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085分概率与统计★★★☆☆
设 U={(x1,x2,x3)∣xi∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3}U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\} 为空间中 6464 个点构成的集合. 点 P(1,1,1)P(1,1,1)，记样本空间 Ω=∁U{P}\Omega=\complement_U \{P\}. 从 Ω\Omega 中随机取一个点，定义随机变量 XX 如下：对 Ω\Omega 中的每个点 A(x1,x2,x3)A(x_1,x_2,x_3)，令 X(A)=x1+x2+x3X(A)=x_1+x_2+x_3，则 XX 的数学期望为（ ）
A.
−121-\dfrac{1}{21}
B.
−163-\dfrac{1}{63}
C.
00
D.
17\dfrac{1}{7}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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145分概率与统计★★★☆☆
有5个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，从中有放回地随机取3次，每次取1个球，记 XX 为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则数学期望 E(X)=E(X) =______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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096分概率与统计★★★☆☆
为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入样本均值 x=2.1x=2.1，样本方差 s2=0.01s^2=0.01. 已知该种植区以往亩收入 X∼N(1.8,0.1)X\sim N(1.8,0.1)，假设推动出口后的亩收入 Y∼N(x,s)Y\sim N(x,s)，则（ ）（若 Z∼N(u,σ)Z\sim N(u,\sigma)，则 P(Z<u+σ)≈0.8413P(Z<u+\sigma)\approx0.8413）
A.
P(X>2)>0.2P(X>2)>0.2
B.
P(X>2)<0.5P(X>2)<0.5
C.
P(Y>2)>0.5P(Y>2)>0.5
D.
P(Y>2)<0.8P(Y>2)<0.8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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05概率与统计★★★☆☆
设 OO 为平面坐标系原点，在区域 1≤x+y≤41\le x+y\le4 内随机取一点 A. 则直线 OAOA 的倾斜角不大于 π4\frac\pi4 的概率为（ ）
A.
12\frac12
B.
16\frac16
C.
14\frac14
D.
12\frac12

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 5 题 · 多选题

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19概率与统计★★★☆☆
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 1010 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2\mathrm{m}^2）和材积量（单位：m3\mathrm{m}^3），得到如下数据：
并计算得 ∑i=110xi2=0.038\sum_{i=1}^{10}x_i^2=0.038，∑i=110yi2=1.6158\sum_{i=1}^{10}y_i^2=1.6158，∑i=110xiyi=0.2474\sum_{i=1}^{10}x_iy_i=0.2474.
附：相关系数 r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)\left( y_i-\bar{y} \right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_i-\bar{x} \right)^2\sum_{i=1}^{n}\left( y_i-\bar{y} \right)^2}}，1.896≈1.377\sqrt{1.896}\approx1.377.
(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.010.01）； (3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 186m2186\mathrm{m}^2. 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比. 利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山. 为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 1010 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2\text{m}^2）和材积量（单位：m3\text{m}^3），得到如下数据：
样本号 ii12345
材积量 yiy_i0.250.400.220.540.51
样本号 ii678910
------------------
材积量 yiy_i0.340.360.460.420.40
并计算得 ∑i=110xi=0.6\sum_{i=1}^{10}x_i=0.6，∑i=110yi=3.9\sum_{i=1}^{10}y_i=3.9，∑i=110xi2=0.038\sum_{i=1}^{10}x_i^2=0.038； ∑i=110yi2=1.6158\sum_{i=1}^{10}y_i^2=1.6158，∑i=110xiyi=0.2474\sum_{i=1}^{10}x_iy_i=0.2474.
(1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2) 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.010.01）； (3) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 186 m2186\text{ m}^2. 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附：相关系数 r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2∑i=1n(yi−yˉ)2r=\dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}}，且 1.896≈1.377\sqrt{1.896}\approx1.377.

2022 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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15概率与统计★★★☆☆
甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）. 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为 0.60.6，客场取胜的概率为 0.50.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 4:14:1 获胜的概率是______.
\begin{answer} 0.180.18 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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10概率与统计★★★☆☆
如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABCABC 的斜边 BCBC，直角边 ABAB，ACAC. △ABC\triangle ABC 的三边所围成的区域记为 II，黑色部分记为 IIII，其余部分记为 IIIIII. 在整个图形中随机取一点，此点取自 II，IIII，IIIIII 的概率分别记为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，则（ ）
A.
p1=p2p_1=p_2
B.
p1=p3p_1=p_3
C.
p2=p3p_2=p_3
D.
p1=p2+p3p_1=p_2+p_3

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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19概率与统计★★★☆☆
某家庭记录了未使用节水龙头 5050 天的日用水量数据（单位：m3\text{m}^3）和使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头 5050 天的日用水量频数分布表
(1) 作出使用了节水龙头 5050 天的日用水量数据的频率分布直方图； (2) 估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m30.35\text{ m}^3 的概率； (3) 估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）

2018 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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06概率与统计★★★☆☆
某人研究中学生的性别与成绩，视力，智商，阅读量这 44 个变量之间的关系，随机抽查了 5252 名中学生，得到统计数据如表 11 至表 44，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
\begin{array}{c} \begin{minipage}[t]{0.46\linewidth} \centering \begin{tabular}{c|ccc} \multicolumn{1}{c|}{性别} & \multicolumn{3}{c}{成绩} \\ \hline & 不及格 & 及格 & 总计 \\ \hline 男 & 6 & 14 & 20 \\ 女 & 10 & 22 & 32 \\ 总计 & 16 & 36 & 52 \\ \hline \end{tabular} \end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.46\linewidth} \centering \begin{tabular}{c|ccc} \multicolumn{1}{c|}{性别} & \multicolumn{3}{c}{视力} \\ \hline & 好 & 差 & 总计 \\ \hline 男 & 4 & 16 & 20 \\ 女 & 12 & 20 & 32 \\ 总计 & 16 & 36 & 52 \\ \hline \end{tabular} \end{minipage} \\ \begin{minipage}[t]{0.46\linewidth} \centering \begin{tabular}{c|ccc} \multicolumn{1}{c|}{性别} & \multicolumn{3}{c}{智商} \\ \hline & 偏高 & 正常 & 总计 \\ \hline 男 & 8 & 12 & 20 \\ 女 & 8 & 24 & 32 \\ 总计 & 16 & 36 & 52 \\ \hline \end{tabular} \end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.46\linewidth} \centering \begin{tabular}{c|ccc} \multicolumn{1}{c|}{性别} & \multicolumn{3}{c}{阅读量} \\ \hline & 丰富 & 不丰富 & 总计 \\ \hline 男 & 14 & 6 & 20 \\ 女 & 2 & 30 & 32 \\ 总计 & 16 & 36 & 52 \\ \hline \end{tabular} \end{minipage} \end{array}
A.
成绩
B.
视力
C.
智商
D.
阅读量

2014 · 江西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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19概率与统计★★★☆☆
小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以 OO 为起点，再从 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4}，A5A_{5}，A6A_{6}，A7A_{7}，A8A_{8}（如图）这 8 个点中任取两点，分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 XX. 若 X=0X = 0 就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队.
(1) 求小波参加学校合唱团的概率； (2) 求 XX 的分布列和数学期望.

2013 · 江西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18平面向量★★★☆☆
小波以游戏方式决定是去打球，唱歌还是去下棋，游戏规则为：以 OO 为起点，再从 A1A_{1}，A2A_{2}，A3A_{3}，A4A_{4}，A5A_{5}，A6A_{6}（如图）这 66 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为 XX，若 X>0X > 0 就去打球，若 X=0X = 0 就去唱歌，若 X<0X < 0 就去下棋.
(1) 写出数量积 XX 的所有可能取值； (2) 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

2013 · 江西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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09概率与统计★★★☆☆
样本 (x1,x2,⋯ ,xn)(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) 的平均数为 x‾\overline{x}，样本 (y1,y2,⋯ ,ym)(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{m}) 的平均数为 y‾\overline{y} （记 x‾≠y‾\overline{x} \neq \overline{y}）. 若样本 (x1,x2,⋯ ,xn,y1,y2,⋯ ,ym)(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{m}) 的平均数 z‾=αx‾+(1−α)y‾\overline{z} = \alpha \overline{x} + (1 - \alpha)\overline{y}，其中 0<α<120 < \alpha < \frac{1}{2}，则 nn，mm 的大小关系为（ ）
A.
n<mn < m
B.
n>mn > m
C.
n=mn = m
D.
不能确定

2012 · 江西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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18概率与统计★★★☆☆
如图，从 A1(1,0,0)A_{1}(1,0,0)，A2(2,0,0)A_{2}(2,0,0)，B1(0,1,0)B_{1}(0,1,0)，B2(0,2,0)B_{2}(0,2,0)，C1(0,0,1)C_{1}(0,0,1)，C2(0,0,2)C_{2}(0,0,2) 这 6 个点中随机选取 3 个点.
(1) 求这 3 点与原点 OO 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2) 求这 3 点与原点 OO 共面的概率.

2012 · 江西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别. 公司准备了两种不同的饮料共 8 杯8\text{ 杯}，其颜色完全相同，并且其中 4 杯4\text{ 杯} 为 A 饮料，另外 4 杯4\text{ 杯} 为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 8 杯8\text{ 杯} 饮料中选出 4 杯4\text{ 杯} A 饮料. 若 4 杯4\text{ 杯} 都选对，则月工资定为 3500 元3500\text{ 元}；若 4 杯4\text{ 杯} 选对 3 杯3\text{ 杯}，则月工资定为 2800 元2800\text{ 元}；否则月工资定为 2100 元2100\text{ 元}. 令 XX 表示此人选对 A 饮料的杯数. 假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 求此员工月工资的期望.

2011 · 江西 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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11概率与统计★★★☆☆
一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测. 方法一：在 10 箱中各任意抽查一枚；方法二：在 5 箱中各任意抽查两枚. 国王用方法一，二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 p1p_1 和 p2p_2. 则（ ）
A.
p1=p2p_1 = p_2
B.
p1<p2p_1 < p_2
C.
p1>p2p_1 > p_2
D.
以上三种情况都有可能

2010 · 江西 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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18概率与统计★★★☆☆
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门. 首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道. 若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、3 号通道，则分别需要 2 小时，3 小时返回智能门. 再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止. 令 ξ\xi 表示走出迷宫所需的时间.
(1) 求 ξ\xi 的分布列； (2) 求 ξ\xi 的数学期望.

2010 · 江西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门. 首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道. 若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号，3 号通道，则分别需要 2 小时，3 小时返回智能门. 再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.
(1) 求走出迷宫时恰好用了 11 小时的概率； (2) 求走出迷宫的时间超过 33 小时的概率.

2010 · 江西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审. 假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 12\frac{1}{2}，若某人获得两个“支持”，则给予 10 万元10\text{ 万元} 的创业资助. 若只获得一个“支持”，则给予 5 万元5\text{ 万元} 的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令 ξ\xi 表示该公司的资助总额.
(1) 写出 ξ\xi 的分布列； (2) 求数学期望 E(ξ)E(\xi).

2009 · 江西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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10概率与统计★★★☆☆
甲，乙，丙，丁44个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这44个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛. 则甲，乙相遇的概率为（ ）
\begin{solution} 四队分成两组的三种等可能配对为（甲、乙）（丙、丁）、（甲、丙）（乙、丁）、（甲、丁）（乙、丙）. 第一种配对中甲、乙必相遇；另外两种配对中，甲、乙只有在各自先战胜对手后才在决赛相遇，概率为 12⋅12=14\frac12\cdot\frac12=\frac14. 因而所求概率为 13+23⋅14=12\frac13+\frac23\cdot\frac14=\frac12，故选 D. \end{solution}
A.
16\frac{1}{6}
B.
14\frac{1}{4}
C.
13\frac{1}{3}
D.
12\frac{1}{2}

2009 · 江西 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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18概率与统计★★★☆☆
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审. 假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 12\frac{1}{2}. 若某人获得两个“支持”，则给予 10 万元10\text{ 万元} 的创业资助. 若只获得一个“支持”，则给予 5 万元5\text{ 万元} 的资助；若未获得“支持”，则不予资助. 求：
(1) 该公司的资助总额为零的概率； (2) 该公司的资助总额超过15 万元15\text{ 万元}的概率.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 对每位大学生，两位专家都“不支持”的概率为 12⋅12=14\frac12\cdot\frac12=\frac14. 三位大学生的评审相互独立，资助总额为零当且仅当三人的评审结果都为“两次不支持”，所以所求概率为 (14)3=164\left(\frac14\right)^{3}=\frac1{64}.
\item 把六次独立评审中“支持”的次数记为 XX，则 X∼B(6,12)X\sim B\left(6,\frac12\right). 每次“支持”对应 55 万元资助，因此总额为 5X5X 万元. 总额超过 1515 万元等价于 X⩾4X\geqslant4，故
P(X⩾4)=C64+C65+C6626=15+6+164=1132P(X\geqslant4)=\frac{\mathrm C_6^4+\mathrm C_6^5+\mathrm C_6^6}{2^6}=\frac{15+6+1}{64}=\frac{11}{32}
\end{enumerate} \end{solution}

2009 · 江西 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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11计数原理与组合数学★★★☆☆
电子钟一天显示的时间是从 00:0000{:}00 到 23:5923{:}59. 每一时刻都由四个数字组成. 则一天中任一时刻显示的四个数字之和为 2323 的概率为（ ）
A.
1180\frac{1}{180}
B.
1288\frac{1}{288}
C.
1360\frac{1}{360}
D.
1480\frac{1}{480}

2008 · 江西 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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18概率与统计★★★☆☆
因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施. 若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍1.0\text{ 倍}，0.9 倍0.9\text{ 倍}，0.8 倍0.8\text{ 倍} 的概率分别是 0.30.3，0.30.3，0.40.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.25 倍1.25\text{ 倍}，1.0 倍1.0\text{ 倍} 的概率分别是 0.50.5，0.50.5. 若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的 1.2 倍1.2\text{ 倍}，1.0 倍1.0\text{ 倍}，0.88 倍0.88\text{ 倍} 的概率分别是 0.20.2，0.30.3，0.50.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.2 倍1.2\text{ 倍}，1.0 倍1.0\text{ 倍} 的概率分别是 0.40.4，0.60.6. 实施每种方案第一年与第二年相互独立，令 ξi\xi_i（i=1i = 1，22）表示方案 ii 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数.
(1) 写出 ξ1\xi_1，ξ2\xi_2 的分布列； (2) 实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？ (3) 不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到，恰好达到，超过灾前产量，预计利润分别为 10 万元10\text{ 万元}，15 万元15\text{ 万元}，20 万元20\text{ 万元}. 问实施哪种方案的平均利润更大？

2008 · 江西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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