P(X=400)=C21C32C53=610P(X=400)=\frac{\mathrm C_2^1\mathrm C_3^2}{\mathrm C_5^3}=\frac6{10}
此时第四件无论是次品还是正品，都会使相应数量达到终止条件. 因而 XX 的分布为 P(X=200)=110P(X=200)=\frac1{10}、P(X=300)=310P(X=300)=\frac3{10}、P(X=400)=610P(X=400)=\frac6{10}，且
E(X)=200⋅110+300⋅310+400⋅610=350E(X)=200\cdot\frac1{10}+300\cdot\frac3{10}+400\cdot\frac6{10}=350
\end{enumerate} \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某企业为了了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名50\text{ 名} 职工，根据这 50 名50\text{ 名} 职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[40,50)\left[40,50\right)，[50,60)\left[50,60\right)，…，[80,90)\left[80,90\right)，[90,100]\left[90,100\right].
(1) 求频率分布直方图中 aa 的值； (2) 估计该企业的职工对该部门评分不低于 8080 的概率； (3) 从评分在 [40,60)\left[40,60\right) 的受访职工中，随机抽取 2 人2\text{ 人}，求此 22 人评分都在 [40,50)\left[40,50\right) 的概率.

2015 · 安徽 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 23\frac{2}{3}，乙获胜的概率为 13\frac{1}{3}，各局比赛结果相互独立.
(1) 求甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的概率； (2) 记 XX 为比赛决出胜负时的总局数，求 XX 的分布列和均值（数学期望）.

2014 · 安徽 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某高校共有学生 15000 人15000\text{ 人}，其中男生 10500 人10500\text{ 人}，女生 4500 人4500\text{ 人}，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300 位300\text{ 位} 学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时\text{小时}）.
(1) 应收集多少位女生样本数据？ (2) 根据这 300 个300\text{ 个}样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[0,2][0,2]，(2,4](2,4]，(4,6](4,6]，(6,8](6,8]，(8,10](8,10]，(10,12](10,12]. 估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 个小时4\text{ 个小时} 的概率. (3) 在样本数据中，有 60 位60\text{ 位}女生的每周平均体育运动时间超过 4 个小时4\text{ 个小时}. 请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有 95%95\% 的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}
P(K2⩾k0)P(K^{2} \geqslant k_{0})0.100.050.0100.005
k0k_{0}2.7063.8416.6357.879

2014 · 安徽 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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05概率与统计★★★☆☆
甲，乙两人在一次射击比赛中各射靶 55 次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
A.
甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.
甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C.
甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D.
甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

2012 · 安徽 · 理 · 第 5 题 · 多选题

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17概率与统计★★★☆☆
某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是 A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道 A 类型试题和一道 B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是 B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束. 试题库中现共有 n+mn + m 道试题，其中有 nn 道 A 类型试题和 mm 道 B 类型试题，以 XX 表示两次调题工作完成后，试题库中 A 类试题的数量.
(1) 求 X=n+2X = n + 2 的概率. (2) 设 m=nm = n，求 XX 的分布列和均值 （数学期望）.

2012 · 安徽 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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09概率与统计★★★☆☆
从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于（ ）
A.
110\frac{1}{10}
B.
18\frac{1}{8}
C.
16\frac{1}{6}
D.
15\frac{1}{5}

2011 · 安徽 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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15概率与统计★★★☆☆
甲罐中有 55 个红球，22 个白球和 33 个黑球，乙罐中有 44 个红球，33 个白球和 33 个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1A_1，A2A_2 和 A3A_3 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一球，以 BB 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列命题中正确的是______.
① P(B)=25P(B)=\frac{2}{5}； ② P(B∣A1)=511P(B \mid A_1)=\frac{5}{11}； ③ 事件 BB 与事件 A1A_1 相互独立； ④ A1A_1，A2A_2，A3A_3 是两两互斥的事件； ⑤ P(B)P(B) 的值不能确定，因为它与 A1A_1，A2A_2，A3A_3 中究竟哪一个发生有关.

2010 · 安徽 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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10概率与统计★★★☆☆
考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）
A.
175\frac{1}{75}
B.
275\frac{2}{75}
C.
375\frac{3}{75}
D.
475\frac{4}{75}

2009 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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17概率与统计★★★☆☆
某地有 AA，BB，CC，DD 四人先后感染了甲型 H1N1\mathrm{H1N1} 流感. 其中只有 AA 到过疫区. BB 肯定是受 AA 感染的. 对于 CC，因为难以断定他是受 AA 还是受 BB 感染的，于是假定他受 AA 和受 BB 感染的概率都是 12\frac{1}{2}. 同样也假定 DD 受 AA，BB 和 CC 感染的概率都是 13\frac{1}{3}. 在这种假定之下，BB，CC，DD 中直接受 AA 感染的人数 XX 就是一个随机变量. 写出 XX 的分布列（不要求写出计算过程），并求 XX 的均值（即数学期望）.

2009 · 安徽 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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10概率与统计★★★☆☆
考察正方体 66 个面的中心，从中任意选 33 个点连成三角形，再把剩下的 33 个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于（ ）
A.
11
B.
12\frac{1}{2}
C.
13\frac{1}{3}
D.
00

2009 · 安徽 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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19概率与统计★★★☆☆
为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树，沙柳等植物. 某人一次种植了 nn 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为 pp. 设 ξ\xi 为成活沙柳的株数，数学期望 Eξ=3E_{\xi} = 3，标准差 σξ\sigma_{\xi} 为 62\frac{\sqrt{6}}{2}.
(1) 求 nn，pp 的值，并写出 ξ\xi 的分布列； (2) 若有 33 株或 33 株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.

2008 · 安徽 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了 1010 张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有 33 张卡片上的拼音带有后鼻音“g\mathrm{g}”.
(1) 现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这 1010 张卡片中随机抽取 11 张，测试后放回，余下 22 位的测试，也按同样的方法进行，求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g\mathrm{g}”的概率； (2) 若某位被测试者从 1010 张卡片中一次随机抽取 33 张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g\mathrm{g}”的卡片不少于 22 张的概率.

2008 · 安徽 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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