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085分概率与统计★★★☆☆
设 U={(x1,x2,x3)∣xi∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3}U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\} 为空间中 6464 个点构成的集合. 点 P(1,1,1)P(1,1,1)，记样本空间 Ω=∁U{P}\Omega=\complement_U \{P\}. 从 Ω\Omega 中随机取一个点，定义随机变量 XX 如下：对 Ω\Omega 中的每个点 A(x1,x2,x3)A(x_1,x_2,x_3)，令 X(A)=x1+x2+x3X(A)=x_1+x_2+x_3，则 XX 的数学期望为（ ）
A.
−121-\dfrac{1}{21}
B.
−163-\dfrac{1}{63}
C.
00
D.
17\dfrac{1}{7}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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145分概率与统计★★★☆☆
有5个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，从中有放回地随机取3次，每次取1个球，记 XX 为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则数学期望 E(X)=E(X) =______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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096分概率与统计★★★☆☆
为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入样本均值 x=2.1x=2.1，样本方差 s2=0.01s^2=0.01. 已知该种植区以往亩收入 X∼N(1.8,0.1)X\sim N(1.8,0.1)，假设推动出口后的亩收入 Y∼N(x,s)Y\sim N(x,s)，则（ ）（若 Z∼N(u,σ)Z\sim N(u,\sigma)，则 P(Z<u+σ)≈0.8413P(Z<u+\sigma)\approx0.8413）
A.
P(X>2)>0.2P(X>2)>0.2
B.
P(X>2)<0.5P(X>2)<0.5
C.
P(Y>2)>0.5P(Y>2)>0.5
D.
P(Y>2)<0.8P(Y>2)<0.8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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096分概率与统计★★★☆☆
有一组样本数据 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6，其中 x1x_1 是最小值，x6x_6 是最大值，则（ ）
A.
x2,x3,x4,x5x_2,x_3,x_4,x_5 的平均数等于 x1,x2,…,x6x_1,x_2,\dots,x_6 的平均数
B.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的中位数等于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的中位数
C.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的标准差不小于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的标准差
D.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的极差不大于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的极差

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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055分概率与统计★★★☆☆
从 22 至 88 的 77 个整数中随机取 22 个不同的数，则这 22 个数互质的概率为（ ）
A.
16\dfrac16
B.
13\dfrac13
C.
12\dfrac12
D.
23\dfrac23

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 5 题 · 选择题

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2015分概率与统计★★★☆☆
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100100 人（称为对照组），得到如下数据：
(1) 能否有 99%99\% 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ (2) 从该地的人群中任选一人，AA 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，BB 表示事件“选到的人患有该疾病”. P(B∣A)P(B‾∣A)\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)} 与 P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)\frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)} 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为 RR.
(i) 证明：R=P(B∣A)P(B‾∣A)÷P(B∣A‾)P(B‾∣A‾)=P(A∣B)P(A‾∣B)⋅P(A‾∣B‾)P(A∣B‾);R=\frac{P(B\mid A)}{P(\overline B\mid A)}\div \frac{P(B\mid \overline A)}{P(\overline B\mid \overline A)}=\frac{P(A\mid B)}{P(\overline A\mid B)}\cdot \frac{P(\overline A\mid \overline B)}{P(A\mid \overline B)}; (ii) 利用该调查数据，给出 P(A∣B)P(A\mid B)，P(A∣B‾)P(A\mid \overline B) 的估计值，并利用（1）的结果给出 RR 的估计值.
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

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085分概率与统计★★★☆☆
有 66 个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，66，从中有放回地随机取两次，每次取 11 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是 11”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 22”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 88”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 77”，则（ ）
A.
甲与丙相互独立
B.
甲与丁相互独立
C.
乙与丙相互独立
D.
丙与丁相互独立

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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15概率与统计★★★☆☆
甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）. 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.60.6，客场取胜的概率为 0.50.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4:14:1 获胜的概率是______.
\begin{answer} 0.180.18 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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10概率与统计★★★☆☆
如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABCABC 的斜边 BCBC，直角边 ABAB，ACAC. △ABC\triangle ABC 的三边所围成的区域记为 II，黑色部分记为 IIII，其余部分记为 IIIIII. 在整个图形中随机取一点，此点取自 II，IIII，IIIIII 的概率分别记为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，则（ ）
A.
p1=p2p_1=p_2
B.
p1=p3p_1=p_3
C.
p2=p3p_2=p_3
D.
p1=p2+p3p_1=p_2+p_3

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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19概率与统计★★★☆☆
某家庭记录了未使用节水龙头 5050 天的日用水量数据（单位：m3\text{m}^3）和使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
(1) 作出使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据的频率分布直方图； (2) 估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m30.35\text{ m}^3 的概率； (3) 估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某工厂 3636 名工人的年龄数据如下表.
(1) 用系统抽样法从 3636 名工人中抽取容量为 99 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 4444，列出样本的年龄数据； (2) 计算（1）中样本的均值 x‾\overline{x} 和方差 s2s^2； (3) 3636 名工人中年龄在 x‾−s\overline{x} - s 与 x‾+s\overline{x} + s 之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到 0.01%0.01\%）？

2015 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36. 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
(30,35](30,35]50.20
(35,40](35,40]80.32
(40,45](40,45]n1n_1f1f_1
(45,50](45,50]n2n_2f2f_2
(1) 确定样本频率分布表中 n1n_1，n2n_2，f1f_1 和 f2f_2 的值； (2) 根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； (3) 根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间 (30,35](30,35] 的概率.

2014 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
从一批苹果中，随机抽取 5050 个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
分组（重量）[80,85)[80,85)[85,90)[85,90)[90,95)[90,95)[95,100)[95,100)
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95)[90,95) 的频率； (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85)[80,85) 和 [95,100)[95,100) 的苹果中共抽取 4 个，其中重量在 [80,85)[80,85) 的有几个？ (3) 在（2）中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在 [80,85)[80,85) 和 [95,100)[95,100) 中各有 1 个的概率.

2013 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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07概率与统计★★★☆☆
从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为 00 的概率是（ ）
A.
49\frac{4}{9}
B.
13\frac{1}{3}
C.
29\frac{2}{9}
D.
19\frac{1}{9}

2012 · 广东 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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17概率与统计★★★☆☆
某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)[40,50)，[50,60)[50,60)，[60,70)[60,70)，[70,80)[70,80)，[80,90)[80,90)，[90,100][90,100].
(1) 求图中 xx 的值； (2) 从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人，该 2 人中成绩在 90 分以上 （含 90 分） 的人数记为 ξ\xi，求 ξ\xi 的数学期望.

2012 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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13概率与统计★★★☆☆
由正整数组成的一组数据 x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3}，x4x_{4}，其平均数和中位数都是 22，且标准差等于 11，则这组数据为______. （从小到大排列）

2012 · 广东 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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17概率与统计★★★☆☆
某校 100100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)[50,60)，[60,70)[60,70)，[70,80)[70,80)，[80,90)[80,90)，[90,100][90,100].
(1) 求图中 aa 的值； (2) 根据频率分布直方图，估计这 100100 名学生语文成绩的平均分； (3) 若这 100100 名学生语文成绩某些分数段的人数 xx 与数学成绩相应分数段的人数 yy 之比如下表所示，求数学成绩在 [50,90)[50,90) 之外的人数.

2012 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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13概率与统计★★★☆☆
某数学老师身高 176 cm176\mathrm{~cm}，他爷爷，父亲和儿子的身高分别是 173 cm173\mathrm{~cm}，170 cm170\mathrm{~cm} 和 182 cm182\mathrm{~cm}. 因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为______cm\mathrm{cm}.

2011 · 广东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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17概率与统计★★★☆☆
为了解甲，乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲，乙两厂生产的产品中分别抽取 14 件和 5 件，测量产品中微量元素 xx，yy 的含量（单位：毫克）. 下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：
(1) 已知甲厂生产的产品共有 98 件，求乙厂生产的产品数量. (2) 当产品中的微量元素 xx，yy 满足 x⩾175x \geqslant 175 且 y⩾75y \geqslant 75 时，该产品为优等品. 用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量. (3) 从乙厂抽出的上述 5 件产品中，随机抽取 2 件，求抽取的 2 件产品中优等品数 ξ\xi 的分布列及其均值（即数学期望）.

2011 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
在某次测验中，有 66 位同学的平均成绩为 7575 分. 用 xnx_{n} 表示编号为 nn （n=1n = 1，22，⋯\cdots，66）的同学所得成绩，且前 55 位同学的成绩如下：
编号 nn1122334455
(1) 求第 66 位同学的成绩 x6x_6，及这 66 位同学成绩的标准差 ss； (2) 从前 55 位同学中，随机地选 22 位同学，求恰有 11 位同学成绩在区间 (68,75)(68, 75) 中的概率.

2011 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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13概率与统计★★★☆☆
某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中 nn 位居民的月均用水量分别为 x1x_{1}，⋯\cdots，xnx_{n} （单位：吨\text{吨}）. 根据如图所示的程序框图，若 n=2n = 2，且 x1x_{1}，x2x_{2} 分别为 11，22，则输出的结果 ss 为______.

2010 · 广东 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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17概率与统计★★★☆☆
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况. 随机抽取该流水线上的 40 件40\text{ 件} 产品作为样本称出它们的重量（单位：克\text{克}）. 重量的分组区间为 (490,495](490, 495]，(495,500](495, 500]，…，(510,515](510, 515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.
(1) 根据频率分布直方图，求重量超过 505 克505\text{ 克} 的产品数量； (2) 在上述抽取的 40 件40\text{ 件} 产品中任取 2 件2\text{ 件}，设 YY 为重量超过 505 克505\text{ 克} 的产品数量，求 YY 的分布列； (3) 从流水线上任取 5 件5\text{ 件} 产品，求恰有 2 件2\text{ 件} 产品合格的重量超过 505 克505\text{ 克} 的概率.

2010 · 广东 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了 100 名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目新闻节目总计
大于 4040 岁152742
(1) 由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？ (2) 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名，大于 4040 岁的观众应该抽取几名？ (3) 在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名，求恰有 1 名观众的年龄为 2020 至 4040 岁的概率.

2010 · 广东 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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