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085分概率与统计★★★☆☆
设 U={(x1,x2,x3)∣xi∈{−2,−1,1,2},i=1,2,3}U=\{(x_1,x_2,x_3)\mid x_i\in\{-2,-1,1,2\},i=1,2,3\} 为空间中 6464 个点构成的集合. 点 P(1,1,1)P(1,1,1)，记样本空间 Ω=∁U{P}\Omega=\complement_U \{P\}. 从 Ω\Omega 中随机取一个点，定义随机变量 XX 如下：对 Ω\Omega 中的每个点 A(x1,x2,x3)A(x_1,x_2,x_3)，令 X(A)=x1+x2+x3X(A)=x_1+x_2+x_3，则 XX 的数学期望为（ ）
A.
−121-\dfrac{1}{21}
B.
−163-\dfrac{1}{63}
C.
00
D.
17\dfrac{1}{7}

2026 · 全国 · 一卷 · 第 8 题 · 选择题

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1715分概率与统计★★★☆☆
设整数 N≥2N\ge 2. 某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 NN 次，当且仅当投中 11 次时或 NN 次均未投中时，停止练习. 设该同学每次投中的概率为 pp（0<p<10<p<1），各次投中与否相互独立. 记 XX 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1) 当 N=4N=4，p=13p=\dfrac{1}{3} 时，求 XX 的分布列； (2) 设 kk，mm 均为自然数.
(i) 当 k≤N−1k\le N-1 时，求 P(X>k)P(X>k)； (ii) 当 k+m≤N−1k+m\le N-1 时，证明：P(X>k+m∣X>k)=P(X>m)P(X>k+m\mid X>k)=P(X>m)．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

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145分概率与统计★★★☆☆
有5个相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，从中有放回地随机取3次，每次取1个球，记 XX 为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则数学期望 E(X)=E(X) =______.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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1513分概率与统计★★★☆☆
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：
\multicolumn1∣c∣组别\multicolumn3c∣超声波检查结果\cline2−4正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000\begin{array}{c} \hline \multicolumn{1}{|c|}{组别} & \multicolumn{3}{c|}{超声波检查结果} \\ \cline{2-4} & 正常 & 不正常 & 合计 \\ \hline 患该疾病 & 20 & 180 & 200 \\ \hline 未患该疾病 & 780 & 20 & 800 \\ \hline 合计 & 800 & 200 & 1000 \\ \hline \end{array}
(1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 pp，求 pp 的估计值； (2) 根据小概率值 α=0.001\alpha = 0.001 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

2025 · 全国 · 一卷 · 第 15 题 · 解答题

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096分概率与统计★★★☆☆
为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入样本均值 x=2.1x=2.1，样本方差 s2=0.01s^2=0.01. 已知该种植区以往亩收入 X∼N(1.8,0.1)X\sim N(1.8,0.1)，假设推动出口后的亩收入 Y∼N(x,s)Y\sim N(x,s)，则（ ）（若 Z∼N(u,σ)Z\sim N(u,\sigma)，则 P(Z<u+σ)≈0.8413P(Z<u+\sigma)\approx0.8413）
A.
P(X>2)>0.2P(X>2)>0.2
B.
P(X>2)<0.5P(X>2)<0.5
C.
P(Y>2)>0.5P(Y>2)>0.5
D.
P(Y>2)<0.8P(Y>2)<0.8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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096分概率与统计★★★☆☆
有一组样本数据 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6，其中 x1x_1 是最小值，x6x_6 是最大值，则（ ）
A.
x2,x3,x4,x5x_2,x_3,x_4,x_5 的平均数等于 x1,x2,…,x6x_1,x_2,\dots,x_6 的平均数
B.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的中位数等于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的中位数
C.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的标准差不小于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的标准差
D.
x2x_2，x3x_3，x4x_4，x5x_5 的极差不大于 x1x_1，x2x_2，…\dots，x6x_6 的极差

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 9 题 · 多选题

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15概率与统计★★★☆☆
现有 7 张卡片，分别写上数字 11，22，22，33，44，55，66. 从这 7 张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ξ\xi，则 P(ξ=2)=P(\xi=2)=______，E(ξ)=E(\xi)=______.

2022 · 浙江 · 第 15 题 · 填空题

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15概率与统计★★★☆☆
袋中有 44 个红球，mm 个黄球，nn 个绿球，现从中任取两球，记取出的红球数为 ξ\xi. 若取出的两个球都是红球概率为 16\frac{1}{6}， 一红一黄概率为 13\frac{1}{3}，则 m−n=‾m-n=\underline{\hspace{2em}}，E(ξ)=‾E(\xi)=\underline{\hspace{2em}}.

2021 · 浙江 · 第 15 题 · 填空题

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07概率与统计★★★☆☆
设 0<a<10<a<1，则随机变量 XX 的分布列如图，则当 aa 在 (0,1)(0,1) 内增大时，D(X)D(X)（ ）
A.
增大
B.
减小
C.
先增大后减小
D.
先减小后增大

2019 · 浙江 · 第 7 题 · 选择题

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07概率与统计★★★☆☆
设 0<p<10<p<1，随机变量 ξ\xi 的分布列是
ξ\xi001122
则当 pp 在 (0,1)(0,1) 内增大时，D(ξ)D(\xi)（ ）
A.
减小
B.
增大
C.
先减小后增大
D.
先增大后减小

2018 · 浙江 · 第 7 题 · 选择题

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09概率与统计★★★☆☆
已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 mm 个红球和 nn 个蓝球（m⩾3m \geqslant 3，n⩾3n \geqslant 3），从乙盒中随机抽取 ii（i=1i = 1，22）个球放入甲盒中. 放入 ii 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ξi\xi_i（i=1i = 1，22）；放入 ii 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pip_i（i=1i = 1，22）. 则（ ）
A.
p1>p2p_1 > p_2，E(ξ1)<E(ξ2)E(\xi_1) < E(\xi_2)
B.
p1<p2p_1 < p_2，E(ξ1)>E(ξ2)E(\xi_1) > E(\xi_2)
C.
p1>p2p_1 > p_2，E(ξ1)>E(ξ2)E(\xi_1) > E(\xi_2)
D.
p1<p2p_1 < p_2，E(ξ1)<E(ξ2)E(\xi_1) < E(\xi_2)

2014 · 浙江 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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19概率与统计★★★☆☆
设袋子中装有 aa 个红球，bb 个黄球，cc 个蓝球，且规定：取出一个红球得 11 分，取出一个黄球得 22 分，取出一个蓝球得 33 分.
(1) 当 a=3a = 3，b=2b = 2，c=1c = 1 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量 ξ\xi 为取出此 22 个球所得分数之和. 求 ξ\xi 分布列； (2) 从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量 η\eta 为取出此球所得分数. 若 E(η)=53E(\eta) = \frac{5}{3}，D(η)=59D(\eta) = \frac{5}{9}，求 a:b:ca:b:c.

2013 · 浙江 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
已知箱中装有 44 个白球和 55 个黑球，且规定：取出一个白球得 22 分，取出一个黑球得 11 分. 现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等） 33 个球，记随机变量 XX 为取出此 33 个球所得分数之和.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 求 E(X)E(X).

2012 · 浙江 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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09概率与统计★★★☆☆
有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本. 若将其随机地抽取并摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率为（ ）
A.
15\frac{1}{5}
B.
25\frac{2}{5}
C.
35\frac{3}{5}
D.
45\frac{4}{5}

2011 · 浙江 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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15概率与统计★★★☆☆
某毕业生参加人才招聘会，分别向甲，乙，丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 23\frac{2}{3}，得到乙，丙公司面试的概率均为 pp，且三个公司是否让其面试是相互独立的. 记 XX 为该毕业生得到面试的公司个数. 若 P(X=0)=112P(X = 0) = \frac{1}{12}，则随机变量 XX 的数学期望 E(X)=‾E(X) =\underline{\hspace{2em}}.

2011 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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19概率与统计★★★☆☆
如图，一个小球从 MM 处投入，通过管道自上而下落到 AA 或 BB 或 CC. 已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到 AA，BB，CC，则分别设为 1，2，3 等奖.
(1) 已知获得 1，2，3 等奖的折扣率分别为 50%50\%，70%70\%，90%90\%. 记随机变量 ξ\xi 为获得 kk（k=1k = 1，22，33）等奖的折扣率，求随机变量 ξ\xi 的分布列及期望 E(ξ)E(\xi). (2) 若有 3 人次（投入 1 球为 1 人次）参加促销活动，记随机变量 η\eta 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次，求 P{η=2}P\{\eta = 2\}.
\begin{solution} 逐一沿图中管道追踪，每次遇到叉口都有左右两种等可能选择. 将每条完整路径按其终点归类，树状图的计数为 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccc|c} 终点 & AA & BB & CC & 合计\ \hline 路径数 & 33 & 66 & 77 & 1616 \end{tabular} \end{center} 因此共有 1616 个等可能结果，其中到达 AA，BB，CC 的结果数分别为 33，66，77. 因此 P(A)=316P(A)=\frac3{16}，P(B)=616=38P(B)=\frac6{16}=\frac38，P(C)=716P(C)=\frac7{16}.
\begin{enumerate} \item 随机变量 ξ\xi 的分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|ccc} ξ\xi&50%50\%&70%70\%&90%90\%\ \hline PP&316\dfrac3{16}&38\dfrac38&716\dfrac7{16} \end{tabular} \end{center} 所以
E(ξ)=50%⋅316+70%⋅38+90%⋅716=34E(\xi)=50\%\cdot\frac3{16}+70\%\cdot\frac38+90\%\cdot\frac7{16}=\frac34
\item 每人获得 1 等奖或 2 等奖的概率为
p=P(A)+P(B)=316+616=916p=P(A)+P(B)=\frac3{16}+\frac6{16}=\frac9{16}
三人的投球相互独立，故 η∼B(3,916)\eta\sim B(3,\frac9{16})，从而
P{η=2}=C32(916)2(1−916)=3(916)2716=17014096P\{\eta=2\}=\mathrm C_3^2\left(\frac9{16}\right)^2\left(1-\frac9{16}\right) =3\left(\frac9{16}\right)^2\frac7{16} =\frac{1701}{4096}
\end{enumerate} \end{solution}

2010 · 浙江 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
在 11，22，33，⋯\cdots，99 这 99 个自然数中，任取 33 个数.
(1) 求这 33 个数中恰有 11 个是偶数的概率； (2) 设 ξ\xi 为 33 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 11，22，33，则有两组相邻的数 11，22 和 22，33，此时 ξ\xi 的值是 22）. 求随机变量 ξ\xi 的分布列及其数学期望 E(ξ)E(\xi).

2009 · 浙江 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
有 20 张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数 kk，k+1k + 1，其中 k=0k = 0，11，22，⋯\cdots，1919. 从这 20 张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有 9, 10 的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为 9+1+0=109 + 1 + 0 = 10）不小于 14”为 AA，则 P(A)P(A) =______.

2009 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 填空题

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19概率与统计★★★☆☆
一个袋中装有大小相同的黑球，白球和红球，已知袋中共有 1010 个球，从中任意摸出 11 个球，得到黑球的概率是 25\frac{2}{5}；从中任意摸出 22 个球，至少得到 11 个白球的概率是 79\frac{7}{9}. 求：
(1) 从中任意摸出 22 个球，得到的 22 个球都是黑球的概率； (2) 袋中白球的个数.

2008 · 浙江 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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15概率与统计★★★☆☆
随机变量 ξ\xi 的分布列如下：
ξ\xi−1-10011
其中 aa，bb，cc 成等差数列. 若 E(ξ)=13E(\xi) = \frac{1}{3}，则 D(ξ)D(\xi) 的值是______. \begin{answer} 59\frac{5}{9} \end{answer}
\begin{solution} 因为 aa，bb，cc 成等差数列，所以 a+c=2ba+c=2b. 又由分布列的概率和为 11，得 a+b+c=1a+b+c=1，从而 b=13b=\dfrac13，a+c=23a+c=\dfrac23. 由期望条件
E(ξ)=−a+c=13E(\xi)=-a+c=\frac13
解得 a=16a=\dfrac16，c=12c=\dfrac12. 于是 E(ξ2)=a+c=23E(\xi^2)=a+c=\frac23，D(ξ)=E(ξ2)−E(ξ)2=23−19=59D(\xi)=E(\xi^2)-E(\xi)^2=\frac23-\frac19=\frac59. \end{solution}

2007 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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18概率与统计★★★☆☆
甲，乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有 22 个红球，22 个白球，乙袋装有 22 个红球，nn 个白球. 现从甲，乙两袋中各任取 22 个球.
(1) 若 n=3n = 3，求取到的 44 个球全是红球的概率； (2) 若取到的 44 个球中至少有 22 个红球的概率为 34\frac{3}{4}，求 nn.

2006 · 浙江 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
袋子 AA 和 BB 中装有若干个均匀的红球和白球，从 AA 中摸出一个红球的概率是 13\frac{1}{3}，从 BB 中摸出一个红球的概率为 pp.
(1) 从 AA 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸 5 次.
(i) 恰好有 3 次摸到红球的概率； (ii) 第一次，第三次，第五次摸到红球的概率； (2) 若 AA，BB 两个袋子中的球数之比为 1:21:2，将 AA，BB 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 25\frac{2}{5}，求 pp 的值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 从袋子 AA 中有放回地摸球，所以每次摸到红球的概率均为 13\frac{1}{3}，各次摸球相互独立. \begin{enumerate} \item 恰好有 33 次摸到红球的情况数为 C53\mathrm C_5^3，所以所求概率为
C53(13)3(1−13)2=10⋅127⋅49=40243\mathrm C_5^3\left(\frac{1}{3}\right)^3\left(1-\frac{1}{3}\right)^2 =10\cdot\frac{1}{27}\cdot\frac{4}{9} =\frac{40}{243}
\item 第一次、第三次、第五次摸到红球，而第二次、第四次摸到何种球均不受限制，所以所求概率为 13⋅13⋅13=127\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{27}. \end{enumerate}
\item 设袋子 AA 中有 nn 个球，则袋子 BB 中有 2n2n 个球. 袋子 AA 中红球数为 n3\frac{n}{3}，袋子 BB 中红球数为 2np2np. 装在一起后，红球概率为 n3+2np3n=25\frac{\frac{n}{3}+2np}{3n}=\frac{2}{5}. 约去 nn，得 19+2p3=25\frac{1}{9}+\frac{2p}{3}=\frac{2}{5}，所以 2p3=1345\frac{2p}{3}=\frac{13}{45}，从而 p=1330p=\frac{13}{30}. \end{enumerate} \end{solution}

2005 · 浙江 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
盒子中有大小相同的球 10 个，其中标号为 1 的球 3 个，标号为 2 的球 4 个，标号为 5 的球 3 个，第一次从盒子中任取 1 个球，放回后第二次再任取 1 个球（假设取到每个球的可能性都相同）. 记第一次与第二次取到球的标号之和为 ε\varepsilon.
(1) 求随机变量 ε\varepsilon 的分布列； (2) 求随机变量 ε\varepsilon 的期望 E(ε)E(\varepsilon).

2004 · 浙江 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20概率与统计★★★☆☆
某地区有 55 个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）. 假定工厂之间的选择互不影响.
(1) 求 55 个工厂均选择星期日停电的概率； (2) 求至少有两个工厂选择同一天停电的概率.

2004 · 浙江 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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