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085分概率与统计★★★☆☆
设 U={(x1,x2,x3)∣xi∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3}U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\} 为空间中 6464 个点构成的集合. 点 P(1,1,1)P(1,1,1)，记样本空间 Ω=∁U{P}\Omega=\complement_U \{P\}. 从 Ω\Omega 中随机取一个点，定义随机变量 XX 如下：对 Ω\Omega 中的每个点 A(x1,x2,x3)A(x_1,x_2,x_3)，令 X(A)=x1+x2+x3X(A)=x_1+x_2+x_3，则 XX 的数学期望为（ ）
A.
−121-\dfrac{1}{21}
B.
−163-\dfrac{1}{63}
C.
00
D.
17\dfrac{1}{7}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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145分概率与统计★★★☆☆
有5个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，从中有放回地随机取3次，每次取1个球，记 XX 为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则数学期望 E(X)=E(X) =______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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096分概率与统计★★★☆☆
为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入样本均值 x=2.1x=2.1，样本方差 s2=0.01s^2=0.01. 已知该种植区以往亩收入 X∼N(1.8,0.1)X\sim N(1.8,0.1)，假设推动出口后的亩收入 Y∼N(x,s)Y\sim N(x,s)，则（ ）（若 Z∼N(u,σ)Z\sim N(u,\sigma)，则 P(Z<u+σ)≈0.8413P(Z<u+\sigma)\approx0.8413）
A.
P(X>2)>0.2P(X>2)>0.2
B.
P(X>2)<0.5P(X>2)<0.5
C.
P(Y>2)>0.5P(Y>2)>0.5
D.
P(Y>2)<0.8P(Y>2)<0.8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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096分概率与统计★★★☆☆
有一组样本数据 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6，其中 x1x_1 是最小值，x6x_6 是最大值，则（ ）
A.
x2,x3,x4,x5x_2,x_3,x_4,x_5 的平均数等于 x1,x2,…,x6x_1,x_2,\dots,x_6 的平均数
B.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的中位数等于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的中位数
C.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的标准差不小于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的标准差
D.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的极差不大于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的极差

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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055分概率与统计★★★☆☆
从 22 至 88 的 77 个整数中随机取 22 个不同的数，则这 22 个数互质的概率为（ ）
A.
16\dfrac16
B.
13\dfrac13
C.
12\dfrac12
D.
23\dfrac23

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 5 题 · 选择题

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2015分概率与统计★★★☆☆
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100100 人（称为对照组），得到如下数据：
(1) 能否有 99%99\% 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2) 从该地的人群中任选一人，AA 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，BB 表示事件“选到的人患有该疾病”. P(B∣A)P(B‾∣A)\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)} 与 P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)\frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)} 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 RR.
(i) 证明：R=P(B∣A)P(B‾∣A)÷P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)=P(A∣B)P(A‾∣B)⋅P(A‾∣B‾)P(A∣B‾);R=\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)}\div \frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)}=\frac{P(A\mid B)}{P(\overline A\mid B)}\cdot \frac{P(\overline A\mid \overline B)}{P(A\mid \overline B)}; (ii) 利用该调查数据，给出 P(A∣B)P(A\mid B)，P(A∣B‾)P(A\mid \overline B) 的估计值，并利用（1）的结果给出 RR 的估计值.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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085分概率与统计★★★☆☆
有 66 个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，66，从中有放回地随机取两次，每次取 11 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 11”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 22”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 88”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 77”，则（ ）
A.
甲与丙相互独立
B.
甲与丁相互独立
C.
乙与丙相互独立
D.
丙与丁相互独立

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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1917分概率与统计★★★☆☆
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 100100 天空气中的 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 和 SO2\mathrm{SO}_2 浓度（单位：μg/m3\mu\mathrm{g}/\mathrm{m}^3），得下表：
PM2.5\SO2\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2[0,50][0,50](50,150](50,150](150,475](150,475]
(35,75](35,75]6812
(75,115](75,115]3710
(1) 估计事件“该市一天空气中 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 浓度不超过 75，且 SO2\mathrm{SO}_2 浓度不超过 150”的概率； (2) 根据所给数据，完成下面的 2×22\times 2 列联表：
PM2.5\SO2\mathrm{PM}_{2.5}\backslash\mathrm{SO}_2[0,150][0,150](150,475](150,475]
(75,115](75,115]
(3) 根据（2）中的列联表，判断是否有 99% 的把握认为该市一天空气中 PM2.5\mathrm{PM}_{2.5} 浓度与 SO2\mathrm{SO}_2 浓度有关？
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}.
P(K2≥k)P(K^2\ge k)0.0500.0100.001

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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15概率与统计★★★☆☆
甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）. 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.60.6，客场取胜的概率为 0.50.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4:14:1 获胜的概率是______.
\begin{answer} 0.180.18 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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10概率与统计★★★☆☆
如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABCABC 的斜边 BCBC，直角边 ABAB，ACAC. △ABC\triangle ABC 的三边所围成的区域记为 II，黑色部分记为 IIII，其余部分记为 IIIIII. 在整个图形中随机取一点，此点取自 II，IIII，IIIIII 的概率分别记为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，则（ ）
A.
p1=p2p_1=p_2
B.
p1=p3p_1=p_3
C.
p2=p3p_2=p_3
D.
p1=p2+p3p_1=p_2+p_3

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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19概率与统计★★★☆☆
某家庭记录了未使用节水龙头 5050 天的日用水量数据（单位：m3\text{m}^3）和使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
(1) 作出使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据的频率分布直方图； (2) 估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m30.35\text{ m}^3 的概率； (3) 估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者 A1A_1，A2A_2，A3A_3，A4A_4，A5A_5，A6A_6 和 4 名女志愿者 B1B_1，B2B_2，B3B_3，B4B_4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示.
(1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1A_1 但不包含 B1B_1 的概率； (2) 用 XX 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 XX 的分布列与数学期望 E(X)E(X).

2017 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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14解析几何★★★☆☆
在 [−1,1][-1,1] 上随机地取一个数 kk，则事件“直线 y=kxy=kx 与圆 (x−5)2+y2=9(x-5)^2+y^2=9 相交”发生的概率为______.

2016 · 山东 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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19概率与统计★★★☆☆
甲，乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲，乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 33 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 11 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 00 分. 已知甲每轮猜对的概率是 34\dfrac34，乙每轮猜对的概率是 23\dfrac23；每轮活动中甲，乙猜对与否互不影响；各轮结果亦互不影响. 假设“星队”参加两轮活动，求：
(1) “星队”至少猜对 33 个成语的概率； (2) “星队”两轮得分之和为 XX 的分布列和数学期望 E(X)E(X).

2016 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
设 nn 是一个三位正整数，且 nn 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 nn 为“三位递增数”（如 137137，359359，567567 等）. 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 11 个数，且只能抽取一次. 得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 55 整除，参加者得 00 分；若能被 55 整除，但不能被 1010 整除，得 −1-1 分；若能被 1010 整除，得 11 分.
(1) 写出所有个位数字是 55 的“三位递增数”； (2) 若甲参加活动，求甲得分 XX 的分布列和数学期望 E(X)E(X).

2015 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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07指数函数与对数函数★★★☆☆
在区间 [0,2][0,2] 上随机地取一个数 xx，则事件“−1⩽log⁡12(x+12)⩽1-1 \leqslant \log_{\frac{1}{2}}\left(x + \frac{1}{2}\right) \leqslant 1”发生的概率为（ ）
A.
34\frac{3}{4}
B.
23\frac{2}{3}
C.
13\frac{1}{3}
D.
14\frac{1}{4}

2015 · 山东 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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18概率与统计★★★☆☆
乒乓球台面被球网分隔成甲，乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域 AA，BB，乙被划分为两个不相交的区域 CC，DD. 某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球. 规定：回球一次，落点在 CC 上记 3 分3\text{ 分}，在 DD 上记 1 分1\text{ 分}，其他情况记 0 分0\text{ 分}. 对落点在 AA 上的来球，队员小明回球的落点在 CC 上的概率为 12\frac{1}{2}，在 DD 上的概率为 13\frac{1}{3}. 对落点在 BB 上的来球，小明回球的落点在 CC 上的概率为 15\frac{1}{5}，在 DD 上的概率为 35\frac{3}{5}. 假设共有两次来球且落在 AA，BB 上各一次，小明的两次回球互不影响. 求：
(1) 小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2) 两次回球结束后，小明得分之和 ξ\xi 的分布列与数学期望.

2014 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
海关对同时从 AA，BB，CC 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件\text{件}）如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件6\text{ 件}样品进行检测.
(1) 求这 6 件6\text{ 件}样品中来自 AA，BB，CC 各地区商品的数量； (2) 若在这 6 件6\text{ 件}样品中随机抽取 2 件2\text{ 件}送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件2\text{ 件}商品来自相同地区的概率.

2014 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
甲，乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束. 除第五局甲队获胜的概率是 12\frac{1}{2} 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 23\frac{2}{3}. 假设每局比赛结果互相独立.
(1) 分别求甲队以 3:03:0，3:13:1，3:23:2 胜利的概率； (2) 若比赛结果为 3:03:0 或 3:13:1，则胜利方得 33 分，对方得 00 分；若比赛结果为 3:23:2，则胜利方得 22 分，对方得 11 分，求乙队得分 XX 的分布列及数学期望.

2013 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
现有甲乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为 34\frac{3}{4}，命中得 11 分，没有命中得 00 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为 23\frac{2}{3}，每命中一次得 22 分，没有命中得 00 分. 该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击.
(1) 求该射手恰好命中一次的概率； (2) 求该射手的总得分 XX 的分布列及数学期望 E(X)E(X).

2012 · 山东 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
红队队员甲，乙，丙与蓝队队员 AA，BB，CC 进行围棋比赛，甲对 AA，乙对 BB，丙对 CC 各一盘. 已知甲胜 AA，乙胜 BB，丙胜 CC 的概率分别为 0.60.6，0.50.5，0.50.5. 假设各盘比赛结果相互独立.
(1) 求红队至少两名队员获胜的概率； (2) 用 ξ\xi 表示红队队员获胜的总数，求 ξ\xi 的分布列和数学期望 E(ξ)E(\xi).

2011 · 山东 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
一汽车厂生产 AA，BB，CC 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 5050 辆，其中有 A 类轿车 1010 辆.
(1) 求 zz 的值. (2) 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 55 的样本. 将该样本看成一个总体，从中任取 22 辆，求至少有 11 辆舒适型轿车的概率. (3) 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 88 辆，经检测它们的得分如下：9.49.4，8.68.6，9.29.2，9.69.6，8.78.7，9.39.3，9.09.0，8.28.2. 把这 88 辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.50.5 的概率.

2009 · 山东 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
现有 88 名奥运会志愿者，其中志愿者 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3} 通晓日语，B1B_{1}，B2B_{2}，B3B_{3} 通晓俄语，C1C_{1}，C2C_{2} 通晓韩语. 从中选出通晓日语，俄语和韩语的志愿者各 11 名，组成一个小组.
(1) 求 A1A_{1} 被选中的概率； (2) 求 B1B_{1} 和 C1C_{1} 不全被选中的概率.

2008 · 山东 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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